第六節雙曲線A組基礎題組1.已知橢圓x2a2+y2A.2 B.10 C.4 D.342.已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點與圓xA.x25y220=1C.x220y25=13.已知a>b>0,橢圓C1的方程為x2a2+y2b2=1,雙曲線C2的方程為x2a2yA.x±2y=0 B.2x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=04.已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點.若MF1·A.-33C.-225.(2017北京,9,5分)若雙曲線x2y2m=1的離心率為3,則實數m=6.(2017北京朝陽二模,9)雙曲線x23y26=1的漸近線方程是7.(2017北京房山一模,11)已知雙曲線x2a2y8.已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線l的傾斜角為9.已知雙曲線的中心在原點,左,右焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為2,且過點(4,10).(1)求雙曲線的方程;(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:MF1·B組提升題組10.若雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,bA.2 B.3 C.2 D.211.如果雙曲線的離心率e=5+1①雙曲線x22②雙曲線y22x③在雙曲線x2a2y2b2=1中,F1為左焦點,A2為右頂點,B1(0,b),若∠F④在雙曲線x2a2y其中正確命題的序號為()A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④12.(2016北京,13,5分)雙曲線x2a2y13.(2017北京東城一模,13)若雙曲線x2a2y13.若圓(x2)2+y2=1與雙曲線C:x2a2y2=1(a>0)的漸近線相切,則a=14.若點O和點F2(2,0)分別為雙曲線x2a2y2=1(a>0)的對稱中心和左焦點,點P(x0,y0)為雙曲線右支上的任意一點,則|15.已知雙曲線E:x2a2y2b2=1(a>0,b(1)求雙曲線E的離心率;(2)如圖,O為坐標原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且△OAB的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E.若存在,求出雙曲線E的方程.答案精解精析A組基礎題組1.C因為橢圓x2a2+y29=1(a>0)與雙曲線x22.A由題意知圓心坐標為(5,0),即c=5,又e=ca=5,所以a=5,所以a2=5,b2=20,所以雙曲線的標準方程為x23.A設橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2,則e1=a2-b2a,e2=a2+b2a.因為e1·e2=32,所以a故雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±22x,即x±4.A若MF1·MF2=0,則點M在以原點為圓心,半焦距c=3為半徑的圓上,則x02+y02=3,x022-y02=1,解得y05.答案2解析由題意知,a2=1,b2=m.∵e=ca=1+b2a2∴m=2.6.答案y=±2x;3解析由題知a=3,b=6,所以c=3,漸近線方程為y=±63x,即y=±2離心率e=ca=37.答案10解析由雙曲線方程可知b=25,∵雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,∴ba=25a=2,∴∴c2=5+20=25,∴c=5,∴焦距為2c=2×5=10.8.答案x2y23解析由題意知雙曲線C的漸近線的斜率為±tanπ3=±3,即ba=3又雙曲線C的一個焦點到l的距離為3,所以c=3sin60由①②及a2+b2=c2知a=1,b=3,故雙曲線C的方程為x2y29.解析(1)∵e=2,∴可設雙曲線的方程為x2y2=λ(λ≠0).∵雙曲線過點(4,10),∴1610=λ,即λ=6,∴雙曲線的方程為x26(2)證法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=6,∴c=23,∴F1(23,0),F2(23,0),∴kMF1=m3+23∴kMF1·kMF∵點M(3,m)在雙曲線上,∴9m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=1,∴MF1⊥MF證法二:由證法一知MF1=(323MF2=(23∴MF1·MF2=(3+23)×(323)+m2∵點M在雙曲線上,∴9m2=6,即m23=0,∴MF1·B組提升題組10.A由題意可知圓的圓心為(2,0),半徑為2.因為雙曲線x2a2y2b2=1的漸近線方程為y=±bax,即bx±ay=0,且雙曲線的一條漸近線與圓相交所得的弦長為2,所以|2b11.B對于①,由雙曲線方程知a2=2,b2=51,所以c2=a2+b2=5+1,所以e2=c2a2=5對于②,由雙曲線方程知a2=1,b2=5+12,所以c2=a2+b2=5+32,所以e2=c2對于③,在Rt△F1B1A2中,由射影定理知b2=ac,即c2a2=ac,由e=ca知,e2e1=0,解得e=5+12對于④,如圖所示,由∠MON=120°知∠MOF2=60°,易知|MF2|=b2a,|OF2|=c,在Rt△OF2M中,tan∠MOF2=tan60°=|MF2||OF由c2=a2+b2得c2a2=3ac,即e23e1=0,解得e=3+72綜上可知,正確命題的序號為②③,故選B.12.答案2解析由OA、OC所在的直線為漸近線,且OA⊥OC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2y2=a2.OB是正方形的對角線,且點B是雙曲線的焦點,則c=22,根據c2=2a2可得a=2.13.答案32解析如圖所示,設直線AB過雙曲線的右焦點F2,則F2(c,0),∵A、B兩點在雙曲線x2a2y2∴Ac,bca∴tan∠AOF2=tan30°=|AF2||OF2|=∵|AB|=2bc∴a=bc,∴c=3,∴a2=b2c2=3b2=3(c2a2)=93a2,∴4a2=9,∴a=3214.答案3;y=±33x解析雙曲線的漸近線方程為y=±xa,即x±ay=0.由于圓與漸近線相切,r=1,∴d=|2±0|1+a2=1,解得a=315.答案1,解析由F2(2,0)得c=2,∴a=1,∵P(x0,y0)為雙曲線右支上任意一點,∴x0≥1,且x02∴|PF2|2=(x0+2)2+y02=(x0+2)2+x021=2x0|OP|2+1=x02+y0∴|PF=121x02=12∴|PF216.解析(1)因為雙曲線E的漸近線方程分別為y=2x,y=2x,所以ba=2,所以c