2024屆山東省寧津縣保店中學高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點是底面圓周上一點，則點到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．2．設為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，若，則（）.A．9 B．6 C． D．3．為比較甲、乙兩名高中學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算最強4．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)等于（）A． B．1 C． D．25．將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關于g(x)的結論：①它的圖象關于直線x=對稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關于點(，1)對稱；④它在[]上單調遞增.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④6．“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中．“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的—個階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）．則“5階幻方”的幻和為（）A．75 B．65 C．55 D．457．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．8．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則A． B．C． D．10．若復數(shù)為虛數(shù)單位在復平面內所對應的點在虛軸上，則實數(shù)a為（）A． B．2 C． D．11．已知，則（）A．5 B． C．13 D．12．設，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是_________14．根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出的值為______.15．在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為，函數(shù)的圖象經過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.16．在三棱錐中，已知，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.18．（12分）為了保障全國第四次經濟普查順利進行，國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū)，然后再逐級確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū)，在普查過程中首先要進行宣傳培訓，然后確定對象，最后入戶登記，由于種種情況可能會導致入戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點經驗，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個體經營戶，普查情況如下表所示：普查對象類別順利不順利合計企事業(yè)單位401050個體經營戶10050150合計14060200（1）寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法；（2）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”；（3）以該小區(qū)的個體經營戶為樣本，頻率作為概率，從全國個體經營戶中隨機選擇3家作為普查對象，入戶登記順利的對象數(shù)記為，寫出的分布列，并求的期望值．附：0.100.0100.0012.7066.63510.82819．（12分）如圖，三棱錐中，點，分別為，的中點，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.20．（12分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.21．（12分）已知橢圓的右焦點為,過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為為坐標原點.（1）證明:點在軸的右側;（2）設線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點.若與的面積相等,求直線的斜率22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設（），數(shù)列的前項和.若對恒成立，求實數(shù)，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉化求解的位置，推出結果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點是底面圓周上一點，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．2、C【解析】

設，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設，，，由及，得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學生等價轉化的能力，是一道容易題.3、D【解析】

根據(jù)所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學建模素養(yǎng)，故B正確；對于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學運算為80分，不是最強的，故D錯誤；故選：D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算，考查了學生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.4、B【解析】

先根據(jù)復數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應的的值即可.【詳解】因為，所以，又因為是純虛數(shù)，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算以及根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復數(shù)為純虛數(shù)，則有.5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調區(qū)間等相關性質求解即可.【詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故②正確；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是對稱軸，故①錯誤；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函數(shù)g(x)的圖象關于點(，1)對稱，故③正確；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④錯誤；故選：B【點睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對稱性、單調性和最小正周期等性質；考查運算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、單調性和最小正周期等相關性質是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型6、B【解析】

計算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為，故選B.【點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎題.7、B【解析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切后，將代入計算即可求出值．【詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及直線傾斜角與斜率之間的關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．8、A【解析】

在中，設，，，結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據(jù)已知條件結合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數(shù)使得，，設，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點睛】本題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬于難題.9、B【解析】

因為，所以，故選B．10、D【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【詳解】解：在復平面內所對應的點在虛軸上，，即．故選D．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．11、C【解析】

先化簡復數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，，故選：C【點睛】考查復數(shù)的運算，是基礎題.12、D【解析】

結合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性的應用,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

，可得在時，最小值為，時，要使得最小值為，則對稱軸在1的右邊，且，求解出即滿足最小值為.【詳解】當，，當且僅當時，等號成立.當時，為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對稱軸要滿足并且，即，解得.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，對每段函數(shù)先進行分類討論，找到每段的最小值，然后再對兩段函數(shù)的最小值進行比較，得到結果，題目較綜合，屬于中檔題.14、7【解析】

表示初值S=1,i=1，分三次循環(huán)計算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán)：S=1+1=2,i=1+2=3；第二次循環(huán)：S=2+3=5,i=3+2=5；第三次循環(huán)：S=5+5=10,i=5+2=7；S=10>9,循環(huán)結束，輸出：i=7.故答案為：7【點睛】本題考查在程序語句的背景下已知輸入的循環(huán)結構求輸出值問題，屬于基礎題.15、【解析】

結合題意先畫出直角坐標系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為點，再由函數(shù)性質進一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標重復，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調，將，代入的表達式有由知，因此.故答案為：【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結合思想，屬于中檔題16、【解析】

取的中點，設等邊三角形的中心為，連接.根據(jù)等邊三角形的性質可求得，，由等腰直角三角形的性質，得，根據(jù)面面垂直的性質得平面，，由勾股定理求得，可得為三棱錐外接球的球心，根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中，取的中點，設等邊三角形的中心為，連接.由，得，，由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，，，所以，為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積，關鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關系、棱的關系和長度求得外接球的球心的位置，球的半徑，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）取的中點D，連結，.根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內的直線且交于點，由（1）得，再結合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點D，連結，.在中，P，D分別為，中點，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.18、（1）分層抽樣，簡單隨機抽樣（抽簽亦可）（2）有（3）分布列見解析，【解析】

（1）根據(jù)題意可以選用分層抽樣法，或者簡單隨機抽樣法.（2）由已知條件代入公式計算出結果，進而可以得到結果.（3）由已知條件計算出的分布列，進而求出的數(shù)學期望.【詳解】（1）分層抽樣，簡單隨機抽樣（抽簽亦可）．（2）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得所以有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”．（3）以頻率作為概率，隨機選擇1家個體經營戶作為普查對象，入戶登記順利的概率為．可取0，1，2，3，計算可得的分布列為：0123【點睛】本題考查了運用數(shù)學模型解答實際生活問題，運用合理的抽樣方法，計算以及數(shù)據(jù)的分布列和數(shù)學期望，需要正確運用公式進行求解，本題屬于常考題型，需要掌握解題方法.19、證明見解析；證明見解析.【解析】

利用線面平行的判定定理求證即可；為中點，為中點，可得，，，可知，故為直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解：證明：為中點，為中點，，又平面，平面，平面；證明：為中點，為中點，，又，，則，故為直角三角形，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又∵平面，平面平面.【點睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應用，屬于基礎題.20、（1）；（2）不能，理由見解析【解析】

（1）設，則，由此即可求出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得，則直線斜率為，設其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理可得關于對稱，可求得，假設存在直線滿足題意，設，可得，由此可得答案．【詳解】解：（1）設，則，，所以橢圓方程為；（2）設直線的方程為，與聯(lián)立得，∴，因為兩直線的傾斜角互補，所以直線斜率為，設直線的方程為，聯(lián)立整理得，，所以關于對稱，由正弦定理得，因為,所以，由上得，假設存在直線滿足題意，設，按某種排列成等比數(shù)列，設公比為，則，所以，則此時直線與平行或