第19章矩形、菱形與正方形19.1矩形1.矩形的性質學習目標：1.理解矩形的概念，明確矩形與平行四邊形的區別與聯系；2.探索并證明矩形的特殊性質，會用矩形的性質解決簡單的問題.自主學習一、知識鏈接1.平行四邊形的定義是什么？它有哪些性質？2．用四根木條做的平行四邊形有穩定性嗎？二、新知預習1.如圖，用四段木條做一個平行四邊形的活動木框，將其直立在桌面上輕輕地拉動點D，你會發現什么?問題1：無論∠D如何變化，四邊形ABCD還是平行四邊形嗎？問題2：當∠D為直角時，四邊形ABCD變成了一個怎樣的四邊形？于是有矩形定義：有一個角是的平行四邊形是矩形，矩形是特殊的.問題3.矩形除了具有平行四邊形的所有性質外，還有什么特殊的性質？【對稱性】：矩形既中心對稱圖形，又是圖形；【邊】：矩形的對邊平行且相等；【角】：矩形的對角相等，且四個角都是；【對角線】：矩形的對角線且相互平分.合作探究一、探究過程探究點1：矩形的性質定理1,2問題1：如圖,四邊形ABCD是矩形,∠B=90°.求證：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B____∠D,∠C____∠A,AB____DC.∴∠B+∠C=_____°.又∵∠B=90°,∴∠C=____°.∴∠B=∠C=∠D=∠A=_____°.問題2：如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對角線AC與DB相交于點O.求證：AC=DB.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC____△DCB.∴AC____DB.【要點歸納】矩形的性質定理：1.矩形的四個角都是_______.2.矩形的對角線________.幾何語言描述：在矩形ABCD中，對角線AC與DB相交于點O，則∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB（延伸：OA=OB=OC=OD=AC=BD）.例1如圖，矩形ABCD被兩條對角線分成四個小三角形，如果四個小三角形周長的和是86cm，矩形的對角線長是13cm，那么該矩形的周長是多少？【針對訓練】1.已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形對角線的長．分析：因為矩形是特殊的平行四邊形，所以它具有對角線相等且互相平分的特殊性質，根據矩形的這個特性和已知，可得△OAB是等邊三角形，因此對角線的長度可求．探究點2：矩形的性質與其他知識的綜合運用例2如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足為點E.試求BE的長．例3如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE垂直平分線段BO，垂足為點E，BD＝15cm.求AC、AB的長．二、課堂小結矩行的性質定理1.矩形的四個角都是_______.2.矩形的對角線________.解題策略結合等腰（邊）三角形、勾股定理等知識解題當堂檢測1.矩形具有，而一般平行四邊形不具有的性質是（）A.對角線相等B.對邊相等C.對角相等D.對角線互相平分2.如圖，在矩形ABCD中，對角線交于點O，若AB=6，AD=8，則AC＝_____，OB=_____.3.若矩形的一條對角線與一邊的夾角是40°，則兩對角線所夾銳角度數為.4.如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的_________.5．已知：如圖，E為矩形ABCD內一點，且EB=EC.求證：EA=ED.6.已知：如圖，O是矩形ABCD對角線的交點，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度數．參考答案自主學習一、知識鏈接1.解：定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.性質：(1)平行四邊形的對邊相等；(2)平行四邊形的對角相等；(3)平行四邊形的對角線互相平分.2.沒有穩定性.二、新知預習1.解：問題1：四邊形ABCD還是平行四邊形.問題2：四邊形ABCD變成了一個長方形，即矩形.直角平行四邊形問題3：軸對稱90°相等合作探究一、探究過程探究點1：問題1：==∥1809090問題2：=90≌=【要點歸納】直角相等【典例精析】例1解：∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四個小三角形周長的和為86cm，∴AB＋BC＋CD＋DA＋2(OA＋OB＋OC＋OD)＝AB＋BC＋CD＋DA＋2(AC＋BD)＝86，又∵AC＝BD＝13，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，即矩形ABCD的周長等于34cm.【針對訓練】1.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OA＝OB，又∠AOB＝60°，∴△OAB是等邊三角形.∴矩形的對角線長AC＝BD＝2OA＝2AB=2×4＝8(cm)．例2解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝eq\r(25)＝5.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)AC·BE，∴BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(3×4,5)＝2.4.例3解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝15.∴AO＝eq\f(1,2)AC＝7.5.∵AE垂直平分BO，∴AB＝AO＝7.5.即AC的長為15cm，AB的長為7.5cm.二、課堂小結1.直角2.相等當堂檢測1.A2.1053.80°4.5.證明：在矩形ABCD中，AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.∴∠ABE=∠DCE.∴△ABE≌△DCE(SAS).∴EA=ED.6.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD,AO=BO.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB為等邊三角形，∠BAO=∠ABO=60