專題01活用幾何基本圖形，解題事半功倍幾何題目圖形千變萬化，但有一些經典圖形經常在這些題目里直接或間接到的出現.因此，靈活掌握和運用這些圖形是學好幾何的必備技能.一、基本圖形1.“8字”形結論：∠A+∠B=∠C+∠D；2.雙垂直結論：∠CAD=∠CBE；結論：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；結論：∠CAD=∠CBE.3.與角平分線有關的三個重要結論（1）雙內角平分線條件：∠1=∠2，∠3=∠4，結論：∠BOC=90°+∠A；證明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，即：∠A+2∠2+2∠4=180°，∠2+∠4=90°－∠A，∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°+∠A；（2）一內角平分線，一外角平分線條件：∠1=∠2，∠3=∠4，結論：∠O=∠A；證明：∠4=∠2+∠O，2∠4=2∠2+∠A，可得：∠O=∠A；（3）雙外角平分線條件：∠1=∠2，∠3=∠4，結論：∠BOC=90°－∠A；證明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，即：∠A+180°－2∠2+180°－2∠4=180°，∠2+∠4=90°+∠A，∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°－∠A；4.四邊形外角∠1與∠2是四邊形ABCD的外角，結論：∠1+∠2=∠A+∠B；5.飛鏢模型∠BOC=∠A+∠B+∠C6.與面積相關如上圖所示，D、E、F分別是△ABC各邊的中點結論：圖中，S△AOF=S△AOE=S△BOF=S△COE=S△BOD=S△COD二、典例解析【例1-1】（2020·安徽淮南月考）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠A=().A．60° B．80° C．70° D．50°【答案】A【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∠ABP=20°，∠ACP=50°，

∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，

∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°故答案為A.【例1-2】（2020·平原縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P＝()A．90°－α B．90°＋α C．α D．360°－α【答案】C【解析】解：由四邊形的內角和定理知：∠ABC+∠BCD=360°－（∠A＋∠D）=360°－α，由角平分線的定義可得：∠PBC+∠PCB=，∴∠P=，故答案為C．【變式1-1】（2020·陜西西安·高新一中月考）已知，如圖，∠XOY=90°，點A、B分別在射線OX、OY上移動，BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，試問∠ACB的大小是否發生變化？如果保持不變，請給出證明；如果隨點A、B移動發生變化，請求出變化范圍．【答案】∠ACB的大小始終保持45°．【解析】解：作∠ABO的平分線交AC于點D，則∠BDA＝180°-(∠DAB+∠DBA)＝180°-(∠OAB+∠OBA)＝135°，因為BD，BE分別是∠OBA和∠YBA的平分線，所以BD⊥CB，所以∠ACB＝∠BDA-∠DBC＝135°-90°＝45°．即∠ACB的大小始終為45°．【變式1-2】（2020·武城縣月考）如圖①，△ABC中，BD平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點D．（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度數；（2）若把∠A截去，得到四邊形MNCB，如圖②，猜想∠D、∠M、∠N的關系，并說明理由．【答案】（1）∠D=30°；（2）∠D=（∠M+∠N﹣180°）；【解析】解：（1）∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，∴∠A=2(∠DCE?∠DBC)，∠D=∠DCE?∠DBC，∴∠A=2∠D，∵∠ABC=75°，∠ACB=45°∴∠A=60°∠D=30°(2)理由：延長BM、CN交于點A，則∠A=∠BMN+∠CNM－180°∴∠D=∠A=（∠M+∠N-180°）.【例2-1】（2020·廣東模考）如圖所示，∠的度數是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A.【解析】解：如圖：∠1=30°+20°=40+∠，則∠=10°，故答案為A.【例2-2】（2020·霍林郭勒市月考）如圖1所示，稱“對頂三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D利用這個結論，完成下列填空.(1)如圖(2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(2)如圖（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(3)如圖（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝；(4)如圖（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝．【答案】（1）180°，（2）180°，（3）360°，（4）540°【解析】解：如圖：（1）∵∠1，∠2的和與∠D，∠E的和相等，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°；故答案為：180°；（2）∵∠1，∠2的和與∠D，∠E的和相等，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°；故答案為：180°；（3）∵∠1，∠2的和與∠7，∠8的和相等，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；故答案為：360°；（4）∵∠6，∠7的和與∠8，∠9的和相等，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=540°．故答案為：540°【變式1-1】（1）如圖1我們稱之為“8字形”，請直接寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數量關系：；（2）如圖2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝度；（3）如圖3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之間的數量關系，并證明．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）540°；（3）2∠P＝∠D+∠B．【解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖，∵∠6，∠7的和與∠8，∠9的和相等，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B．【變式1-2】（2020·廣東廣州月考）如圖，已知BC與DE交于點M，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數為_______．【答案】360°【解析】解：連接BE．∵△CDM和△BEM中，∠DMC=∠BME，∴∠C+∠D=∠MBE+∠BEM，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠B+∠MBE+∠BEM+∠E+∠F=∠A+∠F+∠ABE+∠BEF=360°．故答案為：360°．【例3】（2020·安徽淮南月考）某零件如圖所示，圖紙要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，當檢驗員量得∠BDC=145°，就斷定這個零件不合格，你能說出其中的道理嗎？【答案】這個零件不合格．理由見解析.【解析】解：如圖，連接AD并延長，∴∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，∵∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，∴∠BDC=∠1+∠2，=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，=32°+90°+21°，=143°，∵143°≠145°，∴這個零件不合格．【變式3-1】（2020·山西鹽湖期末）探究與發現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品--圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，（1）觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，∠A=40°，則∠ABX+∠ACX等于多少度；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數；

③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度數．【答案】見解析．【解析】解：（1）如圖，連接AD并延長至點F，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，∴（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴，，∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE，=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE=85°；③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C=70°，設∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°∴（133-x）+x=70，∴13.3-x+x=70，解得x=63，即∠A的度數為63°.【變式3-2】（2020·山東岱岳期末）如圖1六邊形的內角和為度，如圖2六邊形的內角和為度，則________．【答案】0【解析】解：如圖1所示，∴m=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×2+360°=720°如圖2所示，∴n=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×4=720°∴m-n=0故答案為0.【例4】（2020·唐山市月考）如圖所示，在△ABC中，已知點D，E，F分別是BC，AD，CE的中點，S△ABC=4平方厘米，則S△BEF的值為（ ）A．2平方厘米 B．1平方厘米C．平方厘米 D．平方厘米【答案】B.【解析】解：∵D是BC的中點，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×4=2cm2，∵E是AD的中點，∴S△BDE=S△CDE=×2=1cm2，∴S△BEF=（S△BDE+S△CDE）=×（1+1）=1cm2．故答案為B．【變式4-1】（2020·山東歷下期中）如圖，△ABC的面積為．第一次操作：分別延長，，至點，，，使，，，順次連接，，，得到△．第二次操作：分別延長，，至點，，，使，，，順次連接，，，得到△，…按此規律，要使得到的三角形的面積超過2020，最少經過多少次操作（）A． B． C． D．【答案】A.【解析】解：連接A1C，如圖，∵AB＝A1B，∴△ABC與△A1BC的面積相等，∵△ABC面積為1，∴＝1．∵BB1＝2BC，∴＝2，同理可得，＝2，＝2，∴＝2+2+2+1＝7；△A2B2C2的面積＝7×△A1B1C1的面積＝49，第三次操作后的面積為7×49＝343，第四次操作后的面積為7×343＝2401．故按此規律，要使得到的三角形的面積超過2020，最少經過4次操作．故答案為：A．【變式4-2】（2020·臺州市月考）在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，當AP=AD時，與和之間的關系式為：________________；一般地，當AP=AD（n表示正整數）時，與和之間關系式為：________________．【答案】；【解析】解：∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴，∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=S△CDA，∴；當AP=AD（n表示正整數）時，∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴，∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴，∴；故答案為：；．【例5】（2020·慶云縣月考）探究與發現：（探究一）我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數量關系呢？已知：如圖①，∠FDC與∠ECD分別為ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數量關系，并證明你探究的數量關系．（探究二）三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？已知：如圖②，在ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠A與∠P的數量關系，并證明你探究的數量關系．（探究三）若將ADC改成任意四邊形ABCD呢？已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論直接寫出∠A+∠B與∠P的數量關系．【答案】見解析．【解析】解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；探究三：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）＝（∠A+∠B）．故答案為：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；探究二：∠P＝90°+∠A；探究三：∠P＝（∠A+∠B）．【變式5-1】（2020·河南宛城月考）問題情景：如圖1，中，有一塊直角三角板放置在上（點在內），使三角板的兩條直角邊恰好分別經過點和點．試問與是否存在某種確定的數量關系？（1）特殊探究：若，則________度，_________度，_________度；（2）類比探索：請探究與的關系；（3）類比延伸：如圖2，改變直角三角板的位置；使點在外，三角板的兩條直角邊仍然分別經過點和點，（2）中的結論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出你的結論．【答案】（1）130，90，40；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，理由見解析；（3）不成立，∠ACP-∠ABP=90°-∠A【解析】解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∵∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°．故答案為：130，90，40；（2）結論：∠ABP+∠ACP=90°-∠A．證明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．（3）不成立；

存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A．理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∵∠MPN=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴（∠ABC+∠ACB）-（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A-90°，即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP-∠ABC-∠PCB=90°-∠A，∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A．【變式5-2】（2020·吉林寬城期末）將三角形紙片沿折疊，使點落在點處．（感知）如圖①，若點落在四邊形的邊上，則與之間的數量關系是．（探究）如圖②，若點落在四邊形的內部，則與之間存在怎樣的數量關系？請說明理由．（拓展）如圖③，若點落在四邊形的外部，，，則的大小為度．【答案】感知：∠1=2∠A；探究：2∠A=∠1+∠2，理由見解析；拓展：28【解析】解：【感知】根據外角定理，易得【探究】2∠A=∠1+∠2．理由：連結AA’，∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAE+∠DA’E，由翻折，得∠DAE=∠DA’E∴2∠DAE=∠1+∠2∴2∠A=∠1+∠2【拓展】∵∠1=80°∴∠ADE=∠EDA’=50°設∠DEB=x，由∠2=24°，則∠AED=x+24°∴x+x+24=180°∴x=78°∴∠A=78°-50°=28°故為28度．三、習題專練1.（2020·安徽淮南月考）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝_____．【答案】360°【解析】解：如圖所示，∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三個不同的外角，∴∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案為360°．2．（2020·惠州市光正實驗學校月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠BCD的平分線的交點E恰好在AD邊上，則∠BEC=（）A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D【答案】D【解析】解：∵四邊形的內角和=360°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC與∠BCD的平分線的交點E恰好在AD邊上，∴∴∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）故答案為D．3.（2020·山東濰坊期末）如圖，點D是△ABC的邊BC的延長線上的一點，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，依此類推…，已知∠A＝α，則∠A2020的度數為_____．（用含α的代數式表示）．【答案】α【解析】解：在△ABC中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α，∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α，同理可得∠A2＝∠A1＝α，∠A3＝∠A2＝α，…以此類推，∠A2020＝α，故答案為：α．4．（2020·信陽市月考）如圖，BE、CF是△ABC的角平分線，∠BAC=80°，BE、CF相交于D，則∠BDC的度數是_______．【答案】130°.【解析】解：∠BDC=90°+∠BAC=130°.5．（2020·惠州市月考）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________________度．【答案】180.【解析】解：∵∠2是△OBC的外角，∴∠B+∠C=∠2，∵∠1是△AEF的外角，∴∠A+∠E=∠1，∵∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案是：180．6.（2020·商城縣月考）如圖，△ABC的兩個內角平分線相交于點P，過點P向AB，AC兩邊作垂直線l1、l2，若∠1=40°，則∠BPC=_________．【答案】110°.【解析】解：如下圖所示：∠MPN=180°-∠1=140°，四邊形AMPN中，∠A=360°-90°-90°-140°=40°，∵PC、PB分別是∠ACB和∠ABC的角平分線，∴∠2+∠3=∠ACB+∠ABC=(∠ACB+∠ABC)=(180°-∠A)=×140°=70°，∴在△PBC中，∠CPB=180°-(∠2+∠3)=110°，故答案為：110°．7.（2020·臨沭縣月考）如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．【答案】540°.【解析】解：由三角形的外角性質可知∠6+∠7=∠8，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8，又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°，∠4+∠5+∠8+∠9=360°，∠10+∠9=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.8.（2020·霍林郭勒市月考）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，若∠A1=α，則∠A2018為_____．【答案】【解析】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A1=α，同理理可得∠A2=∠A1=α，則∠A2018=．故答案為：．9．（2020·四川師范大學附屬中學期中）如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，點O為△ABC內一點，且∠BOC＝140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，OnB平分∠ABOn﹣1，OnC平分∠ACOn﹣1，…，以此類推，則∠BO1C＝_____°，∠BO2017C＝_____°．【答案】100；[60+（）2017×80]．【解析】解：如圖，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°．∴∠ABO+∠ACO＝180°﹣60°﹣40°＝80°∵點O1是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點，∴∠BO1C＝180°﹣（×80°+40°）＝100°．∴∠BO2C＝180°﹣[120°﹣（∠ABO2+∠ACO2）＝80°．依次類推，∠BO2017C＝180°﹣[120°﹣（）2017×80°]＝60°+（）2017×80°故答案為：100，[60+（）2017×80]．10．（2020·重慶月考）如圖，分別為四邊形的邊的中點，并且圖中四個小三角形的面積之和為，即，則圖中陰影部分的面積為____．【答案】1【解析】解：如圖，連接AC、BD，∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，∴S△BCE＝S△ACE，S△ADG＝S△ACG，S△ABH＝S△DBH，S△CDF＝S△BDF，∴S△BCE+S△ADG＝S△DBH+S△BDF＝S四邊形ABCD，∴S1+S四邊形BMNF+S4+S2+S四邊形HQPD+S3＝S四邊形BMNF+S陰影+S四邊形HQPD，∴S1+S4+S2+S3＝S陰影，∵S1+S2+S3+S4＝1，∴S陰影＝1．故答案為：1．11．（2020·江蘇邗江期末）（1）如圖1，AB∥CD，點E是在AB、CD之間，且在BD的左側平面區域內一點，連結BE、DE．求證：∠E=∠ABE+∠CDE．（2）如圖2，在（1）的條件下，作出∠EBD和∠EDB的平分線，兩線交于點F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之間的關系，并證明你的猜想．（3）如圖3，在（1）的條件下，作出∠EBD的平分線和△EDB的外角平分線，兩線交于點G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之間的關系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）2∠G=∠ABE+∠CDE【解析】解：（1）如圖，過點E作EH∥AB，∴∠BEH=∠ABE，∵EH∥AB，CD∥AB，∴EH∥CD，∴∠DEH=∠CDE，∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE；（2）2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°，理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°，∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-（∠ABE+∠CDE），∵BF，DF分別是∠DBE，∠BDE的平分線，∴∠EBD=2∠DBF，∠EDB=2∠BDF，∴2∠DBF+2∠BDF=180°-（∠ABE+∠CDE），∴∠DBF+∠BDF=90°-（∠ABE+∠CDE），在△BDF中，∠F=180°-（∠DBF+∠BDF）=180°-[90°-（∠ABE+∠CDE）]=90°+（∠ABE+∠CDE），即：2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°；（3）2∠G=∠ABE+∠CDE，理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，∵BG是∠EBD的平分線，∴∠DBE=2∠DBG，∵DG是∠EDP的平分線，∴∠EDP=2∠GDP，∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2（∠GDP-∠DBG），∴∠GDP-∠DBG=∠BED=（∠ABE+∠CDE）∴∠G=∠GDP-∠DBG=（∠ABE+∠CDE），∴2∠G=∠ABE+∠CDE．12．（2020·莆田月考）如圖，點D為△ABC的邊BC的延長線上一點．（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度數；（2）若∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點M，過點C作CP⊥BM于點P．試探究∠PCM與∠A的數量關系．【答案】見解析.【解析】解：（1）∵∠A∶∠ABC=3∶4，設∠A=3k，∠ABC=4k．∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°，∴3k+4k=140°，解得k=20°，∴∠A=3k=60°．（2）∵∠MCD是△MBC的外角，∴∠M=∠MCD－∠MBC．同理可得：∠A=∠ACD－∠ABC．∵MC，MB分別平分∠ACD，∠ABC，∴．∵CP⊥BM，∴∠PCM=90°－∠A．13.（2019·全國月考）如圖，四邊形ABCD中，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如圖①，若α＋β=150°，求∠MBC＋∠NDC的度數；（2）如圖①，若BE與DF相交于點G，∠BGD=30°，請寫出α、β所滿足的等量關系式；（3）如圖②，若α=β，判斷BE、DF的位置關系，并說明理由．【答案】（1）150°；（2）β﹣α=60°；（3）BE∥DF，理由見解析【解析】（1）解：（1）在四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，∵α+β=150°，∴∠MBC+∠NDC=150°；（2）β﹣α=60°理由：連接BD，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=∠MBC，∠CDG=∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，在BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，(α+β)+180°﹣β+30°=180°，∴β﹣α=60°；(3)平行，理由：延長BC交DF于H，由（1），∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β)，∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=(β+β)=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．14.（2020·貴州赫章期末）數學問題：如圖，在中，的等分線分別交于點根據等分線等分角的情況解決下列問題：（1）求的度數．（2）求的度數．（3）直接寫出的度數．【答案】見解析．【解析】