笛卡兒（），法國著名數學家、哲學家、思想家．迪卡兒的最大貢獻是，建立以他的名字命名的迪卡兒坐標系，將過去對立著的兩個研究對象“數”與“形”統一起來，他在數學中引入“變量”，完成了數學史上一項劃時代的變革，年出版的《方法論》一書成為哲學經典，這本書的個著名附錄《幾何》、《折光》和《氣象》奠定了笛卡兒在數學、物理和天文學中的地位．16．平面直角坐標系解讀課標在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系，從而坐標平面上的點與有序數對之間建立了一一對應關系，利用平面直角坐標系是確定位置的有效方法之一，解與此相關的問題需注意：（1）理解點的坐標意義；（2）熟悉象限內的點、坐標軸上的點、對稱點的坐標特征；（3）善于促成坐標與線段的轉化．如果說數軸撞開了數形結合的“一線天”，那么直角坐標系則撞開了一片廣闊的天地．問題解決例1（1）已知點，且點到兩坐標軸的距離相等，則點的坐標為________．（2）如圖，圍棋盤放置在某個平面直角坐標系內，白棋②的坐標為，白棋④的坐標為，那么，黑棋的坐標應該分別是________．試一試對于（1），由橫縱坐標的聯系建立方程．例2如圖，一個粒子在第一象限內及、軸上運動，在第一分鐘內它從原點運動到，而后它接著按圖所示在軸、軸平行的方向上來回運動，且每分鐘移動個長度單位，那么，在分鐘后這個粒子所處的位置是（）．A．B．C．D．試一試從尋找第一象限特殊點的坐標與運動時間關系入手．例3如果將點繞定點旋轉后與點重合，那么稱點與點關于點對稱，定點叫做對稱中心，此時，點是線段的中點，如圖，在直角坐標系中，的頂點、、的坐標分別為、、，點，，，…中相鄰兩點都關于的一個頂點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，點與點關于點對稱，…對稱中心分別是，，，，，，…且這些對稱中心依次循環，已知的坐標是．試寫出點、、的坐標．試一試在操作的基礎上，探尋點的坐標變化規律．例4如圖，在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別為：，，，．（1）求此四邊形的面積．（2）在坐標軸上，你能否找到一點，使?若能，求出點坐標；若不能，請說明理由．試一試對于（1），通過作輔助線把表示為常規圖形面積的和差；對于（2），因點位置不確定，故需分類討論．例5如圖①，已知是一個長方形，其中頂點、的坐標分別為和，點在上，且，點在上，且．點在上，且使的面積為，的面積為，試求的值．解設點坐標為，，，，即．①同理，由，得，即．②解由①②聯立的方程組得．棋盤上的數學例6下象棋是很多人喜愛的事，你知道象棋里充滿著數學問題嗎？如圖①，象棋盤上有一只馬，它跳七步能回到原來的位置上嗎？若能，請給出一種跳法；若不能，請說明理由．分析與解不論怎么跳，馬都不能回到原來的位置，理由如下：如圖②，我們可在棋盤上建立直角坐標系，并設這只馬所在的位置的坐標為．那么，馬跳一步后的位置的坐標應為，這里的和只可能是，，，這四個數中的一個（想一想，為什么）．同樣，跳第二步后，馬所在的位置的坐標應為，這里的和也只可能是，，，．依此類推，跳七步后，馬所在的位置的坐標為．如果這時馬又回到原來的位置，那么有，．也即，將兩式相加，有．由于上式中個數都只能取，，，，而且每一次跳的兩個坐標之和不能為，，，和，因此，，，，，，這七個數只能取，，，．但是不論怎樣取法，由于奇數個奇數相加的和為奇數，所以這樣取出的七個數的和不可能等于．故馬跳七步不可能回到原來的位置．數學沖浪知識技能廣場1．如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，若點的坐標為，則點的坐標為________．2．已知點和關于軸對稱，則的值為_______．3．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫坐標分別為整數的點，其順序按圖中“→”方向排列，如，，，，，……根據這個規律，第個點的橫坐標為_______．4．在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．已知點，點是軸正半軸上的整點，記內部（不包括邊界）的整點個數為，當時，點的橫坐標的所有可能值是_______；當點的橫坐標為（為正整數）時，________（用含的代數式表示）．5．已知點關于軸的對稱點在第一象限，則的取值范圍是（）．A．B．C．D．6．如果點在第四象限，那么的取值范圍是（）．A．B．C．D．7．線段在直角坐標系中的位置如圖所示，線段關于軸對稱，則點的對應點的坐標為（）．A．B．C．D．8．甲乙兩位同學用圍棋子做游戲．如圖所示，現輪到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的個棋子組成軸對稱圖形，白棋的個棋子也成軸對稱圖形，則下列下子方法不正確的是（）．[說明：棋子的位置用數對表示，如點在]A．黑；白B．黑；白C．黑；白D．黑；白9．中國象棋棋盤中蘊含著平面直角坐標系，如圖是中國象棋棋盤的一半，棋子“馬”走的規則是沿“日”形的對角線走．例如：圖中“馬”所在的位置可以直接走到點、處．（1）如果“帥”位于點，“相”位于點，則“馬”所在的點的坐標為______，點的坐標為_______，點的坐標為________．（2）若“馬”的位置在點，為了到達點，請按“馬”走的規則，在圖中畫出一種你認為合理的行走路線，并用坐標表示．10．在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點出發，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動個單位．其行走路線如圖所示．（1）填寫下列各點的坐標：（______，_______）；（______，______）；（______，______）．（2）寫出點的坐標（是正整數）．（3）指出螞蟻從點到點的移動方向．思維方法天地11．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數的點稱為整點，請你觀察圖中的正方形，，，…，每個正方形四條邊上的整點的個數，推算出正方形四條邊上的整點共有________個．12．如圖，正方形在坐標系中的位置如圖，將正方形繞點順時針旋轉后，點的坐標為_____．13．如圖，把自然數按圖的次序排在直角坐標系中，每個自然數都對應著一個坐標．如的對應點是原點，的對應點是，的對應點是，那么的對應點的坐標是_______．14．若關于、的方程組的解為坐標的點在第二象限，則符合條件的實數的范圍是（）．A．B．C．D．15．在平面直角坐標系中，對于平面內任一點，若規定以下三種變換：①．如；②．如；③．如．按照以上變換有：，那么，等于（）．A．B．C．D．16．設平面直角坐標系的軸以作為長度單位，的頂點坐標為，，，其中，若該三角形的面積為，則的值是（）．A．B．C．D．E．17．如圖，長方形的各邊分別平行于軸或軸，物體甲和物體乙由點同時出發，沿長方形的邊作環繞運動，物體甲按逆時針方向以每秒個單位長度的速度勻速運動，物體乙按順時針方向以每秒個單位長度的速度勻速運動，求兩個物體開始運動后的第次相遇地點的坐標．18．在平面直角坐標系中，如圖①，將線段平移至線段，連接、．（1）直接寫出圖中相等的線段、平行的線段；（2）已知、，點在軸的正半軸上．點在第一象限內，且，求點、的坐標；（3）如圖②，在平面直角坐標系中，已知一定點，，兩個動點、，請你探索是否存在以兩個動點、為端點的線段平行于線段且等于線段．若存在，求以點、、、為頂點的四邊形的面積，若不存在，請說明理由．應用探究樂園19．如圖，是放置在平面直角坐標系內的梯形，其中是坐標原點．點、、的坐標分別為，，，若點在梯形內，且，，求點的坐標．20．操作與研究（1）對數軸上的點進行如下操作：先把點表示的數乘以，再把所得數對應的點向右平移個單位，得到點的對應點．點，在數軸上，對線段上的每個點進行上述操作后得到線段，其中點，的對應點分別為，．如圖①，若點表示的數是，則點表示的數是______；若點表示的數是，則點表示的數是______；已知線段上的點經過上述操作后得到的對應點與點重合，則點表示的數是_________．（2）如圖②，在平面直角坐標系中，對正方形及其內部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一個實數，將得到的點先向右平移個單位，再向上平移個單位，得到正方形及其內部的點，其中點，的對應點分別為，．已知正方形內部的一個點經過上述操作后得到的對應點與點重合，求點的坐標．16．平面直角坐標系問題解決例1（1）、；（2）、例2D弄清粒子的運動規律，先觀察橫坐標與縱坐標的相同的點：，粒子運動了分鐘；，粒子運動了分鐘，將向左運動；粒子運動了分鐘，將向下運動；，粒子運動了分鐘，將向左運動，粒子運動了分鐘，將向下運動，…，于是將有：點處粒子運動了分鐘，這時粒子將向下運動，從而在運動了分鐘后，粒子所在位置是，故選D．例3點與點重合，個點構成一個循環，，．，點與點坐標相同，為．例4（1）．（2）①當點在軸上，設，則，由，得或，，．②當點在軸上，延長交軸于點，過作軸于，設，，，．又，解得，．設，當點在點上方時，，，解得；當點在點下方時，，，解得，綜上，，，滿足題意．數學沖浪1．2．3．以最外邊的正方形邊上的點為準，點的總個數等于該正方形右下角（即軸上）的點的橫坐標的平方．4．或；5．B6．D7．D8．C9．（1），，；（2）略10．（1），，；（2），；（3）向上11．提示：每個正方形四條邊的整點個數為12．13．所有奇數的平方數都在第四象限的角平分線上，且數對應點的坐標為，于是數對應點的坐標為，而，故對應點的坐標為．14．B15．B16．B17．因為長方形的邊長為和，所以長方形的周長為．因為物體乙的速度是物體甲的倍，故相同時間內，物體甲與物體乙行的路程比為．（1）因為第次相遇時，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們在邊相遇，此時相遇地點的坐標為；（2）因為第次相遇時，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們在邊相遇．此時相遇地點的坐標為；（3）因為第次相遇時，物體甲與物體乙行的路程的和為，故物體甲行的路程為，物體乙行的路程為，所以它們在點相遇．此時甲