2022-2023學年人教版八年級數學上冊《第11章三角形》期末復習解答培優訓練題（附答案）1．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，若∠B＝32°，∠ACD＝54°，求∠EAD的度數．2．如圖，BD⊥AC，∠1＝∠2，∠C＝66°，求∠1和∠ABC的度數．3．如圖，在△ABC中，∠B＝44°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，求∠AEC的大小．4．如圖，在△ABC中，∠B＝35°，∠ACB＝85°，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一點，PE⊥AD交直線BC于點E，求∠E的度數．5．如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC交AB于點E．∠A＝55°，∠BDC＝95°，求∠BED的度數．6．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是角平分線，AE是高．（1）求∠DAC的度數；（2）求∠DAE的度數．7．（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC的平分線BO與∠ACB的平分線CO交于點O，求證：∠BOC＝90°+∠A；（2）如圖②，在△ABC中，E是邊BC延長線上一點，∠ABC的平分線BO與∠ACE的平分線CO交于點O，求證：∠BOC＝∠A；（3）如圖③，在△ABC中，D是邊AB延長線上一點，E是邊AC延長線上一點，∠CBD的平分線BO與∠BCE的平分線CO交于點O．①試探求∠A與∠BOC的數量關系并證明你的結論；②按角的大小來判斷△BOC的形狀．8．如圖在△ABC中，AD是高，AE是角平分線．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠DAE的度數；（2）若∠ACB﹣∠B＝80°，求∠DAE的度數；（3）若∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），∠DAE與α和β之間有怎樣的關系？請說明理由．9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分線交BC的延長線于點E，BG⊥AE，垂足為點F，交CD于點G．（1）求證：BG平分∠ABE；（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度數．10．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，DE∥AB交BC于E，求∠CBD和∠BDE的度數．11．【定義】在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這兩個角互為“開心角”，這個三角形叫做“開心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開心角”，△ABC為“開心三角形”．【理解】（1）若△ABC為開心三角形，∠A＝132°，則這個三角形中最小的內角為°；（2）若△ABC為開心三角形，∠A＝60°，則這個三角形中最小的內角為°；（3）已知∠A是開心△ABC中最小的內角，并且是其中的一個開心角，試確定∠A的取值范圍，并說明理由；【應用】如圖，AD平分△ABC的內角∠BAC，交BC于點E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延長BA和DC交于點P，已知∠P＝30°，若∠B是開心△ABE中的一個開心角，設∠B＝∠α，求∠α的度數．12．數學課上，胡老師帶領班上的同學探索三角形內角和定理的證明方法．已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C＝180°，機智的同學們想出了如下兩種思路：方法一：如圖，過點A作DE∥BC：方法二：如圖，過點C作CD∥AB，請你選擇其中一種思路，完成證明．13．如圖，已知∠AOB，點C，D分別在射線OA，OB上，CE是∠ACD的平分線，CE的反向延長線與∠CDO的平分線交于點F．（1）如圖1，若∠AOB＝90°，當∠OCD＝40°時，直接寫出∠F的度數；（2）如圖2，若∠AOB＝90°，當點C，D在射線OA，OB上任意移動時（不與點O重合），∠F的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出∠F的度數；（3）如圖3，設∠AOB的度數為m，當點C，D在射線OA，OB上任意移動時（不與點O重合），你能求出∠F的度數嗎？請用含m的代數式表示，寫出你的解答過程．14．如圖1，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE相交于點E．（1）求證：∠E＝∠A；（2）如圖2，若BE，CE是△ABC兩外角平分線且交于點E，則∠E與∠A又有什么關系？15．△ABC中，∠C＝45°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，點P是直線AB上一動點，連接PD，PE，設∠DPE＝α．（1）如圖1，若點P在線段BA上，且α＝30°，則∠PEB+∠PDA＝°；（2）當點P在線段BA上運動時，依題意補全圖2，用等式表示∠PEB與∠PDA的數量關系（用含α的式子表示），并證明；（3）當點P在線段BA的延長線上運動時，請直接用等式表示∠PEB與∠PDA的數量關系（用含α的式子表示）．16．如圖，在三角形ABC中，BF⊥AC于F，點H在AB的延長線上，過點H作HE⊥AC交BC于點D，垂足為E．若∠3＝∠2．（1）求證：FG∥BC；（2）若∠2＝20°，∠H＝25°，求∠1的度數．17．[概念認識]如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰BA三分線”，BE是“鄰BC三分線”．[問題解決]（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝65°，∠ABC＝45°，若∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點D，則∠BDC的度數為；（2）如圖③，在△ABC中，BP，CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰CB三分線，且∠BPC＝135°，求∠A的度數；[延伸推廣]（3）如圖④，在∠ABC中，∠ACD是∠ABC的外角，∠ABC的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°（0＜m＜60），∠ABC＝60°；則∠BPC的度數為（用含m的代數式表示）．18．（1）如圖1所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°；（2）如果把圖1稱為二環三角形，它的內角和為∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；圖2稱為二環四邊形，它的內角和為∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H，求二環四邊形的內角和；二環五邊形的內角和；二環n邊形的內角和．19．如圖，∠CAD與∠CBD的角平分線交于點P，AD與BC相交于點O，AP交BC于點F、BP交AD于E．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度數；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量關系，直接寫出結果．20．【概念認識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則射線BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，射線BD是“鄰AB三分線”，射線BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝73°，∠B＝43°，若∠B的三分線BD交AC于點D，則∠BDC＝°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數；【拓展延伸】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線與∠ACD的三分線交于點P．若∠A＝α°，∠B＝β°，直接寫出∠BPC的度數．（用含α、β的代數式表示）

參考答案1．解：∵AD為高，∠B＝32°，∴∠BAD＝58°，∵∠ACD＝54°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝22°，∵AE是角平分線，∴∠BAE＝∠BAC＝11°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝58°﹣11°＝47°．2．解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°．∵∠1＝∠2，∠C＝66°，∴∠1＝∠2＝∠ADB＝45°，∵∠CBD＝∠ADB﹣∠C＝90°﹣66°＝24°．∴∠ABC＝∠2+∠CBD＝45°+24°＝69°．3．解：∵∠DAC＝∠B+∠BCA，∠FCA＝∠B+∠BAC，∴∠DAC+∠FCA＝∠B+∠BCA+∠B+∠BAC，∵∠B＝44°，∠B+∠BAC+∠BCA＝180°，∴∠DAC+∠FCA＝180°+44°＝224°，∵△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝×224°＝112°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣112°＝68°．4．解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°，∵PE⊥AD，∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°．5．解：∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠A＝55°，∠BDC＝95°，∴∠ABD＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠ABD＝40°，∴∠BED＝180°﹣∠ABD﹣∠BDE＝100°．6．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AD是角平分線，∴∠DAC＝∠BAC＝40°；（2）∵AE是BC邊上的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝30°﹣20°＝10．7．（1）證明：∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A．（2）證明：∵∠ABC的平分線BO與∠ACD的平分線CO相交于點O，∴∠ABO＝∠CBO＝∠ABC，∠ECO＝∠ACO＝∠ACD，∵∠BOC＝∠ECO﹣∠OBC＝∠ACD﹣∠ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A．（3）解：①∠BOC＝90°﹣∠A，理由如下：如圖，∵BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線，∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB+∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC+∠A，∴2∠1+2∠2＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+180°，又∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，∴2∠BOC＝180°﹣∠A，∴∠BOC＝90°﹣∠A．②△BOC為銳角三角形，理由如下：∵∠DBC＜180°，∠BCE＜180°，BO平分∠CBD，CO平分∠BCE，∴∠OBC＜90°，∠OCB＜90°，∵∠BOC＝90°﹣∠A＜90°，∴△BOC為銳角三角形．8．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝100°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝50°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝25°，∵AD是高，∴∠D＝90°，∴∠CAD＝∠ACB﹣∠D＝10°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝35°；（2）∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB﹣∠B＝80°，∴兩式相加得：2∠ACB+∠BAC＝260°，則有∠BAC＝260°﹣2∠ACB，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝130°﹣∠ACB，∵∠ACB是△ACD的外角，AD是高，∴∠CAD＝∠ACB﹣90°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACB﹣90°+130°﹣∠ACB＝40°；（3）∠DAE＝，理由如下：∵∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣，∵AD是高，∴∠D＝90°，∴∠CAD＝β﹣90°，∴∠DAE＝β﹣90°+90°﹣＝．9．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E，∵AE是∠DAB的平分線，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴BA＝BE．∵BG⊥AE，∴BG平分∠ABE；（2）解：∵AE是∠DAB的平分線，∴∠DAE＝∠BAE＝∠ADB，∵∠DAB＝60°，∴∠BAE＝30°．∵BG⊥AE，∴∠ABF＝90°﹣∠BAE＝60°．由（1）知：∠EBF＝∠ABF＝60°，∴∠BGC＝180°﹣∠BCG﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣60°＝20°．10．解：∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝35°．∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝35°．11．解：【理解】（1）設最小角為a，△ABC為開心三角形，∠A＝132°，a+2a＝180°﹣132°＝48，∵∠α＝16°，故答案為：16；（2）當∠A是“開心角”，則最小角為30°；當∠A不是“開心角”，設最小角為a，a+2a＝180°﹣60°＝120°，∴α＝40°，故答案為：30或40；（3）∠A是開心△ABC中最小的內角，并且是其中的一個開心角，另一個開心角是2∠A，∴第三個內角是180°﹣3∠A，∵∠A是最小內角，∴∠A≤180°﹣3∠A，∴∠A≤45°；【應用】①當∠BAE與∠ABE互為開心角時，∠BAE＝ABE或∠BAE＝2∠ABE，∵∠P+α＝（2∠α﹣60°）或∠P+α＝2（2∠α﹣60°），解得∠a＝40°；②當∠BAE與∠AEB互為開心角，∠BAE＝AEB或∠BAE＝2∠AEB，∴∠AEB＝∠EAC+∠ACE，∠EAC＝∠BAE，∴∠BAE＝2∠AEB（舍去），∴∠a＝（240°﹣3∠a），解得∠a＝48°，綜上所述：40°或48°．12．證明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°．∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°．∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．13．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝40°，∴∠CDO＝50°．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD＝70°，∠CDF＝25°．∵∠ECD＝∠F+∠CDF，∴∠F＝45°；（2）不變化，∠F＝45°．∵∠AOB＝90°，∴∠CDO＝90°﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD＝90°﹣∠OCD，∠CDF＝45°﹣∠OCD．∵∠ECD＝∠F+∠CDF，∴∠F＝45°；（3）∵∠AOB＝m，∴∠CDO＝180°﹣m﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD＝90°﹣∠OCD，∠CDF＝90°﹣﹣∠OCD．∵∠ECD＝∠F+∠CDF，∴∠F＝m°．14．（1）證明：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠3＝（∠A+∠ABC）．又∵∠4＝∠E+∠2，∴∠E+∠2＝（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠ABC，∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），∴∠E＝∠A；（2）∵BE、CE是兩外角的平分線，∴∠2＝∠CBD，∠4＝∠BCF，而∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，∴∠2＝（∠A+∠ACB），∠4＝（∠A+∠ABC）．∵∠E+∠2+∠4＝180°，∴∠E+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）＝180°，即∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）＝180°．∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠E+∠A＝90°．15．解；（1）∠PEB+∠PDA＝90°；理由如下；連接PC，如圖1所示∵∠PEB是△PEC的外角，∴∠PEB＝∠3+∠4，∵∠PDA是△PDC的外角，∴∠PDA＝∠1+∠2，∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+30°＝75°；故答案為：75；（2）補全圖形如圖2所示；∠PEB+∠PDA＝45°+α，證明如下：連接PC，如圖3所示：∵∠PEB是△PEC的外角，∴∠PEB＝∠3+∠4，∵∠PDA是△PDC的外角，∴∠PDA＝∠1+∠2，∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+α；∴∠PEB+∠PDA＝45°+α；（3）分三種情況：①如圖4所示：連接PC，由三角形的外角性質得：∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPD+∠DPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPD，∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB+∠DPE＝45°+α，即∠PEB﹣∠PDA＝45°+α；②如圖5所示：連接PC，由三角形的外角性質得：∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE+∠DPE，∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB﹣∠DPE＝45°﹣α，即∠PEB﹣∠PDA＝45°﹣α；③如圖6所示：P、D、E在同一條直線上，連接PC，由三角形的外角性質得：∠PEB＝∠ACB+∠PCA+∠CPE，∠PDA＝∠PCA+∠CPE，∴∠PEB﹣∠PDA＝∠ACB＝45°；綜上所述：如果點P在線段BA的延長線上運動，∠PEB與∠PDA之間的數量關系是45°+α或45°﹣α或45°．16．（1）證明：∵BF⊥AC，HE⊥AC，∴BF//HE∴∠2＝∠FBC，∵∠2＝∠3，∴∠FBC＝∠3，∴GF//BC．（2）解：∵∠2＝∠BDH＝20°，∠H＝25°，∴∠HBC＝180°﹣∠H﹣∠BDH＝135°，∴∠GBC＝180°﹣∠HBC＝45°，又∵GF//BC，∴∠1＝∠GBC＝45°．17．解：（1）∵∠ABC的鄰BA三分線BD交AC于點D，∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠A＝65°，∴∠BDC＝65°+15°＝80°，故答案為：80°；（2）∵BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵∠BPC＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（3）如圖，當BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時，∵∠CBP＝ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A＝m°；如圖，當BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時，∵∠CBP＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∠PCD＝∠P+∠CBP，∴∠ACD＝∠P+∠ABC，即2∠ACD＝3∠P+∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A＝m°，∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+20°．綜上所述：∠BPC的度數為：m°或m°+20°．故答案為：m°或m°+20°．18．解：（1）如圖所示，連接AD，AF交DE于點M，∵∠AMD＝∠EMF，∠AMD+∠FAD+∠ADE＝180°，∠E+∠F+∠EMF＝180°，∴∠E+∠F＝∠ADE+∠FAD，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°；故答案為：360；（2）如圖，連接AE，FE交AH于點M，∴∠F+∠G+∠H+∠FMH＝360°，∠AME+∠MAE+∠MEA＝180°，∵∠AME＝∠FMH，∴∠F+∠G+∠H+（180°﹣∠MAE﹣∠MEA）＝360°，∴∠MAE+∠MEA＝∠F+∠G+∠H﹣180°，∵∠BAM+∠B+∠C+∠D+∠MED+∠MEA+∠MAE＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠BAM+∠B+∠C+∠D+∠MED+（∠F+∠G+∠H﹣180°）＝540°，∴∠BAM+∠B+∠C+∠D+∠MED+∠F+∠G+∠H＝540+180°＝720°∴二環四邊形的內角和為：720°；∵二環三角形的內角和為：360°＝360°×（3﹣2），二環四邊形的內角和為：720°＝360°×2＝360°×（4﹣2），∴二環五邊形的內角和為：360°×（5﹣2）＝1080°，∴二環n邊形的內角和為：360（n﹣2）．故答案為：720°，1080°，360（n﹣2）．19．解：（1）設∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根據∠CAD和∠CBD的角平分線相交于點P可知：∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，∵三角形的內角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．∵∠AEB是△APE與△DBE的外角，∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．同理，∵∠AFB是△ACF與△BFP的外角，∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，2∠P＝35°+29°，解得∠P＝32°；（2）∠P＝（∠C+∠D），理由如下：由（1）同理可知：2∠P＝∠C+∠D，解得∠P＝（∠C+∠D）．20．解：（1）在△ABC中，∠A＝73°，∠B＝43°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣73°﹣43°＝64°．射線BD