第1課時橢圓的標準方程在平面直角坐標系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．問題1：若動點P滿足PA＋PB＝6，設P的坐標為(x，y)，則x，y滿足的關系式是什么？提示：由兩點間距離公式得eq\r(x＋22＋y2)＋eq\r(x－22＋y2)＝6，化簡得eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.問題2：若動點P滿足PC＋PD＝6，設P的坐標為(x，y)，則x、y滿足什么關系？提示：由兩點間距離公式得eq\r(x2＋y－22)＋eq\r(x2＋y＋22)＝6，化簡得eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1.橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)焦點坐標(±c,0)(0，±c)a、b、c的關系c2＝a2－b21．標準方程中的兩個參數a和b，確定了橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件．a，b，c三者之間a最大，b，c大小不確定，且滿足a2＝b2＋c2.2．兩種形式的標準方程具有共同的特征：方程右邊為1，左邊是兩個非負分式的和，并且分母為不相等的正值．當橢圓焦點在x軸上時，含x項的分母大；當橢圓焦點在y軸上時，含y項的分母大，已知橢圓的方程解題時，應特別注意a>b>0這個條件．[例1]求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)經過兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點．[思路點撥](1)由于橢圓焦點的位置不確定，故可分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況進行討論．也可利用橢圓的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦點，然后設出相應方程，將點(eq\r(3)，－eq\r(5))代入，即可求出a，b，則標準方程易得．[精解詳析](1)法一：若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)＝\f(1,8)，,\f(1,a2)＝\f(1,4).))即a2＝4，b2＝8，則a2<b2，與題設中a>b>0矛盾，舍去．綜上，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.法二：設橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．將兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)因為所求橢圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(eq\r(3)，－eq\r(5))在橢圓上，所以eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(5)))2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.[一點通]求橢圓標準方程的一般步驟為：1．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為(－4,0)，(4,0)，且橢圓經過點(5,0)；(2)經過兩點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).解：(1)由已知得：c＝4，a＝5.b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)設橢圓方程為Ax2＋By2＝1.(A>0，B>0，A≠B)由已知得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)A＋\f(1,9)B＝1，,\f(1,4)B＝1，))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B＝4，,A＝5，))故所求橢圓方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.2．求適合下列條件的橢圓的方程．(1)焦點在x軸上，且經過點(2,0)和點(0,1)；(2)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P(0，－10)，P到它較近的一個焦點的距離等于2.解：(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以可設它的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵橢圓經過點(2,0)和(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵P(0，－10)在橢圓上，∴a＝10.又∵P到它較近的一個焦點的距離等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，∴所求橢圓的標準方程是eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.[例2]已知方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)表示橢圓．(1)若橢圓的焦點在x軸上，求α的取值范圍．(2)若橢圓的焦點在y軸上，求α的取值范圍．[思路點撥](1)已知的方程不是橢圓的標準形式，應先化成標準方程．(2)對于橢圓方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小確定橢圓焦點的位置，列出三角不等式后求α的范圍．[精解詳析]將橢圓方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)化為標準形式為eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,－cosα))＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則eq\f(1,sinα)>－eq\f(1,cosα)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，,tanα>－1，))所以eq\f(3,4)π<α<π.即α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，2π)).(2)若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則－eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，,tanα<－1，))所以eq\f(π,2)<α<eq\f(3π,4).即α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).[一點通]對于討論橢圓方程中參數的取值范圍問題，一般的解題方法是根據題設條件給出的焦點位置，結合對應的標準方程應滿足的條件，建立一個含參數的不等式組，通過求解不等式組得到參數的取值范圍．3．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數a的取值范圍是________．解析：由于橢圓的焦點在x軸上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>a＋6，,a＋6>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2a－3>0,a>－6.))解得a>3或－6<a<－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程eq\f(x2,k－5)＋eq\f(y2,3－k)＝－1表示橢圓，求k的取值范圍．解：方程eq\f(x2,k－5)＋eq\f(y2,3－k)＝－1可化為eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1，由橢圓的標準方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))得3<k<5，且k≠4.所以滿足條件的k的取值范圍是{k|3<k<5，且k≠4}.[例3]如圖所示，已知橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若點P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積．[思路點撥]根據橢圓的標準方程知PF1＋PF2＝4，結合面積公式和余弦定理找到PF1和PF2的關系求解．[精解詳析]由已知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得PFeq\o\al(2,2)＝PFeq\o\al(2,1)＋F1Feq\o\al(2,2)－2PF1·F1F2cos120°，即PFeq\o\al(2,2)＝PFeq\o\al(2,1)＋4＋2PF1.①由橢圓定義，得PF1＋PF2＝4，即PF2＝4－PF1.②②代入①解得PF1＝eq\f(6,5).∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·F1F2·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面積是eq\f(3\r(3),5).[一點通]在橢圓中，由三條線段PF1，PF2，F1F2圍成的三角形稱為橢圓的焦點三角形．涉及橢圓的焦點三角形問題，可結合橢圓的定義列出PF1＋PF2＝2a，利用這個關系式便可求出結果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法．5．已知兩定點F1(－1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1與PF2的等差中項，則動點P的軌跡方程是________．解析：∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴F1F2＝2.∵F1F2是PF1與PF2的等差中項，∴2F1F2＝PF1＋PF2，即PF1＋PF2＝4，∴點P在以F1，F2為焦點的橢圓上，∵2a＝4，a＝2，c＝1，∴b2＝3.∴橢圓的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝16．設F1，F2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PF1∶PF2＝2∶1，則△F1PF2的面積等于________．解析：由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，得a＝3，b＝2，∴c2＝a2－b2＝5.∴c＝eq\r(5).∴F1F2＝2eq\r(5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＋PF2＝6，,PF1∶PF2＝2∶1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＝4，,PF2＝2.))∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2).∴△F1PF2為直角三角形．∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝4.答案：47．如圖，已知F1，F2是橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1的兩個焦點．(1)若橢圓上一點P到焦點F1的距離等于15，那么點P到另一個焦點F2的距離是多少？(2)過F1作直線與橢圓交于A，B兩點，試求△ABF2的周長．解：由橢圓的標準方程可知a2＝100，所以a＝10.(1)由橢圓的定義得PF1＋PF2＝2a＝20，又PF1＝15，所以PF2＝20－15＝5，即點P到焦點F2的距離為5.(2)△ABF2的周長為AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)．由橢圓的定義可知AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，故AB＋AF2＋BF2＝4a＝40.用待定系數法求橢圓的標準方程時，若已知焦點的位置，可直接設出標準方程；若焦點位置不確定，可分兩種情況求解；也可設Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分類討論，達到了簡化運算的目的．課時達標訓練（七）1．若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為________．解析：由橢圓定義知，a＝5，P到兩個焦點的距離之和為2a＝10，因此，到另一個焦點的距離為5.答案：52．橢圓25x2＋16y2＝1的焦點坐標是________．解析：橢圓的標準方程為eq\f(x2,\f(1,25))＋eq\f(y2,\f(1,16))＝1，故焦點在y軸上，其中a2＝eq\f(1,16)，b2＝eq\f(1,25)，所以c2＝a2－b2＝eq\f(1,16)－eq\f(1,25)＝eq\f(9,400)，故c＝eq\f(3,20).所以該橢圓的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(3,20))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(3,20)))3．已知方程(k2－1)x2＋3y2＝1是焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是________．解析：方程(k2－1)x2＋3y2＝1可化為eq\f(x2,\f(1,k2－1))＋eq\f(y2,\f(1,3))＝1.由橢圓焦點在y軸上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－1>0，,\f(1,k2－1)<\f(1,3).))解之得k>2或k<－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F1，F2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.解析：由題意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.答案：85．已知P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1上一點，F1，F2是橢圓的焦點，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________．解析：在△F1PF2中，F1Feq\o\al(2,2)＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2cos60°，即25＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－PF1·PF2.①由橢圓的定義，得10＝PF1＋PF2.②由①②，得PF1·PF2＝25，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2sin60°＝eq\f(25\r(3),4).答案：eq\f(25\r(3),4)6．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)以(0,5)和(0，－5)為焦點，且橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26；(2)以橢圓9x2＋5y2＝45的焦點為焦點，且經過M(2，eq\r(6))．解：(1)∵橢圓的焦點在y軸上，∴設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.∴所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.(2)法一：由9x2＋5y2＝45，得eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1，c2＝9－5＝4，所以其焦點坐標為F1(0,2)，F2(0，－2)．設所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由點M(2，eq\r(6))在橢圓上，所以MF1＋MF2＝2a，即2a＝eq\r(2－02＋\r(6)－22)＋eq\r(2－02＋\r(6)＋22)＝4eq\r(3)，所以a＝2eq\r(3)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,8)＝1.法二：由法一知，橢圓9x2＋5y2＝45的焦點坐標為F1(0,2)，F2(0，－2)，則設所求橢圓方程為eq\f(y2,λ＋4)＋eq\f(x2,λ)＝1(λ＞0)，將M(2，eq\r(6))代入，得eq\f(6,λ＋4)＋eq\f(4,λ)＝1(λ＞0)，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,8)＝1.7．如圖，設點P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是點P在x軸上的投影，M為PD上一點，且MD＝eq\f(4,5)PD，當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程．解：設M點的坐標為(x，y)，P點的坐標為(xP，yP)，由已知易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xP＝x，,yP＝\f(5,4)y.))∵P在圓上，∴x2＋(eq\f(5,4)y)2＝25.即軌跡C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.8．已知動圓M過定點A(－3,0)，并且內切于定圓B：(x－3)2＋y2＝64，求動圓圓心M的軌跡方程．解：設動圓M的半徑為r，則|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，∴動點M的軌跡是橢圓，且焦點分別是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴所求動圓圓心M的軌跡方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.第2課時橢圓的幾何性質建立了橢圓的標準方程后，我們就可以通過方程研究橢圓的幾何性質．以方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)為例，試著完成下列問題：問題1：方程中對x，y有限制的范圍嗎？提示：由eq\f(y2,b2)＝1－eq\f(x2,a2)≥0，得－a≤x≤a.同理－b≤y≤b.問題2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否發生了變化？提示：不變．問題3：方程與坐標軸的交點坐標是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；與x軸的交點為(a,0)，(－a,0)，與y軸的交點為(0，b)，(0，－b)．橢圓的幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b頂點(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c對稱性對稱軸x軸，y軸，對稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)1．橢圓的對稱性橢圓的圖像關于x軸成軸對稱，關于y軸成軸對稱，關于原點成中心對稱．2．橢圓的離心率與橢圓形狀變化間的關系(1)0<e<1，e越趨近于1，越扁，越趨近于0，越圓(可以根據字體1很扁、0很圓進行記憶)．(2)當e→0，c→0時，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在e＝0時的特例．(3)當e→1，c→a，橢圓變扁，直至成為極限位置線段F1F2，此時也可認為F1F2為橢圓在e＝1時的特例．[例1]求橢圓81x2＋y2＝81的長軸和短軸的長及其焦點和頂點坐標，離心率．[思路點撥]本題中橢圓的方程不是標準形式，故先化為標準形式后求出a，b，c，再根據焦點位置寫出相應的幾何性質．[精解詳析]橢圓的方程可化為x2＋eq\f(y2,81)＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝eq\r(81－1)＝eq\r(80)＝4eq\r(5)，∴橢圓的長軸和短軸長分別為18,2.∵橢圓的焦點在y軸上，故其焦點坐標為F1(0，－4eq\r(5))，F2(0,4eq\r(5))，頂點坐標為A1(0，－9)，A2(0,9)，B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4\r(5),9).[一點通]求橢圓幾何性質參數時，應把橢圓化成標準方程，注意分清焦點的位置，這樣便于直觀寫出a，b的值，進而求出c，寫出橢圓的幾何性質參數．1．若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率為eq\f(1,3)，則m的值為________．解析：當m>4時，由c2＝a2－b2＝m－4，得eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,3).解得m＝eq\f(9,2).當m<4時，由c2＝a2－b2＝4－m，得eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(32,9).答案：eq\f(9,2)或eq\f(32,9)2．求橢圓4x2＋9y2＝36的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標和離心率．解：橢圓方程變形為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴橢圓的長軸長和焦距分別為2a＝6,2c＝2eq\r(5)，焦點坐標為F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，頂點坐標為A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).[例2]求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)長軸長為20，離心率等于eq\f(4,5)；(2)長軸長是短軸長的2倍，且過點(2，－6)．[思路點撥]先確定橢圓的焦點位置，不能確定的要分情況討論，然后設出標準方程，再利用待定系數法求出a、b、c，得到橢圓的標準方程．[精解詳析](1)∵2a＝20，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36.由于橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.(2)設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知a＝2b，①且橢圓過點(2，－6)，從而有eq\f(22,a2)＋eq\f(－62,b2)＝1或eq\f(－62,a2)＋eq\f(22,b2)＝1.②由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,148)＋eq\f(y2,37)＝1或eq\f(y2,52)＋eq\f(x2,13)＝1.[一點通]在求橢圓方程時，要注意根據題目條件判斷焦點所在的坐標軸，從而確定方程的形式，若不能確定焦點所在的坐標軸，則應進行討論．一般地，已知橢圓的焦點坐標時，可以確定焦點所在的坐標軸；而已知橢圓的離心率、長軸長、短軸長或焦距時，則不能確定焦點所在的坐標軸．3．已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為________________．解析：由題意得2a＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝6，c＝3eq\r(3)，b＝3.故橢圓方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝14．求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經過點M(3,2)；(2)離心率為eq\f(5,13)，且橢圓上一點到兩焦點的距離的和為26.解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦點坐標為(0，－2)，(0,2)．由橢圓的定義知，2a＝eq\r(32＋2＋22)＋eq\r(32＋2－22)＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦點在y軸上，所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)由題意知，2a＝26，即a＝13，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,13)，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因為焦點所在的坐標軸不確定，所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.[例3]已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F2.P是橢圓M上的任一點，且PF1·PF2的最大值的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c2，3c2))，其中c2＝a2－b2，求橢圓的離心率的取值范圍．[思路點撥]由P是橢圓上一點，知PF1＋PF2＝2a，進而設法求出PF1·PF2的最大值，再由已知的范圍求出離心率e的范圍．[精解詳析]∵P是橢圓上一點，∴PF1＋PF2＝2a，∴2a＝PF1＋PF2≥2eq\r(PF1·PF2)，即PF1·PF2≤a2，當且僅當PF1＝PF2時取等號．∴eq\f(1,2)c2≤a2≤3c2，∴eq\f(1,3)≤eq\f(c2,a2)≤2，∴eq\f(1,3)≤e2≤2，∴eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\r(2).∵0<e<1，∴eq\f(\r(3),3)≤e<1，∴橢圓的離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).[一點通]1．橢圓的離心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)將條件轉化為關于a，b，c的關系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構造關于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求離心率范圍時，常需根據條件或橢圓的范圍建立不等式關系，通過解不等式求解，注意最后要與區間(0,1)取交集．5．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是________．解析：設橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，則由已知得2a＋2c＝4b.即a＋c＝2b，又a2＝b2＋c2，解得a＝eq\f(5,4)b，c＝eq\f(3,4)b，e＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且·的最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中c＝eq\r(a2－b2)，則橢圓M的離心率e的取值范圍是________．解析：設P(x，y)、F1(－c,0)、F2(c,0)，則＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，·＝x2＋y2－c2，又x2＋y2可看作P(x，y)到原點的距離的平方，所以(x2＋y2)max＝a2，(·)max＝b2，所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即eq\f(1,4)≤e2≤eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)≤e≤eq\f(\r(2),2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))[例4]某宇宙飛船的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，設地球半徑為R，若其近地點、遠地點離地面的距離分別大約是eq\f(1,15)R、eq\f(1,3)R，求此宇宙飛船運行的軌道方程．[思路點撥]根據條件建立坐標系，設出橢圓方程，構造方程，求得宇宙飛船運行的軌道方程．[精解詳析]如圖所示，以運行軌道的中心為原點，其與地心的連線為x軸建立坐標系，且令地心F2為橢圓的右焦點，則軌道方程為焦點在x軸上的橢圓的標準方程，不妨設為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則地心F2的坐標為(c,0)，其中a2＝b2＋c2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝R＋\f(R,15)，,a＋c＝R＋\f(R,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,5)R，,c＝\f(2,15)R.))∴b2＝a2－c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)R))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,15)R))2＝eq\f(64,45)R2.∴此宇宙飛船運行的軌道方程為eq\f(x2,\f(36,25)R2)＋eq\f(y2,\f(64,45)R2)＝1.[一點通]解決此類問題，首先要根據條件建立平面直角坐標系，將實際問題轉化為有關橢圓的問題，再將條件轉化為a，b，c的關系，進而求出橢圓方程，解決其它問題．注意：(1)橢圓方程中變量的范圍對實際問題的限制；(2)最后要將數學模型還原回實際問題作答．7．某航天飛行控制中心對某衛星成功實施了第二次近月制動，衛星順利進入周期為3.5h的環月小橢圓軌道(以月球球心為焦點)．衛星遠月點(距離月球表面最遠的點)高度降至1700km，近月點(距離月球表面最近的點)高度是200km，月球的半徑約是1800km，且近月點、遠月點及月球的球心在同一直線上，此時小橢圓軌道的離心率是________．解析：可設小橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，由已知得2a＝1700＋2×1800＋200，∴a＝2750.又a＋2c＝1700＋1800，∴c＝375.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(375,2750)＝eq\f(3,22).答案：eq\f(3,22)8．已知某荒漠上F1、F2兩點相距2km，現準備在荒漠上開墾出一片以F1、F2為一條對角線的平行四邊形區域，建農藝園．按照規劃，平行四邊形區域邊界總長為8km.(1)試求平行四邊形另兩個頂點的軌跡方程；(2)問農藝園的最大面積能達到多少？解：(1)以F1F2所在直線為x軸，F1F2的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則F1(－1,0)，F2(1,0)．設平行四邊形的另兩個頂點為P(x，y)，Q(x′，y′)，則由已知得PF1＋PF2＝4.由橢圓定義知點P在以F1、F2為焦點，以4為長軸長的橢圓上，此時a＝2，c＝1，則b＝eq\r(3).∴P點的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)，同理Q點軌跡方程同上．(2)S?PF1QF2＝F1F2·|yP|≤2c·b＝2eq\r(3)(km2)，所以當P為橢圓短軸端點時，農藝園的面積最大為2eq\r(3)km2.1．橢圓的頂點、焦點、中心坐標等幾何性質與坐標有關，它們反映了橢圓在平面內的位置．2．橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率等幾何性質與坐標無關，它們反映了橢圓的形狀．3．討論與坐標有關的幾何性質應先由焦點確定出橢圓的類型，不能確定的應分焦點在x軸上、y軸上進行討論．課時達標訓練（八）1．(新課標全國卷Ⅱ改編)設橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．解析：法一：由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq\r(3)m，故離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3)m,2m＋m)＝eq\f(\r(3),3).法二：由PF2⊥F1F2可知P點的橫坐標為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±eq\f(b2,a)，所以|PF2|＝eq\f(b2,a).又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，故2c＝eq\r(3)·eq\f(b2,a)，變形可得eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得eq\r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．答案：eq\f(\r(3),3)2．(廣東高考改編)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是________________________________________________________________________．解析：依題意，設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝4，b2＝3.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝13．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的________相等．(填“長軸長”或“短軸長”或“離心率”或“焦距”)解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4.故兩條曲線有相同的焦距．答案：焦距4．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率是eq\f(\r(6),3)，過橢圓上一點M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點，且斜率分別為k1，k2，若點A，B關于原點對稱，則k1·k2的值為________．解析：設點M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，則y2＝b2－eq\f(b2x2,a2)，yeq\o\al(2,1)＝b2－eq\f(b2x\o\al(2,1),a2).所以k1·k2＝eq\f(y－y1,x－x1)·eq\f(y＋y1,x＋x1)＝eq\f(y2－y\o\al(2,1),x2－x\o\al(2,1))＝－eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝e2－