2016屆高三數(shù)學(xué)33個(gè)黃金考點(diǎn)總動(dòng)員

考點(diǎn)8函數(shù)與方程

【考點(diǎn)剖析】

1.最新考試說(shuō)明：

(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).

(2)根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.

2.命題方向預(yù)測(cè)：

(1)考查具體函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和零點(diǎn)的取值范圍.(2)利用函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍.(3)考查函

數(shù)零點(diǎn)、方程的根和兩函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

3.課本結(jié)論總結(jié)：

(1)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：

方程/Xx)=0有實(shí)數(shù)根O函數(shù)%=『(x)的圖象與X軸有交點(diǎn)O函數(shù)尸f(x)有零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)

如果函數(shù)尸/(X)在區(qū)間［a,3上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有那么，函數(shù)尸

f(x)在區(qū)間(a,力內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cd(a,6),使得/<c)=0,這個(gè)。也就是方程f(x)=0的根.

(3)二次函數(shù)尸a*+6x+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系：

A>0A=0A<0

1

△±

二次函數(shù)bx+

。(a0)的圖象

OX\=XiX

與X軸的交點(diǎn)(xl,0),(x2,0)(xl,0)無(wú)交點(diǎn)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)(二重的)零個(gè)

(4)給定精確度用二分法求函數(shù)/X*)零點(diǎn)近似值的步驟如下:

①確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證F(a)?f(8)<0,給定精確度e；

②求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)c；

③計(jì)算f(d);

(i)若F(c)=O,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

ii)若f(a)?f(c)〈O,則令，=c(此時(shí)零點(diǎn)(a,c))；

(iii)若F(c)?F(6)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)AOG(c,6)).

④判斷是否達(dá)到精確度J即若\a-b\<e,則得到零點(diǎn)近似值a(或6)；否則重復(fù)②③④.

4.名師二級(jí)結(jié)論：

(1)二次函數(shù)/'(x)=ax2+6x+c(a>0)的零點(diǎn)分布情況

根的分布(加vn<p為

圖象滿足的條件

常數(shù))

A>0

xVxKm(兩根都小4Lb

---<m

于加)Al)X2a

/(m)>0

'A>0

m<X\<X2(兩根都大h

<--->m

于血mV\2a

、/(，")>0

xl<m<x2(一根大于

mJ、f(m)<0

m,一根小于m)\/?2X

A>0

b

xl,x2￡(m,n)(兩根m<---<n

VV2a

位于m,n之間)/(/n)>0

/(n)>0

m<xl<n<x2<p(兩LI/(/?)>o

根分別位于m與n,nV</(〃)<o

\Q/xpX

與P之間)2/(p)>o

(2)有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的重要結(jié)論：

(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)/Xx)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則Ax)至多有一個(gè)零點(diǎn).

(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)?.

(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值符號(hào)可能不變，也可能改變.

(4)函數(shù)+"吁押"'+L+"3+"。至多有“個(gè)零點(diǎn).

5.課本經(jīng)典習(xí)題：

(1)新課標(biāo)A版必修一第88頁(yè)，例1求函數(shù)/(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

答案：僅有一個(gè)零點(diǎn)

解析：首先注意函數(shù)的定義域?yàn)?0,+x),再因?yàn)?f(冷=3+2>0在(0,+8)恒成立，所以函數(shù)

x

x+2x-6在(0,+x)上是噌函數(shù)，又因?yàn)開(kāi)f(2)=In2-2<Ine-2=-1<0,且

/(3)=ln3>lne=l>0,由零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)/(x)=Inx+lx-6的零點(diǎn)有且

僅有一個(gè).

【經(jīng)典理由】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷是高考命題的熱點(diǎn)。

(2)【課本典型習(xí)題改編，P119B組第1題】方程x2-|lnM=0的解所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【解析】由題意知，方程--|lnx|=O的解，中函數(shù)=/的交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中分別作出

函數(shù)1y=|lnx|與丁=/的圖像，由圖像可知聲二?㈤=0叫喊在的區(qū)間是電L.

【經(jīng)典理山】判斷方程的根所在的大致范圍這也是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，在教學(xué)中應(yīng)引起足夠的重視.

6.考點(diǎn)交匯展示：

(1)函數(shù)的零點(diǎn)與三角函數(shù)交匯

7T

例1【解析團(tuán)隊(duì)學(xué)易高考沖刺金卷36套預(yù)測(cè)卷】若關(guān)于x的方程sin2x+cos2x=Z;在區(qū)間0,-上有唯

L2］

一的實(shí)數(shù)解，則攵的取值范圍為.

【答案】［T,1)U{及}

元k7T7T7T57r

【解析】原方程可變形為sin(2x+2)=3，...々W2x+°W±±,易知函數(shù)

4<22444

/(x)=sin(2x+?)在［0,§上單調(diào)遞增，在《,§上單調(diào)遞減，二方程sin(2x+?)=專(zhuān)時(shí)，有

/(O)W專(zhuān)</(令，即［T,1)U{0}.

考點(diǎn)：1.方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題；2.可函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)圖象的交點(diǎn).

(2)函數(shù)的零點(diǎn)與不等式交匯

X，x<a

例2【2015高考湖南，理15】已知/(x)=《'-，若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=/(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),

x,x>a

則a的取值范圍是.

【答案】(-00,0)11(1,2).

【解析】

試題分析：分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于方程X5=b(xWa)與方程=6(x>a)的根的個(gè)數(shù)和為2,

r1

b1<a

若兩個(gè)方程各有一個(gè)根：則可知關(guān)于6的不等式組〈人>4有解，從而4>1;

<a

*1

若方程/=b(xSa)無(wú)解，方程x：=6(x>a)有2個(gè)根：則可知關(guān)于方的不等式組片’有解.從而

一、歷>a

a<0,綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一"O)U(L+x).

考點(diǎn)：1.函數(shù)丐方程；2.分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.

(3)函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的最值、極值等交匯

例31新課標(biāo)第II套預(yù)測(cè)卷】已知命題p：函數(shù)/(x)=2ax2-x-l(aW0)在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；命題q：

函數(shù))，=X2-0在(0,+8)上是減函數(shù).若p且「q為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

A.a>1B.a<2C.1<a<2D.aWl或a>2

【答案】C

【解析】命題p：1:,得a>l.命題g：2-a<0,得4>2,.'.—《：a?2.故由尸

且—q為真命題,得l<a42,選C.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、復(fù)合命題的真假.

例4【2014年高考原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷(江蘇版)】(本小題滿分16分)

設(shè)函數(shù)/。)=丁+"+人的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且與x軸相切.

(1)求的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)機(jī),〃(加">0),使函數(shù)g(x)=3-"(x)l在區(qū)間［肛〃］上的值域仍是區(qū)間［孫川?

解：(1)因?yàn)?。)=、3+以+。的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以/(X)+/(-》)=0恒成立，

^?9x3+ax+b-x3-ax+b=01于是b=0.

z

設(shè)函數(shù)f(x-)=x-ax-b的圖像與x軸的切點(diǎn)為(rO)s

則；即；f=°解得r=0。=0.

[/(?)=0|3r-a=0

故a=,=0,/(x)=xt....................6分

(2)g(x)=3-gS：，x：：

[3-r,x>0

假設(shè)存在m,n(mn>0>適合題意.

當(dāng)0"時(shí)，因?yàn)間(x)=3-x：在區(qū)間[泄,可上是單調(diào)減函數(shù)，

所以泮「，即』—”；

[g(?)=w[/一泄=3

兩式相激，得說(shuō)：-a"-爐=1

因?yàn)椤?lt;/<2所以療<行-加”律=1,于是0<說(shuō)<”1.

從而w:-?<1:-1=2<3E

與疝-”=3矛盾，故此時(shí)湘渾不存在

當(dāng)m<就<0時(shí)，因?yàn)間(x)=3-X：在區(qū)間[鞏”]上是單調(diào)噌函數(shù)，

所以;g*于是k”是方程g?=-V即AJ-.x-3=0的兩個(gè)相異負(fù)根.

令〃(工)=/7+35〈0),則由/(用=3工2一1=0得4=一上

3

因?yàn)楫?dāng)x4-理時(shí)/(X)2o,所以函數(shù)人(X)在區(qū)間(一,-理]上是單調(diào)增函數(shù)，

從而函數(shù)以外在區(qū)間(-%一半]上至多有一個(gè)零點(diǎn).

又因?yàn)楫?dāng)-34x<0時(shí)，

3

所以函數(shù)〃(外在區(qū)間(-3,0)上是單調(diào)減函數(shù)，于是以制>/0)=3>0,,

3

所以函數(shù)做X)在區(qū)間(-日,0)上沒(méi)有零點(diǎn).

故此時(shí)見(jiàn)”不存在.

綜匕所述，不存在實(shí)數(shù)加,〃(加九>。),使函數(shù)g(x)=3-"(x)l在區(qū)間[九川上的值域仍是區(qū)間

[fn,n].....................16分

考點(diǎn)：函數(shù)與方程思想

【考點(diǎn)分類(lèi)】

熱點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷

1.[2014山東高考理第8題】已知函數(shù)/(x)=|x—2|+l,g(x)=丘.若方程/(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的

實(shí)根，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.(0,—)B.(―,1)C.(1,2)D.(2,+°°)

【答案】B

【解析】由已知，函數(shù)f(x)Nx-2+Lg(x)=%的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，畫(huà)圖可知當(dāng)直線介于

下列條件中，使得該三次方程僅有一

個(gè)實(shí)根的是...(寫(xiě)出所有正確條件的編號(hào))

?a--3,b--3；@a--3,b-2-,@a--3,b>2；@a—Q,b-2；⑤a=l,b=2.

【答案】①③④⑤

【解析】令/。)=/+以+匕，求導(dǎo)得/口)=3—+&,當(dāng)時(shí),f\x)>0,所以/(x)單調(diào)遞增,

且至少存在一個(gè)數(shù)使/(x)<0,至:少存在一個(gè)數(shù)使/(x)>0,所以/(%)=13+奴+。必有一個(gè)零點(diǎn)，即方

程X，+ax+〃=0僅有?根，故④⑤正確；當(dāng)a<0時(shí)，若a=-3,則/'(x)=3x?-3=3(x+l)(x-l),易

知，/(x)在(_8,-1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在［-1,1］上單調(diào)遞減，所以/(?極大三〃_l)=-l+3+b=8+2,

f(x)極小寸⑴=1—3+b=b—2,要使方程僅有一根，則/(x)極大=/(-1)=—1+3+匕=匕+2<0或者

/(x)極小三/1⑴=1—3+b=b—2>0,解鋸6<—2或6>2,故①③正確?所以使得三次方程僅有一個(gè)實(shí)根

的是①③④⑤.

考點(diǎn)：1函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系：2.函數(shù)的單調(diào)性及其極值.

3.【2014天津高考理第14題】已知函數(shù)/(x)=|/+3可，x&R.若方程/(x)-a|x-1|=0恰有4

個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(0,1)U(9,2).

【解析】方法一：在同一坐標(biāo)系中國(guó)了【X)=卜~—3耳和=a|x—1］的圖象(如圖)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為flx；

與x；圖冢恰有四個(gè)交點(diǎn).當(dāng)j=a；x-1)與j=x'一3x(或j=-a|x-1與j=-x,-3x)相切時(shí),

f：x；與g；x!圖彖恰有三個(gè)交點(diǎn).把j=a(x-l)代入］,=/-3x,得x'-3x=a；x-/r即

x*—；3—a：x—a=0,由_\=0,得：3-4a=0,解得a=1或a=9.又當(dāng)a=0時(shí)，尸:口與g；x；

僅兩個(gè)交點(diǎn)，二0<<2<1或4>9.

Y*-4-3x4

方法二：顯然a=l,所以a=^——-.令，=x—l,則a=r+2+5.因?yàn)?/p>

x-1t

f——€(-2C:-4'U［4:—2c)?所以r-±+5W(-x』U〕9,-oc).結(jié)合圖象可得0<a<1或a>9.

考點(diǎn):方程的根與函數(shù)的零點(diǎn).

【方法規(guī)律】

1.方程的根(從數(shù)的角度看)、函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(從形的角度看)、函數(shù)的零點(diǎn)是同一個(gè)問(wèn)題

的三種不同的表現(xiàn)形式.

2.函數(shù)零點(diǎn)的判斷：

(1)解方程：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程/(x)=0易解時(shí)，可通過(guò)先解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上；

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷：首先看函數(shù)尸F(xiàn)x在區(qū)間［a,6］上的圖象是否連續(xù)，再看是

否有f(a)?f(6)<0.若有，則函數(shù)在區(qū)間(a,6)內(nèi)必有零點(diǎn).

(3)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.

【解題技巧】

1.函數(shù)零點(diǎn)的求法：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)

找出零點(diǎn)。

2.確定函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理:首先看函數(shù)y=/(x)在區(qū)間卜,句上的圖象是否連續(xù)，再看是否有

/(?)?/S)<0.若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。⑼內(nèi)必有零點(diǎn),

(2)數(shù)形結(jié)合法:通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.

3.確定方程“X)=g(x)在區(qū)間［a,b］上根的個(gè)數(shù)的方法

(1)解方程法:當(dāng)對(duì)應(yīng)方程/(X)=g(X)易解時(shí),可先解方程,看求得的根是否落在區(qū)間［a,b］上再判斷.

(2)數(shù)形結(jié)合法:通過(guò)畫(huà)函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象,觀察其在區(qū)間［a,b］上交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷.

4.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

(1)直接求零點(diǎn)：令/(X)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間句上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a)-/3)<0,還

必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；

(3)利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就

有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其步驟是：

(1)令f(x)=O；

⑵構(gòu)造,=工(司，y2=f2(x)；

⑶作出,,當(dāng)圖像；

(4)由圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】

1.函數(shù)零點(diǎn)一忽視單調(diào)性的存在。例如：若函數(shù)Ax)在區(qū)間［-2,2］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且/l(x)

在(一2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則/"(一2)?/'(2)的值()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

解答：若函數(shù)f(x)在(-2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，該零點(diǎn)可分兩種情況：(1)該零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，則f(一

2)?f(2)〈0；(2)該零點(diǎn)是非變號(hào)零點(diǎn)，則/'(-2)?f(2)>0,因此選D.

易錯(cuò)警示：警示1：錯(cuò)誤認(rèn)為該零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)；警示2：不知道非變號(hào)零點(diǎn)這種情況.

方法剖析：方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題，可以根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但要確定零

點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需進(jìn)一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)是單調(diào)的，它至多有一個(gè)零

點(diǎn)，如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)細(xì)分出小的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合這些小的區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)，作出正

確判斷.本題的解答錯(cuò)誤在于沒(méi)有正確理解函數(shù)零點(diǎn)的含義及存在性，事實(shí)上，當(dāng)/'(x)在(-2,2)內(nèi)有一

個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/"(—2)?/"(2)的符號(hào)不能確定.

2.要注意對(duì)于在區(qū)間［a,8］上的連續(xù)函數(shù)若施是f(x)的零點(diǎn)，卻不一定有/1(a)?f(6)〈0,即

f(a)?f(6)<0僅是/Xx)在［a,目上存在零點(diǎn)的充分條件，而不是必要條件.

注意以下兩點(diǎn)：

①滿足零點(diǎn)存在性定理的條件的零點(diǎn)可能不唯一；

②不滿足零點(diǎn)存在性定理?xiàng)l件時(shí)，也可能有零點(diǎn).

③由函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間句上有零點(diǎn)不一定能推出?f(b)<0,如圖所示.所以

f(a)?/'仍)<0是卜=/(外在閉區(qū)間卜力］上有零點(diǎn)的充分不必要條件.

注意：①如果函數(shù)/(X)在區(qū)間〃上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)/(X)在區(qū)間也,句上是一個(gè)

單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)/(a)?/3)<0時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,份內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯的

ce(a,b),使/(c)=0.

②如果函數(shù)/(x)在區(qū)間可上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有/S)?/S)>0,那么，函數(shù)/(x)

在區(qū)間(。力)內(nèi)不一定沒(méi)有零點(diǎn).

③如果函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么當(dāng)函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)不

一定有f⑷?f(b)<0,也可能有了⑷?fS)>0.

熱點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用

2-|x|,x<2,

1.12015高考天津，理8】已知函數(shù)/(x)={函數(shù)g(x)=b—/(2-x),其中beR,

［(x-2),x>2,

若函數(shù)y=/(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

(A)((,+8

(B)⑻1,2

【答案】D

2Txx<2,f2-l^-xlx>0

【解析】由/(x)=’,得"2-x)=J,1h~.

(x-2)sx>2,x*sx<0

2-|x|+x*,x<0

所以y=/(x)+f(l-x)=<4-|x|-|2-x|s0<x<2?

2-|2-x|+(x-2)\x>2

x:-x+2,x<0

即y=/(?+f(2_?=，2,0<x<2

x2-5x+8,x>2

y=/(x)-g(x)=/(x)+/(2-x)-h,所以j=f(x)-g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程

f(x)+/(2-/一方=0有4個(gè)不同的解，即函數(shù)j=b與函數(shù)j=f(x)+/(2-x)的圖象的4個(gè)公共點(diǎn),

由圖?？芍獃v6<2.

考點(diǎn)：求函數(shù)解析、函數(shù)與方程思、數(shù)形結(jié)合.

2.12014全國(guó)1高考理第11題】已知函數(shù)/(X)=G?-3X2+1,若/(x)存在唯一的零點(diǎn)后,且%>0,

則。的取值范圍是()

A.(2,+8)B.(l,+oo)C.(—oo,—2)D.(—oo,-l)

【答案】C

【解析】

試題分析：當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=-3xz+1,函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)和-蘭，不滿足題意，舍去；當(dāng)a>0

33

:

時(shí)，/(x)=3ax-6x,令f(?=0,得x=0或x==xe(-x：0)時(shí)，/(x)>0;XE(0」)時(shí)，

aa

/(x)<0;xw(±+x)時(shí)，/(x)>0,且f(0)>0,此時(shí)在xw(-x：0)必有零點(diǎn)，故不滿足題意，舍

a

去；當(dāng)々<0時(shí)，xw(-oc」)時(shí)，/(x)<0;xw(±0)時(shí)，/(x)>03x￡(0：+x)時(shí)，/(x)<0,且

aa

/(0)>0,要庾得f(x)存在唯一的零點(diǎn)可，且毛>0,只需〃3>0,即/>4,則a<-2,選C.

ZT

考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

3.12014高考湖南卷第10題】已知函數(shù)/(幻=/+，一3(了<0)與8(*=/+111。+幻圖象上存在關(guān)

于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則。的取值范圍是()

B.（-OO,五）

【答案】B

、1,.1

【解析】由題可得存在.qE（-x：O）滿足f（毛）=g（-々）一彳=（一—「+也！一天+々I

=e七-In（-々+a）-g=0,令〃（工）=/一1n（一%+4）-］因?yàn)楹瘮?shù)］，=/和y-Tn（-x+aj在定義

域內(nèi)都是單調(diào)遞增的,所以函數(shù)，2（x）=/-ln（-x+a）-1在定義域內(nèi)是單調(diào)涅噌的,又因?yàn)閤趨近于-X

時(shí)，函數(shù)Mx）<0且〃（X）=0在（-x,0）上有解（即函數(shù)翻X）有零點(diǎn)）,

所以〃（01=e'-InI0+al-i>0=lna<ln&=a<“，故選B.

考點(diǎn)：指對(duì)數(shù)函數(shù)方程單調(diào)性

4.【2014高考江蘇卷第13題】已知/（x）是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)xe［O,3）時(shí)，

/（x）=Y一2x+；,若函數(shù)y=/（x）—。在區(qū)間［—3,4］上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

【答案】（0,3）

【解析】作出函數(shù)/（x）=》2-2犬+；,工€［0,3）的圖象，可見(jiàn)/（0）=g,當(dāng)X=1時(shí)，/（X）極大=3，

7

/（3）=/,方程/。）一。=0在工€［-3,4］上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=/（x）和圖象與直線y=a在［-3,4］

上有10個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)/（x）的周期為3,因此直線y=a與函數(shù)/（x）=/-2》+2，X6［0,3）的應(yīng)該

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，周期函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

【方法規(guī)律】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：

1.直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍;

2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；

3.數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

【解題技巧】

1.應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍常用的方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.

2.與方程根有關(guān)的計(jì)算和大小比較問(wèn)題的解法

數(shù)形結(jié)合法:根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的對(duì)稱性等進(jìn)行計(jì)算與比較大小.

3.在求方程解的個(gè)數(shù)或者根據(jù)解的個(gè)數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法,

即把方程分拆為一個(gè)等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù))=/,

)'二g(x),即把方程寫(xiě)成了(R=g(*)的形式，這時(shí)方程根的個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以根

據(jù)圖象的變化趨勢(shì)找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟須注意的問(wèn)題：

①第一步中要使：(D區(qū)間長(zhǎng)度盡量?。?/p>

⑵/(?),/⑸的值比較容易計(jì)算且/(")?/S)<0.

②根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的根是等價(jià)的.

對(duì)于求方程/(x)=g(x)的根，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)-g(x),函數(shù)/(x)的零點(diǎn)即為方程

f(x)=g(尤)的根.

③求函數(shù)零點(diǎn)近似值的關(guān)鍵是判斷區(qū)間長(zhǎng)度是否小于精確度￡，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于精確度￡時(shí)，運(yùn)算即告結(jié)束,

此時(shí)區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)值均符合要求，而我們通常取區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)值作為近似解.

【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.【穩(wěn)派2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬信息卷(五)】若函數(shù)y=/(x)(xeR)滿足

/(x+1)=—/(X)且XW(-1,1］時(shí)，f(x)=l-x2,函數(shù)g(x)=Asin5分別在兩相鄰對(duì)稱軸x=1與

x=-l處取得最值1與T,則函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)在區(qū)間［0,2014］內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.1006B.1007C.1008D.1010

【答案】C

【解析】

試題分析：/(X+1)=-/(X+1)=/(X)，故/(X)周期為2,g(x)=sin/x,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)/(x)

qg(x)的圖象，利用函數(shù)力(x)的周期為4,數(shù)形結(jié)合即得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為503x2+2=1008,故選C.

2.【改編題】已知。是函數(shù)/(x)=2'-k)g|x的零點(diǎn)，若0</<a,則/(為)的值滿足()

2

A./(xo)=OB./(xo)>0C./(xo)<0D./(%)的符號(hào)不確定

【答案】C

【解析】；/(x)=2*-log!x在10,+oo)上耳增函數(shù),又“三由數(shù)/(x)=2*-logjx的零點(diǎn),即/a?=0,

22

當(dāng)0<x()<a時(shí)，/(x0)<0.

3.設(shè)函數(shù)f{x}(%6R)滿足f(-x)=f(x),F(x)=f(2-x),且當(dāng)xe［0,1］時(shí),f(x)=x.又函數(shù)

13

g(x)=|xcos(7x),則函數(shù)A(㈤書(shū)⑸-以舊在1—上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

22

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)xe［0,l］時(shí),f(x)=x1所以當(dāng)xe［l,2］時(shí)，(2-x)e［0,1］,f(x)=f(2—*)=(2

當(dāng)xe［0,；］時(shí),g(x)=ACOS(7x);當(dāng)xe時(shí),g(x)=—ATOS(7TX),注意到函數(shù)f(x)、g(x)都

是偶函數(shù)，且f(0)=g(0),f(l)=g(l),gW)=g§)=0,作出函數(shù)/U)、g(x)的大致圖象,函數(shù)力(x)

除了0、1這兩個(gè)零點(diǎn)之外,分別在區(qū)間［-3,0］、［0,；以;，1］、口,|］上各有一個(gè)零點(diǎn),共有6個(gè)

零點(diǎn),故選B.

4.【2014年溫州市高三第一次適應(yīng)性測(cè)試】設(shè)函數(shù)/(幻="3+加2+5,若1和T是函數(shù)/(%)的兩個(gè)零

點(diǎn)，王和々是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則玉々等于()

A.一1B.IC.—D.—

33

【答案】C

【解析】

試題分析：/(x)=x(ax2+芯+c),若1和T是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，即1和-1是方程以2+加:+c=0的

兩根，＜“得到Z?=0,c=/(x)=ax'-ax,/'(X)=3?！?Q,由已知得X1和々是

1x(-1)=-

a

/(x)=0的兩根，所以=二@=一』，故選C.

3a3

5.【成都市新津中學(xué)高2014屆高三(下)二月月考】已知函數(shù)/(x)=一、-2"+"(x(°),且函數(shù)

[/(x-l)(x＞0)

y=/(x)—x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,+°°)B.[—1,0)C.[―1,+°°)D.[―2,+°°)

【答案】C

【解析】

試題分析：＞,=—X*—2x+a=—(x+l)*+l+a＞其頂點(diǎn)為,T(—l1+a),點(diǎn)CQl+a)在出數(shù)圖象上，而

點(diǎn)8(0：a)不在函數(shù)圖冢上.結(jié)合圖形可知，當(dāng)42-1,函數(shù)j=f(x)-x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn).

6.【2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班摸底測(cè)試】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(4—x)=f(x),且當(dāng)

X~,XG(—1,1]

xG(—1,3]時(shí)，f(x)=LK,,力，則函數(shù)g(x)=f(x)一門(mén)gx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

1+COSyX,xe(l,3]

A、7B、8C、9D、10

【答案】D

【解析】山f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，知x=0是它的一條對(duì)稱軸

又由f(4—x)=f(x),知x=2是它的一條對(duì)稱軸

于是函數(shù)的周期為(2—0)X2=4

畫(huà)出f(x)的草圖如圖，其中y=lgx|在(1,+8)遞增且經(jīng)過(guò)(10,1)點(diǎn)

0110x

函數(shù)g(x)的零點(diǎn)，即為y=f(x)與y=|lgx1的交點(diǎn)

結(jié)合圖象可知，它們共有10個(gè)交點(diǎn)，選D.

7.【上海市靜安區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末考試】已知函數(shù)f8是定義在實(shí)數(shù)集三上的以2為周期的偶函

數(shù)，當(dāng)0時(shí)，/(*)=r.若直線J=x+a與函數(shù)，住)的圖像在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)上的值是()

A.或-；；B.0；C,?；蛞唬?；D.?；?工-

r__r

【答案】D

【解析】

:

試題分析：根據(jù)已知可得函數(shù)/(x)=(,x-2k)sxe[2k-llk+I);keZ,在直角坐標(biāo)系中作出它的圖冢,

如圖，再作直線j=x+a,可見(jiàn)當(dāng)直線j=x+a與拋物線j=相切時(shí)，或者直線j=x+a過(guò)原點(diǎn)時(shí)，

符合題意，此時(shí)a=-L或a=0.

4

8.【河南省鄭州市2014屆高中畢業(yè)年級(jí)第?次質(zhì)量預(yù)測(cè)試題】定義在R卜.的函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx(a聲0)的單調(diào)增區(qū)間為(―1,1),若方程3a(”x))2+2好'(x)+c=0恰有4個(gè)不同的

實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.-B.--C.1I).-1

22

【答案】B

【解析】

試題分析：函數(shù)/"(x)=W+#+cx(aHO)的單調(diào)增區(qū)間為(Tl),「.T和I是/(x)=0的根，

f,,2b

、1-1+1=--.

f(x)=3ax'+2bx+c>>'.<:.6=。，c=-3a,f(x)=ax2-3ax,

—1x1=—

.3a

：.3a(f(x))2+2b(f(x))+c=0,.-.3a(/(x)):-3a=0,：.f\x)=l,/./(x)=il,

J"1)=1._1

??/，??〃=——.

a,x=l

9.【河北省衡水中學(xué)2014屆高三上學(xué)期第五次調(diào)研考試】函數(shù)/(x)=?一?若關(guān)于x的方程

2/2(x)-(2a+3)/(x)+3a=O有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則”的取值范圍是()

3333

A.(1,2)B.(l-)U(-,2)C.廠,2)D.(1,\)

2222

【答案】B

【解析】

,3

試題分析：；2/2(x)—(勿+3)/(x)+3a=0,(2/(x)-3)(/(x)-a)=O,二/(x)=M或/(x)=a,

33

,由圖像可知：a的取值范圍是(1,—)U(—,2).

22

10.【山東省日照市2014屆高三3月第一次模擬考試】已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：

2

(x+2,xe[0,1),?x+5r、

/(了卜花24]°)南(％+2)=/(》)，g(x)=-、+2，則方程/(x)=g(x)在區(qū)間[―5,1]上

的所有實(shí)根之和為

A.—5B.—6C.—1D.—8

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意知g(x)=三二^=''=/+1=2+」-,函數(shù)“X)的周期為2,則函數(shù)f(x),g(x)在

x+2x+2x+2

區(qū)間［-5」］上的圖象如下圖所示:

由圖形可知函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間［-5」］上的交點(diǎn)為4B,C，易知點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為-3,若設(shè)C的橫生標(biāo)

為"0<1)，則點(diǎn)以的橫坐標(biāo)為-4-f，所以方程/(x)=g(x)在區(qū)間［-5,1］上的所有實(shí)效根之和為

-3-(—i-o-r=-7.

［4x—4,x<1J

11.【成都七中高2014屆高三3月高考模擬考試】設(shè)函數(shù)/(x)=1,，則函數(shù)g(x)=/(x)+-

［X2-4X+3,X>12

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).

【答案】3

【解析】

4x—4X<］

試題分析：將/(尤)=9'一的圖象向上平移個(gè)單位得g(x)的圖象，山圖象可知，g(x)有3個(gè)

x--4x+3,x>1

12.【廣東省梅州市2014屆高三3月質(zhì)檢】已知函數(shù)/<(*)=七W,其中[切表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),

若關(guān)于x的方程/1(x)=M4有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

【答案】f-1,—u—，—]

I2」[43)

【解析】

試題分析：關(guān)于x的方程/(x)=H+k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為j=f(x),j=h+k=k(x+l),

兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)j=/(x)的圖像如圖，函數(shù)j=k(x+l)恒過(guò)定點(diǎn)為(-1,0卜觀察

圖像易得：11；

了§?

13.【江蘇省連云港市2014屆高三第二次調(diào)研考試】已知函數(shù)/*)=卜2：一/心,、忘0,80)=/(；0+2上，

[-x~+4x+3,x>0,

若函數(shù)g(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】'g,_￡|u{0,等}

【解析】

試題分析：尸(x)=<「一尸(x)=0的解為=xw(-E-^)U(Z+oc)時(shí),

-2x+4,x>0,

/1(x)<0,當(dāng)xw(-JIO)U(OJ)時(shí)，/,(x)>0,從而/(x)在區(qū)間(一七一逝)和(2,+x)上是減函數(shù)，

在區(qū)間(-JR0)和(0,2)上是激函教，lim/(x)=0,當(dāng)xf+x時(shí)，/(X)T-X.如圖是f(x)的圖象,

X->-B

f(x)今三=/(7^)=,/(x)長(zhǎng)大w=f(2)=7,方程g(x)=f(x)+2太=0的解就是函數(shù)

j=f(x)的圖冢與直線N=-2左的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)3<-2左<7或一2k=0或-2K=-匚￡二時(shí)，有兩

個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，或稱g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，-；<左<-：或左=0或2=與1.

14.【2015高考北京，理14】設(shè)函數(shù)〃無(wú))=,2U''

[4(1一Q)(X-2Q),x^l.

①若a=1,則/(x)的最小值為；

②若“X)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(1)1,(2)-<a<1或a>2.

2

【解析】①a=1時(shí)，/(x)=/2J1'、,函數(shù)/'(x)在(—8,1)上為增函數(shù)，函數(shù)值大于1,

l4(x-l)(x-2),x^\.

333

在[1號(hào)為減函數(shù)，在勺，+8)為增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得最小值為1;

(2)①若函數(shù)g(x)=2Z-a在x<1時(shí)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則a>。，并且當(dāng)*=1時(shí).g(l)=2-a

>0,則0<a<2,函數(shù)Ax)=4(x-a)(x-2a)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以

2a>1且a<l=>-<a<ls

2

②若函數(shù)g(x)=2X-a與x軸有無(wú)交點(diǎn)，則函數(shù)Hx)=4(x-a)(x-2a)與>軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)

a<0時(shí)g(x)與x軸有無(wú)交點(diǎn)，Kx)=4(x-a)(JT-2a)在x>1與x軸有無(wú)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)

X1)-2-a>。時(shí)，a>2,方(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，x=a和x=2a,由于a>2.兩交點(diǎn)橫

坐標(biāo)均滿足x>1；綜上所述a的取值范圍L<a<1或a>2.