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2024屆山西省忻州市高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.2.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);③若在上恰有7個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.43.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為()A. B.C. D.4.設(shè)函數(shù),若在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為,,,且,則此三棱錐外接球表面積的最小值為()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.7.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.8.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.89.已知,則下列關(guān)系正確的是()A. B. C. D.10.如圖所示,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.11.如圖,已知平面,,、是直線上的兩點(diǎn),、是平面內(nèi)的兩點(diǎn),且,,,,.是平面上的一動(dòng)點(diǎn),且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.12.命題:的否定為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在長(zhǎng)方體中,,E,F(xiàn),G分別為的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi),若直線平面EFG,則線段長(zhǎng)度的最小值是________________.14.已知,滿足不等式組,則的取值范圍為_(kāi)_______.15.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.16.在數(shù)列中,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.(12分)中的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點(diǎn)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.19.(12分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為證明:.20.(12分)如圖,四棱錐中,底面是矩形,面底面,且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,在上,且面.(1)求證:是的中點(diǎn);(2)在上是否存在點(diǎn),使二面角為直角?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.21.(12分)車(chē)工劉師傅利用數(shù)控車(chē)床為某公司加工一種高科技易損零件,對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:加工1個(gè)零件用時(shí)(分鐘)20253035頻數(shù)(個(gè))15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座,用時(shí)40分鐘,另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)100分鐘的概率.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論fx(2)當(dāng)x≥-1時(shí),fx+a

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、B【解析】

對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性及平移變換,對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)分析,可選出答案.【詳解】因?yàn)椋灾芷?對(duì)于①,因?yàn)?,所以,即,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則,解得,故對(duì)任意整數(shù),,所以②錯(cuò)誤;對(duì)于③,令,可得,則,因?yàn)?,所以在上?個(gè)零點(diǎn),且,所以第7個(gè)零點(diǎn),若存在第8個(gè)零點(diǎn),則,所以,即,解得,故③正確;對(duì)于④,因?yàn)椋遥?,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于中檔題.3、C【解析】

,將看成一個(gè)整體,結(jié)合的對(duì)稱(chēng)性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的問(wèn)題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.4、A【解析】

由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征,建立不等量關(guān)系,即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,∵在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體,于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,進(jìn)而得到外接球的半徑,求得外接球的面積后可求出最小值.【詳解】由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn),即為三棱錐,且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,∴此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,且球半徑為,∴三棱錐外接球表面積為,∴當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),三棱錐外接球的表面積取得最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】(1)解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑,同時(shí)要作一圓面起襯托作用.(2)長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,對(duì)于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體,通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題.6、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考,常見(jiàn)考點(diǎn)有:點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.7、C【解析】

由可得,再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,,所以,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值公式的靈活運(yùn)用的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

首先判斷和1的大小關(guān)系,再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,綜上可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形,所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因?yàn)殡u蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點(diǎn)距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點(diǎn)睛:本題主要考查折疊問(wèn)題,考查球體有關(guān)的知識(shí).在解答過(guò)程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問(wèn)題時(shí),可以采用軸截面的方法來(lái)處理.也就是畫(huà)出題目通過(guò)球心和最低點(diǎn)的截面,然后利用弦長(zhǎng)和勾股定理來(lái)解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.11、B【解析】

為所求的二面角的平面角,由得出,求出在內(nèi)的軌跡,根據(jù)軌跡的特點(diǎn)求出的最大值對(duì)應(yīng)的余弦值【詳解】,,,,同理為直線與平面所成的角,為直線與平面所成的角,又,在平面內(nèi),以為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則,設(shè),整理可得:在內(nèi)的軌跡為為圓心,以為半徑的上半圓平面平面,,為二面角的平面角,當(dāng)與圓相切時(shí),最大,取得最小值此時(shí)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果.12、C【解析】

命題為全稱(chēng)命題,它的否定為特稱(chēng)命題,將全稱(chēng)量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

如圖,連接,證明平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)時(shí).線段的長(zhǎng)度最小,再求此時(shí)的得解.【詳解】如圖,連接,因?yàn)镋,F(xiàn),G分別為AB,BC,的中點(diǎn),所以,平面,則平面.因?yàn)?,所以同理得平面,?所以平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上.在中,,故當(dāng)時(shí).線段的長(zhǎng)度最小,最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,易知在點(diǎn)處取得最小值,即,所以由圖可知的取值范圍為.15、80.【解析】

只需找到展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,則,故的展開(kāi)式中的系數(shù)為80.故答案為:80.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,涉及到展開(kāi)式中的特殊項(xiàng)系數(shù),考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.16、【解析】

由題意可得,又,數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,分別求出,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),則為奇數(shù),∴,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出,從而確定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,求出通項(xiàng)公式后再由已知求出偶數(shù)項(xiàng),要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)利用分段討論法去掉絕對(duì)值,結(jié)合圖象,從而求得不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最小值,把問(wèn)題化為,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),則所以不等式的解集為.(2)等價(jià)于,而,故等價(jià)于,所以或,即或,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查含有絕對(duì)值的不等式解法、不等式恒成立問(wèn)題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度一般.18、(1)(2)10【解析】

(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知計(jì)算出與,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,則,化簡(jiǎn)得,,解得或(負(fù)值舍去),,,,,,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查了二倍角公式的應(yīng)用,考查了運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)因?yàn)椋?,所以,即,又因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列,且公差為1,首項(xiàng)為1,則,即.設(shè)的公差為,則,所以(),則(),所以,因此,綜上,.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則兩式相減得,所以,設(shè)則,所以.20、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析:(1)連交于可得是中點(diǎn),再根據(jù)面可得進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果;(2)取中點(diǎn),由(1)知兩兩垂直.以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出面的一個(gè)法向量,用表示面的一個(gè)法向量,由可得結(jié)果.試題解析:(1)證明:連交于,連是矩形,是中點(diǎn).又面,且是面與面的交線,是的中點(diǎn).(2)取中點(diǎn),由(1)知兩兩垂直.以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則各點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)存在滿足要求,且,則由得:,面的一個(gè)法向量為,面的一個(gè)法向量為,由,得,解得,故存在,使二面角為直角,此時(shí).21、(1)分布列見(jiàn)解析,;(2)0.8575【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列,并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.(2)根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出劉師傅講座及加工個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率.【詳解】(1)的分布列如下:202530350.150.300.400.15.(2)設(shè),分別表示講座前、講座后加工該零件所需時(shí)間,事件表示“留師傅講座及加工兩個(gè)零件示范的總時(shí)間不超過(guò)100分鐘”,則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查對(duì)立事件概率計(jì)算,考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算,屬于中檔題.22、(1)見(jiàn)解析;(2)-∞,1【解析】

(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對(duì)a分類(lèi)討論,即可得出單調(diào)性.

(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,當(dāng)x=-1時(shí),0≤-1e+1恒成立.當(dāng)x>-1時(shí),a≤xe【詳解】解法一:(1)f①當(dāng)a≤0時(shí),x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時(shí),f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)

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