第09講一元二次方程的解法-公式法2.2【學習目標】1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，能熟練應用公式法解一元二次方程；2.通過求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想．【基礎知識】公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當時，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實根.【考點剖析】考點1：公式法解一元二次方程及其逆用例1．用公式法解方程時，求根公式中a，b，c的值分別是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】將一元二次方程化為一般形式，即可求得的值【解析】解：化為一般形式為：，，故選C【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．例2．已知某一元二次方程的兩根為，則此方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)一元二次方程的求根公式進行判斷即可．【解析】解：A.的兩根為，故選項A不符合題意；B.的兩根為，故選項B不符合題意；C.的兩根為，故選項C不符合題意；D.的兩根為，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了運用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解答本題的關鍵．例3．當時，下列一元二次方程中兩個根是實數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)公式法，判斷選項中的一元二次方程的實數(shù)根是否是題目中給出的那個．【解析】一元二次方程，當，的時候，它有兩個實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的解法——公式法，解題的關鍵是掌握求根公式．例4．用公式法解方程，其中求得的值是（

）.A．16 B．C．32 D．64【答案】D【分析】先將方程化為一般形式，然后計算即可.【解析】解：方程整理得：，∴，，，∴，故選D.【點睛】此題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解此題的關鍵．例5．是下列哪個一元二次方程的根（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式解答即可．【解析】解：對于一元二次方程，方程的根為：．因為，所以，，，所以對應的一元二次方程是：．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的求根公式，屬于基本考點，熟練掌握基本知識是解題關鍵．例6．方程中，的值為__________，根是___________．【答案】

12

【分析】確定a、b、c的值后，直接計算△的值即可．【解析】解：變形為：，∵a=2，b=2，c=-1，∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0，∴x==，∴故答案為：12，．【點睛】本題考查了解一元二次方程和根的判別式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式的公式△=b2-4ac是解題的關鍵．例7．解下列方程：(1)(2)(3)【答案】(1)，(2)，(3)方程無解【分析】先將方程化為一般式，再用公式法直接求解．(1)解：，，∵，∴，∴，；(2)解：，，∵Δ=>0，∴∴，；(3)解：，∵∴方程無解．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用直接開方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解題的關鍵．例8．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法計算即可；（2）利用解一元二次方程中的公式法計算即可．（1）解：由公式法可知：∴即：，（2）解：移項得：由公式法可知：∴即：【點睛】本題考查了解一元二次方程的相關知識點，重點要掌握配方法，公式法，因式分解法等．例9．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．【答案】x1=，x2=．【分析】把方程整理成一般式，找出a，b，c的值，計算出根的判別式大于0，代入求根公式即可求出解．【解析】解：原方程整理得：6x2-x-4=0，∵a=6，b=-1，c=-4，，∴，∴x1=，x2=．【點睛】本題考查了解一元二次方程－公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．例10．解下列方程或不等式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2），【分析】（1）移項，系數(shù)化為1，再將結果化簡可得；（2）方程變形后，利用公式法求解．【解析】解：（1），∴，∴∴∴（2），整理得：，∵a=，b=，c=1，∴△=，∴x=，解得：，．【點睛】本題考查了解不等式，二次根式的分母有理化，解一元二次方程，解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則和求根公式．例11．關于x的一元二次方程的兩根分別為，，下列判斷一定正確的是（

）A．a(chǎn)=-1 B．c=1 C．a(chǎn)c=-1 D．【答案】C【分析】根據(jù)求根公式對照求解即可．【解析】解：∵關于x的一元二次方程的求根公式是，，又∵關于x的一元二次方程的兩根分別為，，∴=∴ac=-1．故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的求根公式，熟記求根公式是解題的關鍵．考點2：選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠汤?2．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用較簡便的方法依次是(

)A．①直接開平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接開平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接開平方法，②、③公式法，④因式分解法【答案】D【解析】①2x2=18，所以利用直接開平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法.④2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法.所以選D.例13．解方程①9(x-3)2=25，②6x2-x=1，③x2+4x-3596=0，④x(x-1)=1.較簡便的方法依次是（

）；A．開平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．開平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D【分析】對于第①個方程，由于左右兩邊是某個數(shù)或式子的平方，據(jù)此選擇開平方法解方程；對于方程②可結合因式分解中的基本方法分析即可得解;對于方程③二次項系數(shù)為1可考慮配方法;對于方程④利用公式法求解比較簡便.【解析】解：方程①符合直接開方法的形式，因此選擇開平方法比較簡便；方程②等號左邊含有公因式x，則可利用因式分解法比較簡便；方程③等號左邊二次項系數(shù)為1，則可利用配方法比較簡便；方程④等號左邊展開，移項，然后利用公式法求解比較簡便.故選D.【點睛】本題是解一元二次方程的題目，關鍵是知道如何合理的選擇解一元二次方程的方法.例14．已知下列方程，請把它們的序號填在最適當?shù)慕夥ê蟮臋M線上．①；②；③；④；⑤．(1)直接開平方法：________；(2)配方法：_________；(3)公式法：________；(4)因式分解法：_________．【答案】

①

④⑤

③

②【分析】根據(jù)方程的特征逐一判斷即可.【解析】解:①x-1=x=1.故①用直接開平方法解更簡單.②原方程可變形為:；∴此方程用因式分解法解更簡單.③-5x+6=3-5x+3=0∴此方程用公式法求解更好.④∴此方程用配方法解更好.⑤．=100∴此方程用配方法解更好.故答案為:

(1).①

(2).④⑤

(3).③

(4).②【點睛】本題考查了選擇適當?shù)慕夥ㄇ蠼庖辉畏匠?考點3：比較一元二次方程根的大小例15．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根中較大的根是(

)A．1+ B． C． D．【答案】B【分析】利用公式法解方程求得方程的解，比較即可解答.【解析】解：,a=1，b=-1，c=-1，△=1+4=5＞0，x=，∵，∴較大的實數(shù)根為.故選B.【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法——公式法，正確利用公式法解方程是解本題的關鍵．例16．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有兩個實根，則這兩個實根的大小關系是（

）A．≥B．＞C．≤D．＜【答案】A【解析】因為,且a＜0,所以≥,故選A.例17．設x1為一元二次方程2x2﹣4x＝較小的根，則（）A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣【答案】B【分析】先求出方程的解，再求出方程的最小值，即可求出答案．【解析】2x2-4x=，8x2-16x-5=0，x=，∵x1為一元二次方程2x2-4x=較小的根，∴x1=，∵5＜＜6，∴-1＜x1＜0．故選B．【點睛】本題考查了求一元二次方程的解和估算無理數(shù)的大小的應用，關鍵是求出方程的解和能估算無理數(shù)的大小．考點4：公式法的應用例18．若分式的值為，則的值等于_______.【答案】2【分析】要使分式的值為0，必須分式分子的值為0并且分母的值不為0．【解析】解：根據(jù)題意:x2-x-2=0,且x2+2x+1≠0解x2-x-2=0，解得x=2或x=-1．當x=2時，分母x2+2x+1=9≠0，分式的值為0；當x=-1時，分母x2+2x+1=0，分式?jīng)]有意義．所以x=2．故填2.例19．已知等腰三角形的一腰為x，周長為20，則方程x2﹣12x+31=0的根為_____．【答案】6+【分析】求出方程的解得到x的值，即為腰長，檢驗即可得到方程的解．【解析】方程x2-12x+31=0，變形得：x2-12x=-31，配方得：x2-12x+36=5，即（x-6）2=5，開方得：x-6=±，解得：x=6+或x=6-，當x=6-時，2x=12-2＜20-12+2，不能構成三角形，舍去，則方程x2-12x+31=0的根為6+．故答案是：6+.【點睛】考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三邊關系，以及等腰三角形的性質，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵．例20．若，那么________．【答案】【分析】觀察原方程的未知數(shù)是次數(shù)與所求的的未知數(shù)的次數(shù)知，方程的兩邊同時乘以，即可得到關于的方程，然后利用“換元法”、“公式法”解答即可．【解析】解：由原方程，得兩邊同時乘以得：（）2+3×-2=0設=t，則上式方程即為：t2+3t-2=0，解得，t=，所以=；故答案是：.【點睛】本題考查了解一元二次方程--公式法．解答此題的關鍵是將原方程轉化為關于的一元二次方程．考點5：創(chuàng)新閱讀材料題例21．定義新運算：對于兩個不相等的實數(shù)，，我們規(guī)定符號表示，中的較大值，如：．因此，；按照這個規(guī)定，若，則的值是（

）A．－1 B．－1或 C． D．1或【答案】B【分析】分x>0和0x<0兩種情況分析，利用公式法解一元二次方程即可．【解析】解：當x>0時，有，解得，(舍去)，x<0時，有，解得，x1=?1，x2=2(舍去)．故選B.【點睛】此題主要考查了一元二次方程的解法，解題的關鍵是掌握新定義以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步驟，掌握降次的方法，把二次化為一次，再解一元一次方程．【真題演練】一、單選題1．（2020·山東臨沂·中考真題）一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】得出方程各項系數(shù)，再利用公式法求解即可.【解析】解：∵中，a=1，b=-4，c=-8，∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根∴x=，即，，故選B.【點睛】本題考查一元二次方程的解法，解題關鍵是熟練運用公式法，本題屬于基礎題型．2．（2013·山東日照·中考真題）已知一元二次方程的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：解得，∴較小根為．∵，∴．故選A．二、填空題3．（2019·西藏·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程的根是_____．【答案】．【分析】先計算判別式的值，然后利用求根公式解方程．【解析】，a=1，b=－1，c=－1，，，所以，故答案為．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點靈活選用不同的解法是解題關鍵．4．（2012·湖北黃石·中考真題）數(shù)學王子高斯從小就善于觀察和思考，在他讀小學時候就能在講堂上快速的計算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：令S=1+2+3+…+98+99+100

①S=100+99+98+…+3+2+1

②由①+②：有2S=（1+100）×100解得：S=5050請類比以上做法，回答下列問題：若n為正整數(shù)，3+5+7+…+（2n+1）=168，則n=_________【答案】12【解析】設S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，則S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n2+2n-168=0，解得n1=12，n2=-14（舍去）．故答案為12．三、解答題5．（2019·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）解方程:.【答案】【分析】運用公式法解一元二次方程.【解析】解：【點睛】掌握運用公式法解一元二次方程.6．（2008·浙江溫州·中考真題）我們已經(jīng)學習了一元二次方程的四種解法：因式分解法，開平方法，配方法和公式法．請從以下一元二次方程中任選一個，并選擇你認為適當?shù)姆椒ń膺@個方程．①；②；③；④．【答案】①；②；③，；④．【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接開平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；【解析】解：①；∵a=1，b=-3，c=1，∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴,即；②；∴x-1=∴，③；∴x（x-3）=0∴x=0或x=3∴，；④∴∴；∴∴【過關檢測】一、單選題1．用公式法解方程時，求根公式中a，b，c的值分別是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】將一元二次方程化為一般形式，即可求得的值【解析】解：化為一般形式為：，，故選C【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．2．已知某一元二次方程的兩根為，則此方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)一元二次方程的求根公式進行判斷即可．【解析】解：A.的兩根為，故選項A不符合題意；B.的兩根為，故選項B不符合題意；C.的兩根為，故選項C不符合題意；D.的兩根為，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了運用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解答本題的關鍵．3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【答案】C【分析】按照公式法求解一元二次方程的步驟，求解即可．【解析】解：判別式故選：C【點睛】此題考查了公式法求解一元二次方程，解題的關鍵是掌握公式法求解一元二次方程的步驟．4．解方程時，下面說法正確的是（

）A．只能用公式法 B．不能用配方法 C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用【答案】D【分析】公式法和配方法適用于任何有實根的一元二次方程．【解析】解：∵有實根，任何有實根的一元二次方程都可用配方法和公式法求解．故選：D【點睛】本題考查了解一元二次方程的方法，熟悉每種方法的適用條件是解題的關鍵．5．用公式法解方程，其中求得的值是（

）.A．16 B．C．32 D．64【答案】D【分析】先將方程化為一般形式，然后計算即可.【解析】解：方程整理得：，∴，，，∴，故選D.【點睛】此題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解此題的關鍵．6．一元二次方程x2﹣px+q=0的兩個根是（4q＜p2）（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式x=?b±b2?4ac【解析】∵a=1，b=-p，c=q，∴b2-4ac=p2-4q，∵4q＜p2，∴b2-4ac=p2-4q＞0，∴x=?b±b2?4ac故選A．【點睛】此題主要考查了公式法解一元二次方程，關鍵是掌握求根公式．7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必須滿足的條件是（）A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0【答案】A【解析】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必須滿足的條件是b2-4ac≥0．故選A．8．方程2x2-6x+3=0較小的根為p，方程2x2-2x-1=0較大的根為q，則p+q等于(

)A．3

B．2

C．1

D．【答案】B【解析】試題分析：2x2－6x＋3＝0，這里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，∴x＝＝，即p＝；2x2－2x－1＝0，這里a＝2，b＝－2，c＝－1，∵△＝4＋8＝12，∴x＝＝，即q＝；則p＋q＝＋＝2．故選B．點睛：此題考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程時，首先找出a，b，c，計算出根的判別式的值，當根的判別式的值大于等于0時，代入求根公式求出解．9．關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根分別為，下列判斷一定正確的是（

）A．a(chǎn)＝﹣1 B．c＝1 C．a(chǎn)c＝1 D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式可得答案．【解析】解：根據(jù)一元二次方程的求根公式可得：，，∵關于x的一元二次方程的兩根分別為，，∴，∴,,∴則，，故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，屬于基礎題目．10．將關于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3+1的值為（）A．1+ B．1﹣ C．3﹣ D．3+【答案】D【分析】用一元二次方程求根公式得x＝，利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，代入即可求得．【解析】解：x2﹣x﹣1＝0，∵，∴，∴x＝，且x2＝x+1，∵x＞0，∴x＝，∴x3+1＝x?x2+1＝x（x+1）+1＝x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，∴．故選：D．【點睛】本題考查了整體降次的思想方法，但降次后得到的是x的代數(shù)式，還要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化簡后的2x+2中計算出結果．二、填空題11．把方程化為一般形式是______，其中______，______，______，______，方程的根是______，______.【答案】

3

－5

－2

49

2【分析】方程整理為一般形式，找出一般形式中a，b，c的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解析】解：方程化為一般形式是：，∴a＝3，b＝?5，c＝?2，∵b2?4ac＝25＋24＝49，∴x＝，則方程的解為x1＝，x2＝2．故答案為；3，?5，?2，49；，2．【點睛】此題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握求根公式是解題關鍵．12．方程的解為________．【答案】或【分析】首先把方程轉化為一般形式，再利用公式法求解．【解析】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【點睛】考查了學生解一元二次方程的能力，解決本題的關鍵是正確理解運用求根公式．13．認真觀察下列方程，指出使用何種方法求解比較適當．（1），應選用________法；（2），應選用_______法；（3），應選用__________法；（4），應選用__________法．【答案】

直接開平方

配方

因式分解

公式【分析】（1）將方程的二次項系數(shù)化為1得到，用直接開平方法求解；（2）根據(jù)配方法在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊得到完全平方式，右邊為常數(shù)，選用配方法；（3）先移項，然后提出公因式，用因式分解法；（4）二次項系數(shù)不為1，不易用配方法和因式分解法，選公式法．【解析】解：（1）可直接開平方，故選擇直接開平方法；（2）的兩邊都加上64，易配方得，故選配方法；（3）方程，移項得，直接提公因式求解即可，故選因式分解法；（4），二次項系數(shù)不為1，不易用配方法和因式分解法，故應選用公式法求解．故答案為：直接開平方；配方；因式分解；公式【點睛】本題考查的是解一元二次方程，根據(jù)方程的不同結構特點，選擇適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?4．已知下列方程，請把它們的序號填在最適當?shù)慕夥ê蟮臋M線上．①；②；③；④；⑤．(1)直接開平方法：________；(2)配方法：_________；(3)公式法：________；(4)因式分解法：_________．【答案】

①

④⑤

③

②【分析】根據(jù)方程的特征逐一判斷即可.【解析】解:①x-1=x=1.故①用直接開平方法解更簡單.②原方程可變形為:；∴此方程用因式分解法解更簡單.③-5x+6=3-5x+3=0∴此方程用公式法求解更好.④∴此方程用配方法解更好.⑤．=100∴此方程用配方法解更好.故答案為:

(1).①

(2).④⑤

(3).③

(4).②【點睛】本題考查了選擇適當?shù)慕夥ㄇ蠼庖辉畏匠?15．方程（）的根是___________．【答案】【分析】利用公式法解一元二次方程即可得出結論．【解析】解：∴x=解得：故答案為：．【點睛】此題考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解決此題的關鍵．16．方程中，的值為__________，根是___________．【答案】

12

【分析】確定a、b、c的值后，直接計算△的值即可．【解析】解：變形為：，∵a=2，b=2，c=-1，∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0，∴x==，∴故答案為：12，．【點睛】本題考查了解一元二次方程和根的判別式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式的公式△=b2-4ac是解題的關鍵．17．若a2＋ab﹣b2=0且ab≠0，則的值為__________.【答案】【解析】∵a2＋ab﹣b2=0(ab≠0)，∴b2-ab﹣a2=0(ab≠0)，∴()2-?1=0，解得=，故答案為.18．小明設計了一個魔術盒，當任意實數(shù)對進入其中時，會得到一個新的實數(shù)．例如把放入其中，就會得到．現(xiàn)將實數(shù)對放入其中，得到實數(shù)，則________．【答案】3【分析】根據(jù)新定義的運算法則，構造一元二次方程，再求解即可．【解析】解：∵把放入魔術盒，得到實數(shù)，∴，解得：．故答案為：3．【點睛】本題考查了新定義運算，解一元二次方程．正確理解新定義的