吉林省四平市雙遼實驗中學高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）若不等式lg≥（x﹣1）lg3對任意x∈（﹣∞，1）恒成立，則a的取值范圍是（） A． （﹣∞，0] B． 參考答案：D考點： 函數恒成立問題．專題： 計算題；轉化思想；不等式的解法及應用．分析： 不等式lg≥（x﹣1）lg3可整理為，然后轉化為求函數y=在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用單調性可求最值．解答： 不等式lg≥（x﹣1）lg3，即不等式lg≥lg3x﹣1，∴，整理可得，∵y=在（﹣∞，1）上單調遞減，∴x∈（﹣∞，1）y=＞=1，∴要使圓不等式恒成立，只需a≤1，即a的取值范圍是（﹣∞，1]．故選D．點評： 本題考查不等式恒成立問題、函數單調性，考查轉為思想，考查學生靈活運用知識解決問題的能力．2.當時，若，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以答案是.

3.設是偶函數，且在上是減函數，又，則的解集是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C略4.已知點，，若直線與線段的交點滿足，且，則實數的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B5.若的大小關系是（

）A．a＞b＞c

B．c＞a＞b

C．b＞a＞c

D．a＞c＞b參考答案：D6.下列結論中正確的有

（

）

①自然數集記作N；

②；

③中國{x|x是聯合國常任理事國}

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：D7.設函數，則的表達式是A．

B．

C．

D．參考答案：B8.（1）已知，求的值.（2）已知為銳角，，，求的值.參考答案：解：（1）原式=

=

（2）因為為銳角，，所以，---------------

1分由為銳角，，又，---------------1分所以，---------------2分因為為銳角，所以，所以.

---------------1分

略9.在下列各組函數中，兩個函數相等的是（

）A.與B.與C.與D.與參考答案：D10.如圖：兩個正方形的邊長均為2a，左邊正方形內四個半徑為的圓依次相切，右邊正方形內有一個半徑為a的內切圓，在這兩個圖形上各隨機撒一粒黃豆，落在陰影內的概率分別為,,則,的大小關系是：A．=

B。>

C。<

D。無法比較參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果一扇形的弧長為2πcm，半徑等于2cm，則扇形所對圓心角為．參考答案：π【考點】弧長公式．【專題】計算題；對應思想；定義法；三角函數的求值．【分析】直接根據弧長公式解答即可．【解答】解：一扇形的弧長為2πcm，半徑等于2cm，所以扇形所對的圓心角為n===π．故答案為：π．【點評】本題主要考查了弧長公式的應用問題，熟記公式是解題的關鍵．12.在ΔABC中，若，且，則三角形的形狀是

.參考答案：正三角形略13.一條直線經過點，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為．參考答案：【答案】2x+y+2=0或x+2y-2=0；試題分析：設直線在x軸、y軸上的截距分別是a、b,則有S=|a·b|=1.∴ab=±2.設直線的方程是=1.∵直線過點(-2,2),代入直線方程得=1,即b=.∴ab==±2,解得∴直線方程是=1或=1,即2x+y+2=0或x+2y-2=0.考點：直線的一般式方程．

【解析】略14.記實數x1，x2，…，xn中的最大數為max{x1，x2，…，xn}，最小數為min{x1，x2，…，xn}，則max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}=．參考答案：【考點】函數的最值及其幾何意義．【專題】綜合題；函數思想；數形結合法；函數的性質及應用．【分析】在同一坐標系中作出三個函數y=x+1，y=x2﹣x+1與y=﹣x+6的圖象，依題意，即可求得max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}．【解答】解：在同一坐標系中作出三個函數y=x+1，y=x2﹣x+1與y=﹣x+6的圖象如圖：由圖可知，min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}為射線AM，拋物線ANB，線段BC，與射線CT的組合體，顯然，在C點時，y=min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}取得最大值．解方程組得，C（，），∴max{min{x+1，x2﹣x+1，﹣x+6}}=．故答案為：.【點評】題考查函數的最值及其幾何意義，在同一坐標系中作出三個函數y=x+1，y=x2﹣x+1與y=﹣x+6的圖象是關鍵，也是難點，屬于中檔題．15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

．參考答案：6由三視圖可知，該幾何體為直三棱柱，其體積為

16.在等比數列{an}中，公比為q，為其前n項和．已知，則的值為

▲

．參考答案：217.若f（x）是冪函數，且滿足=2，則f（）=．參考答案：【考點】冪函數的概念、解析式、定義域、值域．【分析】由待定系數法求得冪函數解析式，從而求出f（）【解答】解：設f（x）=xα，由==3α=2，得α=log32，∴f（x）=xlog32，∴f（）=（）log32=．故答案為：．【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意冪函數的性質的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，已知，試判斷的形狀。（12分）參考答案：略19.（12分）從某小組的2名女生和3名男生中任選2人去參加一項公益活動．（1）求所選2人中恰有一名男生的概率；（2）求所選2人中至少有一名女生的概率．參考答案：考點： 古典概型及其概率計算公式．專題： 概率與統計．分析： 設2名女生為a1，a2，3名男生為b1，b2，b3，列舉可得總的基本事件數，分別可得符合題意得事件數，由古典概型的概率公式可得．解答： 設2名女生為a1，a2，3名男生為b1，b2，b3，從中選出2人的基本事件有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共10個，（1）設“所選2人中恰有一名男生”的事件為A，則A包含的事件有：（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），共6個，∴P（A）==，故所選2人中恰有一名男生的概率為．（2）設“所選2人中至少有一名女生”的事件為B，則B包含的事件有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），共7個，∴P（B）=，故所選2人中至少有一名女生的概率為．點評： 本題考查古典概型及其概率公式，列舉是解決問題的關鍵，屬基礎題．20.（14分）已知函數f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在實數t，當x∈，f（x+t）≤3x恒成立，求實數m的取值范圍．參考答案：考點： 二次函數在閉區間上的最值；函數恒成立問題．專題： 分類討論；函數的性質及應用．分析： （Ⅰ）由f（x）的圖象與性質，討論a的取值，從而確定f（x）在上的增減性，求出f（x）的值域．（Ⅱ）把f（x+t）≤3x轉化為（x+t）2+2（x+t）≤3x，即u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈恒小于0問題，考查u（x）的圖象與性質，求出m的取值范圍．解答： （Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的圖象是拋物線，開口向上，對稱軸是x=﹣1，∴當﹣2＜a≤﹣1時，f（x）在上是減函數，，∴此時f（x）的值域為：；當﹣1＜a≤0時，f（x）在上先減后增，f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1，∴此時f（x）的值域為：；當a＞0時，f（x）在上先減后增，，∴此時f（x）的值域為：．（Ⅱ）若存在實數t，當x∈，f（x+t）≤3x恒成立，即（x+t）2+2（x+t）≤3x，∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0；設u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈∵u（x）的圖象是拋物線，開口向上，∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；由u（x）≤0恒成立知；化簡得；

v

令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m，則原題轉化為存在t∈，使得g（t）≤0；即當t∈時，g（t）min≤0；∵m＞1時，g（t）的對稱軸是t=﹣1﹣m＜﹣2，①當﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3時，g（t）min=g（﹣4），∴，解得3＜m≤8；②當﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜≤3時，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m，∴，解得1＜m≤3；綜上，m的取值范圍是（1，8]．解法二，由，∴m≤，即=8，1＜m≤8；即得m的取值范圍（1，8]．點評： 本題考查了二次函數在閉區間上的最值問題的應用，解題時應討論對稱軸在區間內？在區間左側？區間右側？從而確定函數的最值．21.（12分）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，點M在AB邊上，且AM=AB，則的值是多少？參考答案：考點： 平面向量數量積的運算．專題： 平面向量及應用．分析： 由題意可得，=，代入?═（+）?（+），整理即可．解答： ∵平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，且AM=AB，∴=∴?=（+）?（+）=+?+?+?=12+1×2cos120°+1××2cos120°+×2×2cos0°=1﹣1﹣+=1點評： 本題考查了平面向量的數量積的基本運算以及向量的加法問題，是向量知識的基本應用．22.某商場對顧客實行購物優惠活動，規定一次購物總額：（1）如果不超過500元，那么不予優惠；（2）如果超過500元但不超過1000元，那么按標價給予8折優惠；（3）如果超過1000元，那么其中1000元給予8折優惠，超過1000元部分按5折優惠．設一次購物總額為x元，優惠后實際付款額為y元．（1）試寫出用x（元）表示y（元）的函數關系式；（2）某顧客實際付款1600元，在這次優惠活動中他實際付款比購物總額少支出多少元？參考答案：【考點】函數模型的選擇與應用．【專題】函數的性質及應用．【分析】（1）由已知中顧客購物總金額不超過500元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過500元，超過500元部分享受8折，如果顧客購物總金額超過1000元，超過1000元部分享受5折，可得到獲得的折扣金額y元