2020-2021學年合肥市九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知a是銳角，cosa=*,貝必等于（）

A.30°B,45°C.60°D,90°

2.已知二次函數y=ax2+bx+c的y與％部分對應值如下表:

X-1013

y-3131

則下列判斷中正確的是（）

A.拋物線開口向上B.拋物線與y軸交于負半軸

C.拋物線的對稱軸為％=1D.當久=4時，y<0

3.若雙曲線丫=子的圖象在第一、三象限，則k的取值范圍為（）

A.A:>0B.fc<0C.fc>1D.fc<1

4.若工ABCfDEF,△ABC與△DEF的相似比為1：3,則S—w：5“所為（）

A.1：3B.1：9C.1：V3D.3：1

5.如圖，雙曲線%=§與直線y2=a%相交于4B兩點，點Z的坐標為（2,zn）,

若yi〈y2，則》的取值范圍是（）

A.%>2或—1V%<0

B.-2<%<0或0<%V2

C.x>2或—2V%<0

D.%<—2或0<x<2

拋物線y=ax2+b%+c（a。0）對稱軸為直線％=1,與％軸的一個交點坐

標為（-1,0）,與y軸交點為（0,3）,其部分圖象如圖所示，則下列結論錯誤

的是（）

A.a—b+c=0

B.關于％的方程a/+b、+c-3=0有兩個不相等的實數根

C.abc>0

D.當y>0時，—1V%<3

7.已知點P（4,a+1）與點Q（5,7—a）的連線平行于％軸，則a的值是（）

A.2B.3C.4D.5

8.勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉.生活中到處

可見黃金分割的美.在設計人體雕像時，使雕像的下部（腰以下）與全部（全身）的高

度比值接近0.618,可以增加視覺美感.如果雕像的高為2m,那么它的下部應設計

為（結果保留兩位小數）（）

A.1.23m

B.1.24m

C.1.25m

D.1.236m

9.如果一直角三角形的三邊為a,b,c,ZJ5=90°,那么關于％的方程a（/—1）—2ex+b（x2+1）=

0的根的情況為（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D.無法確定根的情況

10.如圖，拋物線y=a/+b%+c（a。0）與X軸一個交點為（一2,0）,對稱軸

為直線％=1,貝如>0時久的范圍是（）

A.%>4或％V-2

B.-2<x<4

C.—2<%<3

D.0<%<3

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

1L若瀉，則中=

12.如圖，在菱形4BCD中，0、E分別是4C、4。的中點，聯結。瓦如

果4B=3,AC=4,那么co"OE=

C

13.如圖，在平面直角坐標系中，正方形4BCD的三個頂點4、B、。均在拋A

物線y=a/-4ax+3(a<0)上.若點4是拋物線的頂點，點B是拋物

線與y軸的交點，貝SC長為

14.如圖，正方形4BCC的面積是16,E,F,G,"分別為邊ZB,BC,CD,

的中點，則四邊形EFGH的面積為.

三、計算題(本大題共1小題，共10.0分)

15.如圖，海島4的周圍15海里內有暗礁，一漁船跟蹤魚群由西向東航行,

在點B處測得海島2位于北偏東60。，航行12海里后到達點C處，又測

得海島4位于北人偏東30。。如果漁船不改變航向繼續向東航行，那么

它有沒有觸礁的危險？請說明你的理由。

四、解答題(本大題共8小題，共80.0分)

16.計算：|2-V3|+(V2+1)°-3tan300+(-1)2020-(COS600)-1

17.如圖，直線y=+n交坐標軸分別于2,B(0,l)兩點，交雙曲線、=:于點C(2,2),點D在直線

AB上，AC=2CD.過點。作DE軸于點E,交雙曲線y于點F,連接CF.

(1)求反比例函數y=g和直線y=mx+ri的表達式;

⑵求△CDF的面積.

18.如圖，在RtAABC中，ZXCB=90°,AC=6,BC=8,動點M從點4出發，以每秒1個單位長

度的速度沿4B向點B勻速運動；同時，動點N從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿B4向點

4勻速運動，過線段MN的中點G作邊4B的垂線，垂足為點G,交AABC的另一邊于點P,連接PM,

PN,當點N運動到點4時，M,N兩點同時停止運動，設運動時間為t秒.

(1)當t=秒時，動點M,N相遇；

(2)設APMN的面積為S,求S與t之間的函數關系式；

(3)取線段PM的中點K,連接K4KC,在整個運動過程中，AKaC的面積是否變化？若變化，直接

寫出它的最大值和最小值；若不變化，請說明理由.

19.如圖，圖①、圖②、圖③均為4x2的正方形網格，△ABC的頂點均在格點上.

(1)圖①中〃BC的正弦值=；

(2)按要求在圖②、圖③中各畫一個頂點在格點上的三角形.要求：所畫的兩個三角形都與AABC相

似但都不與△ABC全等，圖②和圖③中新畫的三角形不全等.

20.如圖，在直角坐標系xOy中，一次函數丫=七％+b的圖象與反比例函數y=當。＞0)的圖象交

于4(1,4),兩點.

(1)求反比例函數的解析式；

(2)求AAOB的面積；

(3)如圖寫出反比例函數值大于一次函數值的自變量x的取值范圍.

21.我市出租車車費標準如下：3碗以內(含3/OTI)收費9元，超過3k僅的部分每千米收費1.5元.

(1)寫出應收費y(元)出租車行駛路線(其中無>3)之間的關系式；

(2)小明乘出租車行駛6km,應付多少元？

(3)小波付車費16.5元，那么出租車行駛了多少千米？

22.某商場購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元出售，那么每月可售出500個，根據銷售

經驗，售價每提高1元，銷售量相應減少10個；

(1)假設銷售單價提高x元，那么銷售每個籃球所獲得的利潤是一元；這種籃球每月的銷售量

是個；(用含X的代數式表示)

(2)每月銷售這種籃球的利潤是否能達到8000元？如果能，請求出此時籃球的售價應定為多少

元？

23.如圖，△28C中，DE//BC,G是4E上一點，連接BG交DE于尸，作GH〃AB交DE于點H.

(1)如圖1,與AGHE相似三角形是(直接寫出答案)；

(2)如圖1,若4。=38。，BF=FG,求器的值；

(3)如圖2,連接并延長交48于P點，交BG于Q,連接PF,則一定有PF//CE,請說明理由.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：試題分析：直接根據特殊角的三角函數值即可得出結論.

e??a是銳角，cosa=—,

2

???a=45°.

故選8.

2.答案：D

解析：解：4、?.?》=1.時，y=3；%=3時，y=1；，拋物線開口向下，故本選項錯誤；

5、???％=()時，y=1,?,?拋物線與y軸交于正半軸，故本選項錯誤；

C、由(0,1),(3,1)可知］故本選項錯誤；

D、根據對稱性，當％=4時與x=-1時的函數值相同，y=-3<0,故本選項正確.

故選：D.

根據二次函數的開口方向，與坐標軸的交點，以及二次函數的增減性對各選項分析判斷后利用排除

法求解.

本題考查了二次函數的性質，主要利用了增減性，對稱性，以及二次函數與y軸的交點坐標的求解,

熟記性質是解題的關鍵.

3.答案：D

解析：解：?函數y=V的圖象在第一、三象限內，

1-k>0,

解得k<L

故選：D.

若反比例函數y=?的圖象經過第一、三象限，即反比例系數1-k>0,從而求得k的范圍.

本題考查了反比例函數y=§(k豐0)的性質：①當k>0時，圖象分別位于第一、三象限；當k<0時，

圖象分別位于第二、四象限.②當k>0時，在同一個象限內，y隨工的增大而減小；當k<0時，在

同一個象限，y隨％的增大而增大.

4.答案:B

解析：解：,:bABCMDEF,△ABC與△DEF的相似比為1：3,

S^ABC-S^DEF=1：9?

故選：B.

由△ABCsADEF,△ABC與△DEF的相似比為1：3,根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，

即可求得答案.

此題考查了相似三角形的性質.注意熟記定理是解此題的關鍵.

5.答案：C

解析：解：雙曲線為=E與直線丫2=ax相交于A,B兩點，點的坐標為(2,m),

???B(-2,-m),

又<72-

久的取值范圍是一2<x<0或%>2.

故選：C.

根據反比例函數和正比例函數的對稱性求得B(-2,-加)，然后根據函數圖象的上下位置關系結合交

點的橫坐標，即可得出不等式為<、2的解集.

本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，數形結合是解答此題的關鍵.

6.答案：C

解析：解：4選項正確.因為當x=-1時，y=a-b+c,根據圖象可知，a-匕+c-0.不符合題意；

B選項正確.因為拋物線與x軸有兩個交點，△>(),

所以關于x的方程a/+.+c-3=0有兩個不相等的實數根.不符合題意；

C選項錯誤.因為根據圖象可知：

a<0,b>0,c>0,所以abc<0,符合題意；

D選項正確.因為根據圖象可知：

當y>0時，一1<x<3.不符合題意.

故選：C.

A根據當久=-1時對應的y的值即可判斷；

區根據判別式的取值范圍即可判斷；

C.根據拋物線開口方向和對稱軸的位置即可判斷；

。根據拋物線與左軸的交點坐標即可判斷.

本題考查了二次函數與系數的關系、根的判別式、拋物線與x軸的交點，解決本題的關鍵是掌握以上

知識.

7.答案：B

解析：解：,；PQ//x軸，

二點P和點Q的縱坐標相同，

即a+l=7—a,

ci—3.

故選：B.

根據平行于X軸的直線上點的坐標特征得到a+1=7-a,然后解一元一次方程即可.

本題考查了坐標與圖形性質：利用點的坐標計算相應線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關系.解

決本題的關鍵是掌握平行于％軸的直線上點的坐標特征.

8.答案：B

解析：解：???雕像的下部（腰以下）與全部（全身）的高度比值接近0.618,

???雕像的下部（腰以下）的長=0.618X2?1.24（E）.

故選：B.

把雕像的高2nl乘以0.618,然后進行近似計算.

本題考查了黃金分割的定義：把線段4B分成兩條線段4C和BC（4C>BC）,且使4c是4B和BC的比例

中項（即4B：AC=AC：BC）,叫做把線段4B黃金分割，點C叫做線段4B的黃金分割點.其中4C=

在二ABx0,618AB,并且線段4B的黃金分割點有兩個.

2

9.答案：A

解析：解:?"=90。

a2+c2=b2

化簡原方程為：（a+b）x2—2ex+b—a=0

；.△=4c2—4（/?2—a2）=4c2—4c2=0

??.方程有兩個相等實數根

故選：A.

根據勾股定理，確立a2+c2=b2,化簡根的判別式，判斷根的情況就是判斷△與0的大小關系.

總結：

1、勾股定理：在直角三角形中，ZC=90°,有a2+》2=c2

2、一元二次方程根的情況與判別式A的關系：（1）△>00方程有兩個不相等的實數根；（2）A=0Q

方程有兩個相等的實數根；（3）A<00方程沒有實數根

10.答案:A

解析：解：,.，拋物線y=ax2+bx+c（a。0）與X軸一個交點為（一2,0）,對稱軸為直線1=1,

???拋物線y=ax2+bx+c（aW0）與%軸的另一個交點為（4,0）,

???當％<—2或1>4時，y>0.

故選：A.

利用拋物線的對稱性得到拋物線y="+bx+c（a豐0）與l軸的另一個交點為（4,0）,然后寫出拋物

線在久軸上方所對應的自變量的范圍即可.

本題考查了拋物線與刀軸的交點：把求二次函數y=a/+.+c（a/,c是常數，。。0）與無軸的交點

坐標問題轉化為解關于久的一元二次方程.也考查了二次函數的性質.

11.答案：I

解析：解：???；=1，

???x=-8y,

...口=222=S；

yy3’

故答案為：|.

根據比例的性質得出X=ly,再代入要求的式子進行計算即可.

本題考查了比例的基本性質，比較簡單，用y表示出x是解題關鍵.

12.答案：平

解析：

本題考查的是三角形中位線定理、銳角三角函數的定義，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等

于第三邊的一半是解題的關鍵.連接。。，根據菱形的性質、勾股定理求出。。，根據三角形中位線

定理得到=根據余切的定義計算，得到答案.

解：連接0。，

???四邊形4BCD為菱形，

OD1AC,OA=OC=-AC=2,

2

由勾股定理得，OD=y/AD2-OA2=732—22=V5,

???。、E分別是4C、4。的中點,

OE//CD,

???Z-AOE=Z-ACD,

：.cot^AOE=cotzXCZ)=—=4=—>

ODV55

故答案為：爭.

13.答案：4

解析：解：拋物線的對稱軸％=-需=2,點B坐標(0,3),

???四邊形4BCD是正方形，點4是拋物線頂點，

:.B、D關于對稱軸對稱，AC=BD,

.??點。坐標(4,3)

???AC=BD=4.

故答案為4.

先求出對稱軸，再根據B、。關于對稱軸對稱，求出點D坐標，根據正方形的性質4C=BD即可解決

問題.

本題考查二次函數的性質、正方形的性質，解題的關鍵是求出拋物線的對稱軸，記住拋物線的對稱

軸公式x=-5，屬于中考常考題型.

2a

14.答案：8

解析：解：連接“尸、EG,

?.?正方形4BCD的面積為16,

BC//AD,BC=AD,

???尸、H分別為邊BC、的中點，

???四邊形BF/M是平行四邊形，

???AB=HF,AB//HF,

同理BC=EG,BC//EG,

AB1BC,

HF1EG,

四邊形EFGH的面積1是x//F=j1x4x4=8.

故答案為：8.

根據正方形的性質推出BE=4F,8E〃4F得至lj平行四邊形凡4,推出AB=HF,同理

得到BC=EG,BC//EG,推出HF1EG,根據三角形的面積公式求出即可.

本題主要考查中點四邊形的性質，平行四邊形的性質和判定，三角形的面積等知識點的理解和掌握,

能求出HF、EG的長和HF1EG是解此題的關鍵.

15.答案：過4點作4D1BC,交的處長線于點D.由題意可知：乙4BC=90。-60。=30。，^ACD=

90°—30°=60°.

???ABAC="CD-AABC=60°-30°=30°,

??.Z.BAC=Z.ABC.

???AC—DC=12.

,nAD

sinZ.ACD=—

AC

：.AD=AC-sinzXCD=12xsin60°=&也崗］02<15?

因此，漁船繼續向東航行有觸礁的危險.

解析：本題主要考查利用解直角三角形來解決航海問題.

16.答案：解：原式=2—V3+1—3x-y+l-2>

=2—+1—+1—2,

=2-25

解析：本題涉及零指數累、負指數幕、乘方、絕對值和特殊角的三角函數值5個考點.在計算時，需

要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果.

本題主要考查了實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關鍵是熟

練掌握負整數指數幕、零指數幕、特殊角的三角函數值、絕對值等考點的運算.

17.答案:解：⑴?.?直線y=mx+ri經過B(0,l),C(2,2)兩點，

北])，解得上二

127n+n=2(九=]

???直線的表達式為丫=稱久+1;

???點C(2,2)在雙曲線y=5上，

2=p解得k—4,

.,?反比例函數的解析式為y=%

(2)作CH1%軸于H,

??.CH=2,

??,DE1%軸于點E,

??.CH//DE,

.AC_CH_AH

??AD~DE~AE'

-1

由直線y=-%+1可知4(一2,0),

??.0A=2,AH=4,

-AC=2CD,

,,AC=_一,2

AD3

?2_2_4

??3-DE-AE9

??.DE=3,AE=6,

???D(4,3),

把％=4代入y=：得，y=1,

尸(4,1),

??.OF=3—1=2,

???EH=AE-AH=2,

??.ACDF的面積=-x2x(4-2)=2.

解析：本題考查了待定系數法求一次函數的解析式、反比例函數的解析式，平行線的性質以及反比

例函數圖象上點的坐標特征，作出輔助線構建平行線是解題的關鍵.

(1)根據待定系數法即可求得；

(2)作CH，x軸于H,根據平行線分線段成比例求得DE,進一步求得。的坐標，把。的橫坐標代入反

比例函數y=：中，求得F點的坐標，從而求得DF,然后根據三角形面積公式即可求得.

18.答案:(1)2.5；

(2)過點C作CHLAB于H,

-11

由=/C?=#5?C”

???AH=y/AC2-CH2=3.6,BH=10-3.6=6.4.

???當點N運動到點4時，M,N兩點同時停止運動，

0<t<

3

當0<￡<2.5時，點M在點N的左邊，如圖1、圖2,

MN=AB-AM-BN=10-t-3t=10-4t.

???點G是MN的中點，MG=5"N=5—2t,

AG=AM+MG=t+5—2t=5—t,

BG=10—(5—t+5.

當點P與點c重合時，點G與點”重合，

則有5-t=3.6,解得t=1.4.

■■MN=AM-AN=AM-(AB-BN)=t-(10-3t)=4t-10,

NG=-MN=2t-5,

2

??.AG=AN+NG=10—3t+2t—5=5—t.

綜上所述：①當0〈t41.4時，點M在點N的左邊，點P在BC上，如圖1,

此時MN=10-43BG=t+5,

PG=BG,tanB=—(t+5)=—t+—,

11315

S=-MN-PG=-(10-4t)-(t+—)

22474

_3.邙75

-......L------Ld-----；

244

②當1,4<t<2.5時，點M在點N的左邊，點P在AC上，如圖2,

此時MN=10—432G=5—t,

PG=AG?tanA=—(5—t)=-------1,

633

11204

???S='MN-PG=](10—4t)-(——-t)

=-t2-20t+—；

33

③當2.5<tW?時，點M在點N的右邊，點P在AC上，如圖3,

此時MN=4t-10,AG=5-t,

p204

PG=AG,tcLnA=—(5—t)-.............1,

6V733

11204

??.S=-MN?PG=](4t-lO)-(y--t)

=-5t2+20t--；

33

??.s與t之間的函數關系式為

f--t2t+—,0<t<1,4

244'

S=1-七2-20tH-----,1.4<t<2.5；

I33，，

--t2+20t--,2.5<t<-

l333

(3)在整個運動過程中，AK4C的面積變化，最大值為4,最小值為

提示：過點K作KD12C于D,過點M作ME1AC于E.

①當時，點P在BC上，如圖4,

此時ZM=t,BG=t+5,

84

??.EM=AM-sin乙EAM=—t=-t,

105

BP=-=^-=-t+-

COSB_44'

io

CP=CB-BP=8-(^t+-)=--t+-.

v44744

vEM1i4C,KDLAC,PCLAC,

??.EM//DK//CP.

???K為PM的中點，為EC中點，

1117497

???DK=-(CP+EM}+-+-t)=-—t+-，

2、72v4457408

11Q72721

S2KAC=—AC,DK=-X6X(-----1H—)=------1H—,

△八AL22v4087408

隨著的增大而減小，

4U<o,SAWt

.?.當t=0時，SAKAC取到最大值，最大值為勺，

當t=1.4時，SAKAC取到最小值，最小值為蓑；

②當時，點P在AC上，如圖5、圖6,

12

??.OK=#M=J，

1126

S4K4c==AC,DK——x6x—1=—t.

△K2“2255

I>o,SAKAC隨著t的增大而增大，

.?.當t=1.4時，4c取到最小值，最小值為蓑；

當1=?時，SAKAC取到最大值，最大值為9x^=4

綜上所述：△K4C的面積的最大值為4,最小值為蓑.

解析：解：(1)???^ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,

???t+3t=10,解得t=2.5(s),

即當t=2.5秒時，動點M,N相遇；

故答案為2.5；

(2)見答案;

(3)見答案.

(1)根據勾股定理可得=10,若動點M、N相遇，則有t+3t=10,即可求出t的值；

(2)由于“點P在BC上”與“點P在點4C上”及“點M在點N的左邊”與“點M在點N的右邊”對應

的MN、PG的表達式不同，S與t之間的函數關系式也就不同，因此需分情況討論.只需先考慮臨界

位置(點P與點C重合，點M與點N重合、點N與點4重合)所對應的t的值，然后分三種情況(①0<t<

1.4,②1.4<t<2,5,③2.5<tW?)討論，用t的代數式表示出MN和PG,就可解決問題；

(3)過點K作KD于D,過點M作ME12C于E,由于4C已知，要求△K4C的面積的最值，只需用

t的代數式表示出DK,然后利用一次函數的增減性就可解決問題.

本題主要考查了平行線分線段成比例、三角函數的定義、勾股定理、梯形中位線定理、三角形中位

線定理、一次函數的增減性等知識，在解決問題的過程中，用到了分類討論、等積法、臨界值法等

重要的數學思想方法，找準臨界點是解決本題的關鍵.

19.答案：(1)?；

(2)如圖，△&Bi6和△4B2c2即為所求作三角形.

解析：

解：⑴過點4作4C8C交BC的延長線于

???AD=1

根據勾股定理得，AB=V5,

.ZBC的正弦值弋

故答案為：g

(2)見答案.

(1)根據三角函數解答即可;

(2)將原三角形的三邊分別擴大近和2倍即可得.

本題考查了作圖-相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得

到.本題從乙4c8=135。，AC,BC=VI：1找到突破口.

20.答案：解：⑴???做1,4)在丫=子上,

4=*

???優=1X4=4,

4

--y=-(x>o)

(2)?把B(3,m)代入y=：中，m=1

???B(3分4

"y=k2x+b過點4(1,4)B(3,》,

A=k+b

|=3fc+

\=--

h/，

y=——4x-\,——16

J33

令y=0,

???C(4,0)

S^AOB=S^AOC-S^COB

114

=-x4x4--x4x-

223

=8--

3

_16

-3；

(S&AOB=S梯形AEFB=T),

(3)0<x<1或x>3

解析：(i)將點a的坐標(1,4)代入，即可求出反比例函數的解析式；

(2)可求得點B的坐標，再將28兩點代入y=krx+b,從而得出/q和b,再令y=0,求得直線和x軸

的交點坐標，將三角形4BC的面積化為兩個三角形的面積之差；

(3)反比例