2023-2024學年廣東省廣州市荔灣區育才中學九年級（下）月考數學試卷（3月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下面四個幾何體中，俯視圖為四邊形的是(

)A. B. C. D.2.實數a在數軸上的位置如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.a的相反數是2 B.a的絕對值是2 C.a的倒數等于2 D.a的絕對值大于23.下列運算正確的是(

)A. B.

C. D.4.如圖，邊長為a，b的長方形的周長為14，面積為10，則的值為(

)

A.140 B.70 C.35 D.245.如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：甲乙丙丁平均數185180185180方差根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇(

)A.丁 B.丙 C.乙 D.甲6.若拋物線的頂點在第一象限，則m的取值范圍為(

)A. B. C. D.7.在平面中，下列命題為真命題的是(

)A.四邊相等的四邊形是正方形 B.對角線相等的四邊形是菱形

C.四個角相等的四邊形是矩形 D.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形8.若一次函數的圖象經過第一、二、四象限，則下列不等式中總是成立的是(

)A. B. C. D.9.如圖，在?ABCD中，，，的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，，垂足為G，，則的周長為(

)A.8 B. C.10 D.10.如圖所示，四邊形ABCD中，，，則BD的長為(

)

A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是______.12.已知直線，將一塊含角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中A，B兩點分別落在直線m，n上，若，則的度數為______

13.2020年，中國GDP總量達到1015986億元.數據1015986用科學記數法表示為______.14.如圖，中，，，點D是斜邊AB的中點，那么的度數為______.

15.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉，用a和b的代數式表示：______.

16.關于二次函數在的取值范圍內，函數y的最小值用含a的式子表示，下列結論：

①當時，函數y的最小值是；

②當時，函數y的最小值是；

③當時，函數y的最小值是；

④當時，函數y的最小值是

其中正確的有______填序號即可三、計算題：本大題共1小題，共8分。17.解方程組四、解答題：本題共8小題，共64分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.本小題8分

如圖，AC是菱形ABCD的對角線，點E、F分別在邊AB、AD上，且

求證：≌

19.本小題8分

已知：

化簡A；

若a是方程的一個根，求A的值.20.本小題8分

第十五屆中國“西博會”將于2014年10月底在成都召開，現有20名志愿者準備參加某分會場的工作，其中男生8人，女生12人．

若從這20人中隨機選取一人作為聯絡員，求選到女生的概率；

若該分會場的某項工作只在甲、乙兩人中選一人，他們準備以游戲的方式決定由誰參加，游戲規則如下：將四張牌面數字分別為2，3，4，5的撲克牌洗勻后，數字朝下放于桌面，從中任取2張，若牌面數字之和為偶數，則甲參加，否則乙參加．試問這個游戲公平嗎？請用樹狀圖或列表法說明理由．21.本小題8分

如圖，MN是的直徑，，點A在上，，B為的中點，P是直徑MN上一動點．

利用尺規作圖，確定當最小時P點的位置不寫作法，但要保留作圖痕跡

求的最小值．22.本小題8分

某商店在2019年至2021年期間銷售一種禮盒年，該商店用3500元購進了這種禮盒并且全部售完，2021年，這種禮盒的進價比2019年下降了11元/盒，該商店用2400元購進了與2019年相同數量的禮盒也全部售完，禮盒的售價均為60元/盒.

年這種禮盒的進價是多少元/盒？

若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同，問年增長率是多少？23.本小題8分

如圖，直線與反比例函數交于點，并與x軸，y軸交于點C，

求b，m的值；

連接OA，求的值；

點D在y軸的負半軸上，若以點D、C、B組成的三角形與相似，求點D的坐標.24.本小題8分

已知：正方形ABCD邊長為點P為邊AD上的動點，以直線BP為對稱軸翻折得如圖連接CQ，取CQ中點M，連接

當翻折后，若點Q剛好落在對角線BD上，求此時AP的長度；

當點P由A運動到D時，求點M的運動軌跡的長度；

如果將“點P為線段AD上的動點”改為“點P為射線AD上的動點”，其它條件不變，那么當為等腰三角形時，求此時AP的長度.25.本小題8分

已知拋物線的頂點C位于x軸下方.

求證：拋物線與x軸有兩個交點；

若拋物線與x軸的兩個交點為點A，在B的左側，直線BC與y軸交于點D，且將繞點C按順時針方向旋轉一定角度后，點A與點B重合，此時點O恰好也在y軸上，求拋物線的解析式.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、圓柱的俯視圖是圓；

B、三棱錐的俯視圖是三角形；

C、三棱柱的俯視圖是三角形；

D、正方體的俯視圖是四邊形．

故選

俯視圖是指從物體上面看，所得到的圖形．

本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵．主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．2.【答案】D

【解析】解：由數軸可知，，

a的相反數，所以A不正確，

a的絕對值，所以B不正確，

a的倒數不等于2，所以C不正確，

D正確．

故選：

根據數軸確定a的取值范圍，選擇正確的選項．

本題考查的是數軸和實數的性質，屬于基礎題，靈活運用數形結合思想是解題的關鍵．3.【答案】D

【解析】解：A、，故本選項錯誤；

B、應為，故本選項錯誤；

C、應為，故本選項錯誤；

D、，正確．

故選：

根據合并同類項，去括號與添括號的法則，完全平方公式公式，平方差公式，進行解答．

本題考查合并同類項，去括號與添括號的法則，完全平方公式公式，平方差公式，熟記公式結構是解題的關鍵．4.【答案】B

【解析】解：根據題意得：，，

；

故選：

由長方形的周長和面積得出，，再把多項式分解因式，然后代入計算即可．

本題考查了分解因式、長方形的周長和面積的計算；利用整體法求代數式的值是解題的關鍵．5.【答案】D

【解析】解：甲和丙的平均數大于乙和丁的平均數，

從甲和丙中選擇一人參加比賽，

甲的方差小于丙的方差，

選擇甲參賽，

故選：

首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加．

此題考查了平均數和方差，正確理解方差與平均數的意義是解題關鍵．6.【答案】B

【解析】解：由，

根據題意，，

解不等式，得，

解不等式，得；

所以不等式組的解集為

故選

利用的頂點坐標公式表示出其頂點坐標，根據頂點在第一象限，所以頂點的橫坐標和縱坐標都大于0列出不等式組．

本題考查頂點坐標的公式和點所在象限的取值范圍，同時考查了不等式組的解法，難度較大．7.【答案】C

【解析】解：A、四邊相等的四邊形不一定是正方形，例如菱形，故此選項錯誤；

B、對角線相等的四邊形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此選項錯誤；

C、四個角相等的四邊形是矩形，故此選項正確；

D、對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，如右圖所示，故此選項錯誤．

故選：

分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案，不是真命題的可以舉出反例．

此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．8.【答案】D

【解析】解：一次函數的圖象經過第一、二、四象限，

，，

，故A錯誤，

，故B錯誤，

不一定大于0，故C錯誤．

，故D正確，

故選：

首先判斷a、b的符號，再一一判斷即可解決問題．

本題考查一次函數與不等式，解題的關鍵是學會根據函數圖象的位置，確定a、b的符號，屬于中考?？碱}型．9.【答案】A

【解析】解：在?ABCD中，，，的平分線交BC于點E，

，，

，

，

，

是等腰三角形，

同理是等腰三角形，

；

，

；

在中，，，，可得：，

又，

，

的周長等于16，

又?ABCD

∽，相似比為1：2，

的周長為

故選：

本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形、和勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對數學中的數形結合思想的考查．在?ABCD中，，，的平分線交BC于點E，可得是等腰三角形，；是等腰三角形，，所以；在中，，，，可得，又是等腰三角形，，所以，所以的周長等于16，又由?ABCD可得∽，相似比為1：2，所以的周長為8，因此選

本題考查勾股定理、相似三角形的知識，相似三角形的周長比等于相似比．10.【答案】B

【解析】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交于F，連接

，

，

，，

是的直徑，

，

故選：

以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交于F，連接在中，由勾股定理即可求出BD的長．

本題考查了勾股定理，解題的關鍵是作出以A為圓心，AB長為半徑的圓，構建直角三角形，從而求解．11.【答案】

【解析】解：二次根式有意義，

，

故答案為：

根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．

本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵．12.【答案】50

【解析】解：直線，

，

故答案為：50

根據平行線的性質即可得到結論．

本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．13.【答案】

【解析】解：

故答案為：

科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值時，n是負整數．

此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．14.【答案】

【解析】解：，點D是斜邊AB的中點，

，

，

，

故答案為：

先利用直角三角形斜邊上的中線性質可得，然后利用等腰三角形的性質可得，從而利用角的和差關系進行計算即可解答．

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質是解題的關鍵．15.【答案】

【解析】解：連接BD，EG，BE，DG的交點為M，

四邊形ABCD，四邊形CEFG為正方形，

，，，

，

≌，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

故答案為：

由“SAS”可證≌，可得，，由勾股定理可得，，則，可得即可求解．

本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定，勾股定理，熟練運用勾股定理是解決問題的關鍵．16.【答案】①②③

【解析】解：二次函數，

拋物線開口向上，對稱軸為直線，

①當時，時，函數有最小值，函數y的最小值是，故①正確；

②當時，時，函數有最小值，函數y的最小值是，故②正確；

③當時，時，函數有最小值，函數y的最小值是；故③正確；

④當時，時，函數有最小值，函數y的最小值是；故④錯誤；

故答案為：①②③．

根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以得到該函數的對稱軸和開口方向，然后根據，即可得到相應的最值，從而可以解答本題．

本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確二次函數的性質，求出相應的最值．17.【答案】解：，

①②得：，

把代入①得：，

則方程組的解為

【解析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

方程組利用加減消元法求出解即可．18.【答案】證明：是菱形ABCD的對角線，

，

在和中，

，

≌

【解析】本題考查了菱形對角線的性質即一條對角線平分一組對角，以及全等三角形的判定方法，難度適中．

根據菱形對角線的性質，可知一條對角線平分一組對角，即，再根據邊角邊即可證明≌19.【答案】解：

；

是方程的一個根，

【解析】利用分式的加減法計算法則進行解答；

把代入已知方程，得到，然后代入化簡后的A中求值即可．

本題主要考查了一元二次方程的解的定義，分式的加減法，分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．20.【答案】解：現有20名志愿者準備參加某分會場的工作，其中男生8人，女生12人，

從這20人中隨機選取一人作為聯絡員，選到女生的概率為：；

如圖所示：

牌面數字之和為：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，9，8，

偶數為：4個，得到偶數的概率為：，

得到奇數的概率為：，

甲參加的概率<乙參加的概率，

這個游戲不公平．

【解析】直接利用概率公式求出即可；

利用樹狀圖表示出所有可能進而利用概率公式求出即可．

此題主要考查了游戲公平性以及概率公式應用，正確畫出樹狀圖是解題關鍵．21.【答案】解：如圖1所示，點P即為所求；

由可知，的最小值即為的長，連接、OB、OA，

點為點A關于直線MN的對稱點，，

，

又為的中點，

，

，

，

又，

，

中，，即的最小值為

【解析】作點A關于MN的對稱點，連接，與MN的交點即為點P；

由可知，的最小值即為的長，連接、OB、OA，先求，再根據勾股定理即可得出答案．

本題主要考查作圖-復雜作圖及軸對稱的最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質和圓周角定理、圓心角定理是解題的關鍵．22.【答案】解：設2019年這種禮盒的進價是x元/盒，則2021年這種禮盒的進價是元/盒，

依題意，得：，

解得：，

經檢驗，是原方程的解，且符合題意．

答：2019年這種禮盒的進價是35元/盒．

年及2021年購進這種禮盒的數量為盒

設該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率為y，

依題意，得：，

解得：，不合題意，舍去

答：該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率為

【解析】設2019年這種禮盒的進價是x元/盒，則2021年這種禮盒的進價是元/盒，根據數量=總價單價結合2017年和2019年購入禮盒數相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；

利用數量=總價單價可求出2019年及2021年購進這種禮盒的數量，設該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率為y，根據2019年及2021年獲得的利潤，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．

本題考查了一元二次方程的應用以及分式方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出分式方程；找準等量關系，正確列出一元二次方程．23.【答案】解：將點A的坐標代入反比例函數表達式得：，

將點A的坐標代入一次函數表達式得：，解得：，

即，；

由知，直線AB的表達式為：，

則，則，，

過點O作于點H，則，

則，

則；

，

故當以點D、C、B組成的三角形與相似時，存在∽或∽，

由點A、B、C的坐標得，，，，，

則或，

即或，

解得：或16，

即點或

【解析】將點A的坐標函數表達式，即可求解；

過點O作于點H，則，則，即可求解；

當以點D、C、B組成的三角形與相似時，存在∽或∽，即可求解．

本題為反比例函數綜合題，涉及到三角形相似、解直角三角形、反比例函數的基本性質等，其中，要分類求解，避免遺漏．24.【答案】解：如圖，

四邊形ABCD是正方形，

，，

以直線BP為對稱軸翻折得