考研數學一（多元函數微分學）模擬試卷3(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設函數f(x，y)在點(0，0)附近有定義，且f’x(0，0)=3，f’y(0，0)=1，則()A．dz｜(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在點(0，0，f(0，0))處的法向量為{3，1，1}．C．曲線，在點(0，0，f(0，0))處的切向量為{1，0，3}．D．曲線，在點(0，0，f(0，0))處的切向量為{3，0，1}．正確答案：C解析：化曲線則該曲線在點(0，0，f(0，0))處的切向量為{1，0，f’x(0，0)}={1，0，3}，故選C．知識模塊：多元函數微分學2．已知fx(x0，y0)存在，則=()A．fx(x0，y0)．B．0．C．2fx(x0，y0)．D．fx(x0，y0)．正確答案：C解析：故選C．知識模塊：多元函數微分學3．設f(x，y)=則f(x，y)在點(0，0)處()A．兩個偏導數都不存在．B．兩個偏導數存在但不可微．C．偏導數連續．D．可微但偏導數不連續．正確答案：B解析：由偏導數定義，有故f(x，y)在(0，0)點不可微．應選B．知識模塊：多元函數微分學4．已知為某二元函數u(x，y)的全微分，則a等于()A．0．B．2．C．1．D．一1．正確答案：B解析：知識模塊：多元函數微分學5．函數f(x，y)在(0，0)點可微的充分條件是()A．B．C．D．正確答案：D解析：可知，f(x，y)的兩個一階偏導數fx(x，y)和fy(x，y)在(0，0)點可微，故選D．知識模塊：多元函數微分學6．設z=則該函數在點(0，0)處()A．不連續．B．連續但偏導數不存在．C．連續且偏導數存在但不可微．D．可微．正確答案：C解析：存在，即x(x，y)在點(0，0)不可微，故選C．知識模塊：多元函數微分學填空題7．設f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=Z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數，則f’x(0，1，一1)=_________．正確答案：1解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有f’x(x，y，z)=ex+y2z’x．在等式x+y+z+xyz=0兩端對x求偏導可得1+z’x+yz+xyz’x=0．由z=0，y=1，z=一1，可得z’x=0．故f’x(0，1，一1)=e0=1．知識模塊：多元函數微分學8．設f(x，y)=在點(0，0)處連續，則a=_________．正確答案：0解析：因為知識模塊：多元函數微分學9．設z==_________．正確答案：解析：知識模塊：多元函數微分學10．設f(x，y)=，則f’x(1，0)=_________．正確答案：2解析：由題干可知f(x，0)=x2，那么f’x(x，0)=2x．故f’x(1，0)=2x｜x=1=2．知識模塊：多元函數微分學11．設z=z(x，y)由方程z+e2=xy2所確定，則dz=_________．正確答案：(y2dx+2xydy)解析：知識模塊：多元函數微分學12．設函數f(u)可微，則f’(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(1，1)處的全微分dz｜(1,1)=_________．正確答案：4(dx+dy)解析：由題干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則dz｜(1,1)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)．知識模塊：多元函數微分學13．設f(u，v)為二元可微函數，z=f(xy，yx)，則=_________．正確答案：f’1.yxy—1+f’2.yxlny解析：利用復合函數求偏導的公式，有=f’1.yxy—1+f’2.yxlny。知識模塊：多元函數微分學14．設z==_________．正確答案：yf”(xy)+φ’(x+y)+yφ”(x+y)解析：由題干可得知識模塊：多元函數微分學15．設z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中gφ、具有二階連續導數，則=_________。正確答案：g’(x+y)+xg”(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ”(xy)解析：由題干可知，知識模塊：多元函數微分學16．設函數F(x，y)==_________正確答案：4解析：由題干可知，知識模塊：多元函數微分學解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx,其中f，φ都具有一階連續偏導數，且．正確答案：在等式u=f(x，y，z)的兩端同時對x求導數，得到如下等式涉及知識點：多元函數微分學18．設函數f(u)具有二階連續導數，而z=f(exsiny)滿足方程=e2xz，求f(u)．正確答案：導到f”(u)一f(u)=0，解得f(u)=C2eu+C2e—u(其中C1，C2為任意常數)．涉及知識點：多元函數微分學19．設y=y(x)，z=z(x)是由方程Z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數，其中f和F分別具有一階連續導數和一階連續偏導數，求．正確答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=O的兩端對x求導，得涉及知識點：多元函數微分學20．設z=，其中f具有二階連續偏導數，g具有二階連續導數，求。正確答案：根據復合函數的求導公式，有涉及知識點：多元函數微分學21．設函數z=f(x，y)在點(1，1)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=2，f’y(1，1)=3，φ(x)=f(x),f(xx))，求．正確答案：由已知得φ(1)=f(1，f(1，1))=f(1，1)=1，涉及知識點：多元函數微分學22．設有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標面，其底部所占的區域為D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函數為h(x，y)=75一x2一y2+xy．(1)設M(x0，y0)為區域D上一點，問h(x，y)在該點沿平面上何方向的方向導數最大?若此方向的方向導數為g(x0，y0)，寫出g(x0，y0)的表達式．(2)現欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳下尋找一坡度最大的點作為攀登的起點．也就是說，要在D的邊界線x2+y2一xy=75上找出使(1)中g(x，y)達到最大值的點．試確定攀登起點的位置．正確答案：(1)由梯度向量的性質：函數h(x，y)在點M處沿該點的梯度方向(2)求g(x，y)在條件x2+y2一xy一75=0下的最大值點，即g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2=5x2+5y2一8xy在條件x2+y2一xy一75=0下的最大值點．這是求解條件最值問題，用拉格朗日乘數法．構造拉格朗日函數L(x，y，λ)=5x2+5y2一8xy+λ(x2+y2一xy一75)，則有解此方程組得x=一y或λ=一2．若y=一x，則由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5．若λ=一2，由(1)或(2)均得y=x，代入(3)式得x2=75，即x=±．于是得可能的條件極值點M1(5，一5)，M2(一5，5)，M3．現比較f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2一8xy在這些點的函數值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150．因為實際問題存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到．因此g2(x，y)在M1，M2取得邊界線D上的最大值，即M1，M2可作為攀登的起點．涉及知識點：多元函數微分學23．設z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0確定的函數，求z=z(x，y)的極值點和極值．正確答案：在方程x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0的兩端分別對x，y求編導數，于是有涉及知識點：多元函數微分學24．設函數f(u)在(0，+∞)內具有二階導數，且z==0．(1)驗證f”(u)+=0．(2)若f(1)=0，f’(1)=1，求函數f(u)的表達式．正確答案：f(u)=lnu+C2，由f(1)=0可得C2=O，故f(u)=lnu．涉及知識點：多元函數微分學25．已知曲線C：求曲線C距離xOy面最遠的點和最近的點．正確答案：點(x，y，z)到xOy面的距離為｜z｜，故求C上距離xOy面最遠的點和最近的點的坐標等價于求函數H=z2在條件x2+y2一2z2=0，x+y+3z=5下的最大值點和最小值點．構造拉格朗日函數L(x，y，z，λ，μ)=z2+A(x2+y2一2z2)+μ(x+y+3z一5)，根據幾何意義，曲線C上存在距離xOy面最遠的點和最近的點，故所求點依次為(一5，一5，5)和(1，1，1)．涉及知識點：多元函數微分學26．設z=f(xy，yg(x))，其中函數f具有二階連續偏導數，函數g(x)可導，且在x=1處取得極值g(1)=1，求。正確答案：=f’1(xy，yg(x))y+f’2(xy，yg(x))yg’(x)，=f”11(xy，yg(x))xy+f”12(xy，yg(x))yg(x)+f’1(xy，yg(x))+f”21(xy，yg(x))xyg’(x)+f”22(xy，yg(x))yg(x)g’(x)+f’2(xy，yg(x))g’(x)．由g(x)在x=1處取得極值g(1)=1，可知g’(1)=0．故=f”11(1，g(1))+f”12(1，g(1))g(1)+f’1(1，g(1))+f”21(1，g(1))g’(1)+f”22(1，g(1))g(1)g’(1)+f’2(1，g(1))g’(1)=f”11(1，1)+f”12(1，1)+f’1(1，1)．涉及知識點：多元函數微分學27．求f(x，y)=xe一上的極值．正確答案：先求函數f(x，y)=xe一的駐點，f’x(x，y)=e一x=0，f’y(x，y)=一y=0，解得函數f(x，y)的駐點為(e，0)．又A=f”xx(e，0)=一1，B=f”xy(e，0)=0，C=f”yy(e，0)=一1，所以B2一AC＜0，A＜0．故f(x，y)在點(e，0)處取得極大值f(e，0)=e2．涉及知識點：多元函數微分學28．求函數f(x，y)=(y+)ex+y的極值．正確答案：先求駐點，令涉及知識點：多元函數微分學29．求｜z｜在約束條件，下的最大值與最小值．正確答案：｜z｜的最值點與z2的最值點一致，用拉格朗