歐幾里得與《原本》Euclid（about325BC-about265BC）1《幾何原本》歐幾里得（EuclidofAlexandria;約公元前330

公元前275）歐幾里得的《幾何原本》是用公理方法建立演繹數(shù)學體系的最早典范。234公理化方法使數(shù)學豐富的理論建立在最簡單明了的、不容懷疑的事實基礎之上，容易明辨是非。比如，幾何學的正確性歸結于諸如“等量加等量，總量仍相等”等公理體系的正確性。公理化方法也是數(shù)學邏輯嚴密性的一種表現(xiàn)。在人類的每一個認識領域，當經(jīng)驗知識積累到相當數(shù)量時，就需要進行綜合、整理，使之條理化、系列化，從而形成新的概念理論以更新系統(tǒng)，以實現(xiàn)認識從感性階段到理性階段的飛躍。從理性認識的初級水平發(fā)展到高級水平，又表現(xiàn)為抽象程度更高的公理化體系。5公理體系定義公設、公理命題定義命題定義命題命題命題6公理體系的完善希爾伯特（DavidHilbert;1862

1943）1899年發(fā)表著名的《幾何基礎》一書。引入了20條公理和6個不加解釋的定義，建立起新的幾何公理體系。7公理體系的完善6個不加解釋的定義包括：

「點」、「線」、「面」、

「通過」、「在…之間」、「相等」20條公理分成5組：關聯(lián)公理（I.18）、順序公理（II.14）、合同公理（III.15）、平行公理（IV.）、

聯(lián)系公理（V.12）希爾伯特同時提出選擇公理體系的原則：相容性、獨立性、完備性8對《幾何原本》的批評書中有部分的定義不清晰，閱讀后反而令人更迷惘。在論證過程之中，歐幾里得使用了一些公理系統(tǒng)未有提及的假設。對第5公設的懷疑。9第五公設（平行公設）第五公設：若一直線落在兩直線上所構成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側相交。

在歐氏幾何的所有公設中，唯獨這條公設顯得比較特殊，它的敘述不像其它公設那樣簡潔、明了，當時就有人懷疑它不像是一個公設而更像是一個定理，并產(chǎn)生了從其它公設和定理推出這條公設的想法。歐幾里得本人對這條公設似乎也心存猶豫，并竭力推遲它的應用，一直到卷Ⅰ命題29才不得不使用它。10對第五公設的證明歷史上第一個宣稱證明了第五公設的是古希臘天文學家托勒密（約公元150），后來普洛克魯斯指出托勒密的“證明”無意中假定了過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行。替代公設：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。11幾何原理中的家丑從公元前3世紀到18世紀，證明第五公設的努力始終沒有中斷。但每一種“證明”要么隱含了另一個與第五公設等價的假定，要么存在其它形式的錯誤。而且，這類工作中的大多數(shù)對數(shù)學思想的進展沒有多大現(xiàn)實意義。18世紀中葉，達朗貝爾把平行公設的證明問題稱為“幾何原理中的家丑”。12薩凱里首先由鈍角假設推出了矛盾，然后考慮銳角假設，在這一過程中獲得了一系列新奇的結論：如三角形內(nèi)角和小于兩直角；過直線外一點有無數(shù)條直線與已知直線平行等。薩凱里認為它們太不合情理，便以為自己導出了矛盾而判斷銳角假設是不真實的。而直角假設則是與平行公設等價的。1763年，德國數(shù)學家克呂格爾（G.S.Klugel）在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實際上并未導出矛盾，只是得到了似乎與經(jīng)驗不符的結論?？藚胃駹柺堑谝晃粚ζ叫泄O是否可以由其它公設加以證明表示懷疑的數(shù)學家。13高斯建立非歐幾何最先認識到非歐幾何是一種邏輯上相容、而且可以用來描述物質(zhì)空間的是高斯。他從1799年開始意識到平行公設不能從其它公設推導出來，并從1813年起建立了一種使第五公設在其中不成立的新幾何學。他起先稱之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱為“非歐幾里得幾何”。但高斯沒有發(fā)表過任何有關非歐幾何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，他在給一位朋友的信中說：“如果公布自己的這些發(fā)現(xiàn)，‘黃蜂就會圍著耳朵飛’，并會‘引起波哀提亞人的叫囂’”。

14勇敢的羅巴切夫斯基在非歐幾何的三位發(fā)明人中，羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也最堅定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想。他于1826年在喀山大學發(fā)表了演講“簡要論述平行線定理的一個嚴格證明”，而后又于1829年發(fā)表了《論幾何原理》的論文，這是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻，但由于是用俄文發(fā)表在《喀山通訊》上的而未引起數(shù)學界的重視。15勇敢的羅巴切夫斯基1840年用德文出版的《平行理論的幾何研究》引起高斯的關注，這使他在1842年成為德國哥廷根科學協(xié)會會員。面對種種攻擊，羅巴切夫斯基表現(xiàn)得比高斯更有勇氣。一直到1855年，當他已是一位雙目失明的老人時，還口述發(fā)表了著作《泛幾何學》，堅信自己新幾何學的正確性。同一平面上的任何兩條直線一定相交三角形內(nèi)角和小于180度16非歐幾何的發(fā)展與確認德國數(shù)學家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于1854年發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何學----黎曼幾何。(同一平面上的任何兩條直線一定相交)