11.2.2三角形的外角

【教學目標】

知識與能力

1.理解三角形的外角的概念.

2.探索并證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，

能運用三角形外角的性質解決簡單問題.

過程與方法

在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步

養成數學推理的習慣.

情感態度與價值觀

體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心.

【重點難點】

重點：1.理解三角形的外角的概念.

2.掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

難點：掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

【教學過程】

一、創設情境，導入新課

教師出示問題：在一次飛機模型的設計大賽上，李東與王師傅在做最后的

準備工作，其中需要一個零件的形狀如圖所示,按規定NA應等于90°，/

B,NC應分別等于32°和21°,李東量得3BDC=148°,話音剛落，王師傅就

脫口而出：這零件不合格.

c

A'----J-----'-B

教師:聰明的同學，你知道王師傅的判斷依據是什么嗎？通過這節課的

學習，我們就可解決上面問題.

二、探究歸納

活動一：探索三角形外角的特征

【問題】

1.三角形內角和為.在4ABC中，若NA=35°,NABC=80°,則N

C=.

2.如圖，在上題圖中，若將邊CB延長至D,則可以得到一個新卜

角,這個角還是三角形的內角嗎？/\

概念:三角形內角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角，叫做CB

三角形的外角.

教師要求學生按照對外角概念的理解在紙上畫出三角形的外角，并進行點

評.

鞏固練習：（1）Z1是哪個三角形的外角？（N1是AABD的外角.）

（2）Z2是哪個三角形的外角？（N2是4PDC的外角）

A

B■C

點撥:三角形的外角的三個特征：（1）頂點在三角形的一個頂點上.（2）一條

邊是三角形的一條邊.（3）另一條邊是三角形的某條邊的延長線.三角形每

個頂點處有兩個外角，但這兩個是對頂角.

根據不同的結果,提出：一個三角形有多少個外角？每個外角與內角有什么

關系？

活動二:探索與證明三角形的外角的性質：

【問題】三角形的外角與內角有什么關系？

首先,從相等關系出發,觀察我們最熟悉的這個三角板：

發現：（l）NACD+NACB=180°（相鄰），

點撥:位置關系：外角與它相鄰的內角互為鄰補角.

數量關系:三角形的一個外角與它相鄰內角的和是180°

⑵三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內角之間有何關系？

NACD=NA+NB（不相鄰）.

即:三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

活動三:證明三角形外角的性質

【問題】思考：如何說明NACD=NA+NB?你能寫出證明過程嗎?

解:方法1:如圖，因為NACD+NACB=180°（鄰補角的定義）,

所以NACD=180°-ZACB,

又因為NA+NB+NACB=180°（三角形內角和定理），所以NA+NB=180°

-ZACB,所以NACD=NA+NB（等量代換）.

方法2:如圖，過點C作CE〃AB.因為CE〃AB（已俏，

A

BCD

所以NECD=NB（兩直線平行，同位角相等），

NACE=NA（兩直線平行，內錯角相等）.

所以ZACD=ZACE+NECD=ZA+ZB（等量代換）.

其他方法：

總結：三角形外角的性質：1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內

角的和.這是三角形內角和定理的推論.

2.推論是由定理直接推出的結論，和定理一樣，推論可以作為進一步推理

的依據.

【拓展】（1）三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角.

A

BCD

⑵符號表示：NACD>NA,ZACD>ZB

活動四：探索三角形的外角和

【問題】

1.定義（規定）：如圖所示,在每一個頂點上取一個外角，如Nl,Z2,N3,它

們的和叫做三角形的外角和.

2.三角形外角和定理：

如圖，Zl,Z2,Z3是三角形ABC的三個外角，它們的和是多少?

分析：Z1與NBAC,Z2與NABC,Z3與NACB有什么關系？NBAC,ZABC,Z

ACB有什么關系？

方法一:根據同頂點的外角與內角互為鄰補角和三角形內角和定理證明；

方法二：根據一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和及三角形內角和定

理證明.

解：方法一：因為Nl+NBAC=180°,N2+NABC=180°,Z3+ZACB=180°,

所以Nl+NBAC+N2+NABC+N3+NACB=540°.

又NBAC+NABC+NACB=180°,

所以Nl+N2+N3+180°=540°.

所以Nl+N2+N3=360°.

方法二：因為N1=NABC+NACB,Z2=ZBAC+ZACB,Z3=ZABC+ZBAC,

所以N1+N2+N3=NABC+ZACB+ZBAC+ZACB+ZABC+ZBAC=2(ZABC+Z

ACB+

ZBAC)=2X180°=360°.

學生思考別的解法,教師訂正：

方法三:通過添加平行線,根據：“兩直線平行，同位角相等”證得結論.

過A作AD〃BC,

所以/3=N4,Z2=ZBAD,

所以N2+N3=N4+NBAD,

所以N1+N2+N3=N1+N4+NBAD=36O°.

你能用語言敘述本例的結論嗎?

總結：三角形外角和性質：三角形外角的和等于360°.

注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個頂點處取一個外角，是外

角數目一半的和?同一頂點上的內、外角互為鄰補角是內、外角關系轉換

的最基礎的依據.

活動五:例題講解

【例1］如圖，D是NABC的BC邊上一點，ZB=ZBAD,ZADC=80°,Z

BAC=70°.AD平分NBAC.

求：（1）ZB的度數.（2）ZC的度數.

分析：（1）先由三角形外角的性質得出NADC=NB+NBAD,再由NADC=80°,

ZB=ZBAD即可得出NB的度數.

⑵直接根據三角形的內角和定理得出ZC的度數.

解：（1）因為NADC是AABD的一個外角，

所以NADC=NB+NBAD,

又因為NADC=80°,ZB=ZBAD,

所以NBjNADC』X80°=40°.

22

⑵在aABC中，因為NBAC+NB+NC=180°,

所以NC=180°-ZB-ZBAC=180°-40°-70°=70°.

［例2］已知:如圖，在AABC中,AD平分外角NEAC,ZB=ZC.

求證：AD〃BC.

E,

BL二------------

分析：由角平分線定義可得NC』NEAC,再由三角形外角性質可得NDAC=N

2

C,然后利用平行線的判定定理即可證明題目結論.

證明：因為NEAC=NB+NC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角

的和），NB=ZC（已知），所以NC=%NEAC（等式性質）.

2

因為AD平分NEAC（已知）.

所以NDACjNEAC（角平分線的定義）.

2

所以NDAC=NC（等量代換）.所以AD〃BC（內錯角相等,兩直線平行）.

［例3］如圖,一個直角三角形紙片，剪去直角后,得到一個四邊形,則N1+

Z2=.

A

BC

解：由三角形外角性質定理可知，Nl=90°+ZAED,Z2=90°+NADE,所以

Z1+

Z2=90°+ZAED+900+ZADE.

因為90°+ZAED+ZADE=180°,

所以Nl+N2=180°+90°=270°.

答案：270°

【例4】已知：國旗上的正五角星形如圖所示.

求：NA+NB+NC+ND+NE的度數.

A

BE

CD

分析:設法利用外角把這五個角“湊”到一個三角形中，運用三角形內角和

定理來求解.

解：因為N1是ABDE的一個外角（外角的定義），

所以N1=NB+ND（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）.

又因為N2是AEHC的一個外角（外角的定義），

所以N2=NC+NE（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）.

又因為NA+N1+N2=18O°（三角形內角和定理）.

所以NA+NB+NC+ND+NE=180°（等式性質）.

總結:運用三角形內角和定理及外角性質可得五角星五個角的和是180°.

三、交流反思

1.通過這節課的學習，掌握探索的步驟:觀察一一歸納一一猜想一一證明.

2.通過本節課探索得到三角形的外角的性質，能運用三角形外角的性質解

決簡單問題.

四、檢測反饋

1.如圖,CE是AABC的外角NACD的平分線，若NB=35°,NACE=60°,則N

A=

（）

A.35°B.95°C.85°D.75°

2.如圖,AB〃CD,NB=68°，/E=20°,則ND的度數為（）

A

A.28°B.38°

C.48°D.88°

3.將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的直角邊和含45°角

的三角板的一條直角邊在同一條直線上,則N1的度數為（）

A.75°B.65°C.45°D.30°

4.如圖，已知NCAE是4ABC的外角，AD〃BC,且AD是NEAC的平分線.若N

B=71°,則NBAC=.

5.右圖是某工廠生產的一種零件，如果三個銳角的和為135。，則

說明該零件合格,工人師傅卻只測量NADC的度數就能判斷零件是

否合格,你能解釋其中的道理嗎？

6.如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度數.

D

E

7.如圖為蛻化的五角星，它們的五個角之和與五角星五個角的和仍然相等

嗎？為什么？

8.如圖,AC,BD相交于點0,BP,CP分別平分NABD,ZACD,且交于點P.

⑴若NA=70°,ND=60°,求NP的度數.

⑵試探索NP與NA,ND間的數量關系.

五、布置作業

教科書第17頁第6,11題

六、板書設計

11.2.2三角形的外角

一、定義:三角形內角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角，叫做三角形

的外角.

二、性質

1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和