湖南省衡陽市耒陽陶洲中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知O是正三形內部一點，，則的面積與△的面積之比是(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A2.設集合A={x|（x﹣3）（1﹣x）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，則A∩B=（）A．（3，+∞） B．[，3） C．（1，） D．（，3）參考答案：D【考點】交集及其運算．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，求出B中函數的定義域確定出B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣3）（x﹣1）＜0，解得：1＜x＜3，即A=（1，3），由B中y=lg（2x﹣3），得到2x﹣3＞0，解得：x＞，即B=（，+∞），則A∩B=（，3），故選：D．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．3.下列函數中，既是偶函數又在單調遞增的函數是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.在區間[0,2]上隨機取兩個數，，則的概率是（

）．

A． B． C． D．參考答案：C本題主要考查微積分的基本定理和幾何概型．由題意可將所求概率轉化為圖中陰影部分面積和正方形面積之比，故所求概率．故選．5.設是等差數列的前項和，已知，則等于A．13

B．35

C．49

D．63

參考答案：C在等差數列中，，選C.6.已知等差數列{an}中，a1=11，前7項的和S7=35，則前n項和Sn中（）A．前6項和最小 B．前7項和最小 C．前6項和最大 D．前7項和最大參考答案：C【考點】等差數列的性質．【專題】計算題．【分析】先根據等差數列的求和公式和S7的值，求得公差d，進而求得數列的通項公式，要使前n項和最大，只需an≥0，進而求得n的范圍．【解答】解：由等差數列求和公式S7=7×11+，d=35可得d=﹣2，則an=11+（n﹣1）×（﹣2）=13﹣2n，要使前n項和最大，只需an≥0即可，故13﹣2n≥0，解之得n≤6.5，故前6項的和最大．故選C．【點評】本題主要考查了等差數列的性質和數列與不等式的綜合運用．考查了學生對等差數列基礎知識如通項公式，求和公式等的理解和運用．7.已知、、為互不重合的三個平面，命題若，，則；命題若上存在不共線的三點到的距離相等，則.對以上兩個命題，下列結論中正確的是（

） A．命題“且”為真 B．命題“或”為假 C．命題“或”為假 D．命題“且”為假參考答案：C略8.集合，集合Q=，則P與Q的關系是（）P=Q

B.PQ

C.

D.參考答案：C9.已知a＞0且a≠1，函數滿足f（0）=2，f（﹣1）=3，則f（f（﹣3））=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2參考答案：B【考點】函數的值．【分析】f（0）=2，f（﹣1）=3，列方程組，解得a=，從而f（﹣3）=a﹣3+b=，進而f（f（﹣3））=f（9），由此能求出結果．【解答】解：∵a＞0且a≠1，函數滿足f（0）=2，f（﹣1）=3，∴，解得a=，∴f（﹣3）=a﹣3+b=，f（f（﹣3））=f（9）==﹣2．故選：B．10.下列四個圖形中，不是以x為自變量的函數的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數的概念及其構成要素．【專題】圖表型．【分析】根據函數的定義中“定義域內的每一個x都有唯一函數值與之對應”判斷．【解答】解：由函數定義知，定義域內的每一個x都有唯一函數值與之對應，A、B、D選項中的圖象都符合；C項中對于大于零的x而言，有兩個不同的值與之對應，不符合函數定義．故選C．【點評】本題的考點是函數的定義，考查了對函數定義的理解以及讀圖能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則

參考答案：

12.（5分）已知函數f（x）滿足f（x+1）=f（x）+1，當x∈[0，1]時，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若對任意實數x，都有f（x+a）＜f（x）成立，則實數a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）考點： 抽象函數及其應用．專題： 函數的性質及應用．分析： 先把絕對值函數化為分段函數，再根據圖象的平移得到函數f（x）的圖象，觀察函數的圖象，即可求出a的范圍．解答： ∵x∈[0，1]時，f（x）=|3x﹣1|﹣1，∴當x∈[0，]時，f（x）=﹣3x，x∈（，1]時，f（x）=3x﹣2，由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致圖形為，如圖所示由圖可以看出，當x=時，即D點．若a≥0，則f（+a）≥f（），不滿足題意．所以a＜0．由圖中知，比D小的為C左邊的區域，且不能為A點．C點為f（﹣），此時a=﹣．所以a的范圍是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）故答案為：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）點評： 本題考查了分段函數的圖象和性質，以及含有參數的取值范圍，關鍵是利用數形結合的思想，屬于難題．13.設實數滿足，若目標函數的取值范圍是，則常數=__________.參考答案：414.箱子中有形狀、大小都相同的3只紅球和2只白球，先摸出1只球，記下顏色后放回箱子，然后再摸出1只球，則摸到兩只不同顏色的球的概率為_____

參考答案：略15.設i為虛數單位，則復數=

．參考答案：﹣4﹣3i【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡復數得答案．【解答】解：=，故答案為：﹣4﹣3i．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題．16.如圖放置的邊長為1的正方形ABCD沿x軸正向滾動，即先以A為中心順時針旋轉，當B落在x軸上時，再以B為中心順時針旋轉，如此繼續，當正方形ABCD的某個頂點落在x軸上時，則以該頂點為中心順時針旋轉.設頂點C滾動時的曲線為y=f(x)，則f(x)在[2017,2018]上的表達式為

．參考答案：17.在△ABC中，B=90°，AB=BC=1，點M滿足于，則有=

.參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.幾何證明選講如圖，Δ是內接于圓，,直線切于點，弦，與相交于點．（Ⅰ）求證：≌；（Ⅱ）若求．參考答案：證明：（Ⅰ）∵MN是切線，且∥∴，即∴∵∴≌

-----------------------5分（Ⅱ）在和中，∵，是公共角,∴∽

------------------7分∴,即∵,

∴∴

------------------------------10分

略19.（12分）（2015秋?太原期末）某地一家課外培訓機構隨機選取當地1000名學生的數據，研究他們報名參加數學、英語、物理、化學培訓的情況，整理成如下統計表：課程人數 數學 英語 物理 化學100 √ × √ √217 × √ × √200 √ √ √ ×300 √ × √ ×85 √ × × ×98 × √ × ×表中“√”表示參加，“×”表示未參加．（1）估計當地某一學生同時參加英語和物理培訓的概率；（2）估計當地某一學生在以上四門課程同時參加三門培訓的概率；（3）如果一個學生參加了數學培訓，則該生同時參加英語、物理、化學培訓中哪一種的可能性最大？說明理由．參考答案：【分析】（1）由統計表得1000名學生中，同時參加英語和物理培訓的學生有200人，由此能估計當地某一學生同時參加英語和物理培訓的概率．（2）由統計表得1000名學生中，在以上四門課程同時參加三門培訓的學生有300人，由此能估計當地某一學生在以上四門課程同時參加三門培訓的概率．（3）該生同時參加英語、物理、化學培訓中參加物理培訓的可能性最大．【解答】解：（1）由統計表得1000名學生中，同時參加英語和物理培訓的學生有200人，∴估計當地某一學生同時參加英語和物理培訓的概率p1==0.2．（2）由統計表得1000名學生中，在以上四門課程同時參加三門培訓的學生有：100+200=300人，∴估計當地某一學生在以上四門課程同時參加三門培訓的概率p2==0.3．（3）該生同時參加英語、物理、化學培訓中參加物理培訓的可能性最大．理由如下：參加數學培訓的學生有100+200+300+85=685人，學生參加了數學培訓，該生同時參加英語培訓的學生有200人，學生參加了數學培訓，該生同時參加物理培訓的學生有100+200=300人，學生參加了數學培訓，該生同時參加化學培訓的學生有100人，∴該生同時參加英語、物理、化學培訓中參加物理培訓的可能性最大．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．20.(本題滿分１２分)某學校隨機抽取部分新生調查其上學路上所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學路上所需時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，.（１）求直方圖中的值；（２）如果上學路上所需時間不少于40分鐘的學生可申請在學校住宿，請估計學校1000名新生中有多少名學生可以申請住宿.參考答案：（1）由，………….4分則………….6分（2）上學所需時間不少于40的學生的頻率為：………….8分估計學校1000名新生中有：………….11分答：估計學校1000名新生中有250名學生可以申請住宿.…12分21.在四棱錐中，底面，,.(1)求證：面⊥面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案：22.已知函數，.（1）當時，求函數f(x)的單調區間和極值；（2）若對于任意，都有成立，求實數k的取值范圍；（3）若，且，證明：.參考答案：（1），①時，因為，所以，函數的單調遞增區間是，無單調遞減區間，無極值；②當時，令，解得，當時，；當，.所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，在區間上的極小值為，無極大值.（2）由題意，，即問題轉化為對于恒成立，即對于恒成立，令，則，令，，則，所以在區間上單調遞增，故，故，所以在區間上單調遞增