分類討論思想

分類討論思想是一種重要的數學思想方法，學習和掌握分類討論思想方法，有

利于培養學生更全面、更有邏輯的分析和解決問題。一般來說，絕多大數需要分

類討論思想方法求解的數學問題都含有參數，由于參數所在范圍的不同導致相

應的數學模型的變化，從而在各種不同的具體情境下求解問題，這就產生了分類

討論。

題型一分類討論思想在集合中的應用

1.已知集合A={La,八，B={a2,a,ab],若4=石，則

A.-1B.0C.1D.2

2.已知若則實數a取值的集合為，

A.1—C.D,{-2-P

3.已知集合與，若則實數a的取值范圍為，：

A.(0,1)B.3，l|C.[?,l|D.|f,II

4.設集合/若里,

則實數a的取值范圍為?

2|212

A.{o|A>—}B.—}C.{o|A?—}D.{ti|ti?—)

5.已知集合a>Oi，集合言.

(1)當o=l時，求AB,AB■,

(2)若求實數°的取值范圍.

6.已知

(1)若，，-/二，求A;

(2)若求也的取值范圍.

(1)若c^=2.,求集合B；

(2)如果是()的必要條件，求實數。的取值范圍.

(1)若4^2,求實數。的取值范圍;

(2)若AB=A,求實數°的取值范圍.

題型二分類討論思想在函數中的應用

1.已知函數出XfD若/⑷=N,則。的值為

A.-二或_B..或_C.--D..

;??I;

2.若函數尸為SC且a*D為增函數，則函數"x)=log.」一的大致圖象是

X+1

3.已知函數人口軍道2芟且。#1)在區間［1,4］上的最大值與最小值的差為1,則實

數4的值為

A.2B.4C.1或4D.，或2

4.已知。＞1,函數、=儲1與的圖象可能是

5.函數在區間〃，上是增函數，則實數4的取值范圍是

A.(1,-1B.I-.I)C.(0,1)D.(1,+00)

J!

6.函的最大值和最小值分別是

A.4和0B.4和-4

C.。和-4D.既無最大值，也無最小值

7.已知函數出二^匯評+^+⑦0①是定義域上的遞減函數，則實數。的取值范圍是

A.|一,I)B.(I,--IC.(—,一|D.I—11

555J)(

8.已知函數在區間一，I)上為增函數，則實數。的取值范圍為

A.(0,1)B.|4,+oo)C.(QD岸,+oo)D.(QI)口,+oo)

9.已知命題,：函數尸是(O,*o)的增函數，命題q:彥

的值域為R,且P”是假命題，是真命題，則實數加的范圍是

A.(pw)B.(1,^-1C.(0,1](?)D.|L||

10.已知函數且/(I)=0.

(1)求用的值，并用分段函數的形式來表示/(x)；

(2)在如圖給定的直角坐標系內作出函數〃x)的草圖(不用列表描點);

(3)由圖象指出函數/(x)的單調區間.

y

▲

--------1---------------?------?----

-1O12

11.已知函數若］(a)求實數。的取值范圍.

2

12.已知函數為'*",其中4為實數，且3c.

E%—D,xv”

（1）當時，求函數/（X）的單調區間；

（2）若方程出=O僅有一個實數根，求實數。的取值范圍.

13.已知函數且a#D.

（I）求函數/（%）的定義域；

（II）判斷函數/（X）的奇偶性；

（III）解關于I的不等式1^0$.

14.（1）作出^的圖象，并討論方程_/8=〃的實根的個數；

（2）已知函數若存在xe[3,",使_/3<0成立，求實數”的

取值范圍.

參考答案

題型一

L【解答】解：由題意得①組或②;「〃，

P=(1'11=ai

由②得當口=1時，^^={1,1,bI,不符合，舍去；

當在7時，任C,A={1,-1,1|,氏￡4,1,1|,符合題意.

由①得，=1,舍去，

所以anT,b=O.

故選：A.

2.【解答】解：&{1,1|,且

.1.①a=C時，滿足BuA：

②但C時，B=[-],則L=1或2,解得。=1或-，

aa

：.實數a的取值集合為1Q」,3.

2

故選：A.

3.【解答]解：已知集合^

若6三A,貝山集合包含B集合的所以元素，

解B集合時，當3C時，不滿足題設條件，

當3c時，】無實數解，B集合為空集，滿足條件，

當&><2時，x〉L,則L“i,a,i，即Ova,L

aa

綜上則實數。的取值范圍為：I。，II,

故選：C.

4.【解答】解：由己知可得而

由出,則①CX時，N^z金，解得j,p此時滿足題意，

!-）MJfl

②時，要滿足題意，只需！-S」，解得二a,

33

h,!

綜上，°的取值范圍為：。，乙，

3

故選：D.

5.【解答】解：（1）當，=1時，集合集合

（2）集合^6Z>O},集合

A&^,

:.當為42時，a.3a,解得q,0,不合題意，

、r.,h<JuIii<Ja

當事2時，（，或，，，

解得a.3或心-.

3

7

又QC,故實數。的取值范圍是（。，一］［3,+8）.

3

6.［解答］解：（1）當三時，

(2)

當時，可得加〈二；

3

當區立時，則N^L：L?且

或且

解得〃^2或—?w<—,

32

綜上所述，m的取值范圍是(-s,5.

2

7.【解答】解：(1)當在總時，與V^C，即解得劇4,故氏［2,

H；

(2))］,門，

如果Q是》的必要條件，

則AoB,

J'：］，解得樨黜2,

［a...3

故。的取值范圍為［?,?I.

8.【解答】解：(1)

7

當,=1時，A=(―),符合題意；

3

當31,總、有根，故解得--L；

綜上可得，實數a的取值范圍是+8);

(2)8=｛士姮，土亞4，

22

若△=s>i^?>=c,即“<-L,滿足題意；

若△=(),即a=-L,A=(i),不滿足AuB,應舍去；

83―

33

若△>(),即〃>［，4=滓士反，土叵｝,根據韋達定理，1一"，解得在幺；

822,2

-2=-------

^1-a

：,實數。的取值范圍為伍|a<-］或。=2｝.

題型二

1.【解答］解：當。>1時，I(a)=/>i,_2,此時。不存在

4

當④1,I(a)=-a2+2a=--BP

4

解可得a-1或。=-(舍，

22

綜上可得a=-L

2

故選：C.

2.【解答】解：且。*D為增函數，

.0=^3^,

y=-----在(-L+◎上為減函數,

根據復合函數的單調性可知函數/(x)=log"」一在(一L+◎單調遞增,

:,排除A,C.

又當x=l時，I(1)有意義，排除B.

故選：D.

3.【解答】解：函數且在區間|!，H上的最大值與最小值的差為

當時，/(%)在［1,4］上單調遞增,

f(4)-f(2)

當時，/(X)在［?,4I上單調遞減,

f(2)-f(4)一

的值為4或」.

故選：C.

4.【解答］解：已知。>1,故函數是增函數.

而函數2的定義域為(-oo,0),且在定義域內為減函數,

故選：B.

5.【解答】解：由題意可得，1>C且"wl,

令e壬石，則該函數是減函數，

要使函數/在區間〃，」上是增函數,

0<6/<

解得0<a<—.

2

：,實數。的取值范圍是&L.

2

故選：A.

6.［解答］解：-

當時，,,^+l=C,

當Titi3時，*^工，入開工C,

.?人力在2工4時取最大值——；在_A^3時取最小值

當*>3時，

4,x<-1

終上所述：/（I）=-2i+2,-1初3.

-4,x>3

其值域是［-4,4］,即最小值是-4,最大值是4.

故選：B.

7.【解答】解：因為/彷=卜7g2+av+*KxD是定義域上的遞減函數,

0<fl<1

所以,2(―1),1

解得，0<a”y.

故選：B.

8.【解答】解：由題意，a>C且a才1,

函數哥在區間I—,11上是增函數，

當時，可得度刈=￡2?^^在一")上是減函數,其對稱軸方程為I=L,開口向上，

!a

則L,i且《(1)...o，

a

即G^C,得4.2(舍去)；

當。>1時，可得度在，L,u上是增函數，其對稱軸方程為…1,開口向上,

!a

則一“一且g(-)...0，

A12

[a..2

即，1，得a4.

14

綜上可得：實數。的取值范圍是N,+00).

故選：B.

9.【解答]解：P為真時，/(X)是增函數，則小印，

7_

H為真時，則y=儂：2-耳兀+根可以取遍所有正值，

又z^C,:,△...0，解得：0<加”—,

3

p/\q是假命題，p\/q是真命題，則p、Q一真一假,

p真q假時，且加〉丁或〃^O,解得〃

p假Q真時，S，1且0<相”1,解得0<m?y,

綜上：或。<m?-,

3

故選：C.

10.【解答】解：(1)f(1)=0,

4?^H=€,

即77^=1；

(2)函數圖象如圖：

(3)函數單調區間：

遞增區間：(-8,；],[1,+8),

遞減區間：I-.I].

!

1L【解答]解：當&>C時，由I(a)得log：>log：，即可得：a>l；

當3c時，同樣得1叱>1叱，即可得：

2

綜上得：T5=zas=d或a>L

所求。的范圍是：（-1,OJQ,+W）

12.【解答】解：（1）當時，則可得單調增區間為卜1,+8）；

娶一，可得單調減區間為（-8,-1］；

故函數/（x）的單調增區間為［-1,+?））；單調減區間為（-8,-1］.

（2）方程_/8=O僅有一個實數根，

當。>1時，可得存在一個實數根1,

那么存在一個實數根2°,

故a>l不符合題意；

當L.a>0時，可得不存在一個實數根，

那么英，對稱軸*=ti,存在一個實數根2a,

當X：時，可得不存在一個實數根，

那么對稱軸*=sa,存在一個實數根0

綜上可得實數。的取值范圍是（-8,。J@,口.

13.【解答】解：（I）要是函數有意義，則:？->0,

解得

故函數/（%）的定義域為（-2,2）

（II）

所以函數〃彳）為奇函數

(iii)