多元分布的基本概念

一、 隨機(jī)向量二、分布函數(shù)與密度函數(shù)三、多元變量的獨(dú)立性四、隨機(jī)向量的數(shù)字特征1在研究社會、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和許多實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常遇到多指標(biāo)的問題。例如研究職工工資構(gòu)成時(shí)，計(jì)時(shí)工資、基礎(chǔ)工資與職務(wù)工資、各種獎金、各種津貼等都是同時(shí)需要考察的指標(biāo)；又如在研究公司的運(yùn)營情況時(shí)，要涉及公司的資金周轉(zhuǎn)能力、償債能力、獲利能力及競爭能力等財(cái)務(wù)指標(biāo)，這些都是多指標(biāo)的研究問題。顯然，僅研究某個指標(biāo)或?qū)⑦@些指標(biāo)割裂開來分別研究，都不能從整體上把握所研究問題的實(shí)質(zhì)。一般地，假設(shè)我們所研究的問題涉及p個指標(biāo)，n次觀測，這將會得到np個數(shù)據(jù)，我們的目的就是對觀測對象進(jìn)行分組、分類或分析、考察這p個變量之間的相互關(guān)聯(lián)程度，或找出內(nèi)在規(guī)律等。下面我們簡要介紹多元分析中涉及的一些概念。2一、隨機(jī)向量我們所討論的是多個變量的總體，所研究的數(shù)據(jù)是同時(shí)觀測p個指標(biāo)（即變量），又進(jìn)行了n次觀測得到的，我們把這p個指標(biāo)表示為常用向量表示對同一個體觀測的p個變量。若觀測了n個個體，則可得到np個數(shù)據(jù)，稱每一個個體的p個變量為一個樣品，而全體n個樣品形成一個樣本。因此，樣本資料可用矩陣語言表示為

定義一設(shè)為p個隨機(jī)變量，由它們組成的向量稱作隨機(jī)向量。3二、分布函數(shù)與密度函數(shù)

（一）、多元概率分布1、多元概率分布函數(shù)隨機(jī)向量的概率分布函數(shù)定義為2、分布函數(shù)的性質(zhì)①非降的右連續(xù)函數(shù)；4②分布函數(shù)的取值范圍為[0，1]，即③分布函數(shù)當(dāng)變量取值為無窮大時(shí)，函數(shù)值收斂到1，即5（二）、兩個常用的離散多元分布

1、多項(xiàng)分布則稱服從多項(xiàng)分布。62、多元超幾何分布則服從多元超幾何。7

（三）、多元概率密度

1、定義隨機(jī)向量的分布函數(shù)可以表示為則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量。稱為的多元概率密度函數(shù)。

8若在點(diǎn)連續(xù)，則9（四）、邊際分布

設(shè)有連續(xù)隨機(jī)向量

不妨設(shè)是的q個分量組成。則的分布為

10所以的邊際密度為例有概率密度函數(shù)試分別求的邊際密度。11三、多元變量的獨(dú)立性1、定義設(shè)和是兩個隨機(jī)向量，若

對一切、成立，則稱和相互獨(dú)立。2、設(shè)和是兩個連續(xù)隨機(jī)向量，和相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)或?qū)σ磺小⒊闪ⅰ?23、設(shè)是個隨機(jī)向量，若

對一切成立，則相互獨(dú)立。13例設(shè)X=(x1,x2,x3)’有概率密度函數(shù)試證x1,x2,x3相互獨(dú)立。14四、隨機(jī)向量的數(shù)字特征設(shè)有p個分量。若存在，我們定義隨機(jī)向量X的均值為（一）、隨機(jī)向量X的均值是由隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)矩陣。15是一個p維向量，稱為均值向量。162、性質(zhì)

1）

設(shè)

為常數(shù)，則；2）設(shè)分別為常數(shù)矩陣，則3）設(shè)為個同階矩陣，則17（二）、協(xié)方差矩陣

1、定義：設(shè)和分別為維和維隨機(jī)向量，則其協(xié)方差矩陣為182、性質(zhì)1）若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，yp)相互獨(dú)立。則19若(x1,x2,…，xp)’的分量相互獨(dú)立,則協(xié)方差矩陣， 除主對角線上的元素外均為零，即20

2）隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣

是非負(fù)定矩陣。證：設(shè)a為任意與X有相同維數(shù)的常數(shù)向量，則

3、若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，yp)分別是p和q維隨機(jī)向量，A和B為常數(shù)矩陣，則21三、相關(guān)系數(shù)矩陣若(x1,x2,…，xp)’和(y1,y2,…，y