江西省南昌市南昌一中等三校重點中學2023-2024學年高考數學一模試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數、滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C． D．2．已知函數（，，），將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的部分圖象如圖所示，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．為雙曲線的左焦點，過點的直線與圓交于、兩點，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點為，為坐標原點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．函數的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列說法中正確的是A．函數的最小正周期是B．函數的圖象關于點成中心對稱C．函數在單調遞增D．函數的圖象向右平移后關于原點成中心對稱5．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．6．已知的垂心為，且是的中點，則（）A．14 B．12 C．10 D．87．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．是虛數單位，復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．11．設復數z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．12．函數的圖象大致為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開式的系數為__________．14．關于函數有下列四個命題：①函數在上是增函數；②函數的圖象關于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數的圖象相切的直線；④函數的導函數不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）15．過且斜率為的直線交拋物線于兩點，為的焦點若的面積等于的面積的2倍，則的值為___________.16．已知向量，，且，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）超級病菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.（i）試運用概率統計的知識，若，試求p關于k的函數關系式；（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.參考數據：，，，，18．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論零點的個數.19．（12分）已知函數，其中.（1）函數在處的切線與直線垂直，求實數的值；（2）若函數在定義域上有兩個極值點，且.①求實數的取值范圍；②求證：.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（m為參數），以坐標點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos（θ+）＝1．（1）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；（2）已知點M（2，0），若直線l與曲線C相交于P、Q兩點，求的值．21．（12分）如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點，是的中點.分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知點和橢圓.直線與橢圓交于不同的兩點，.（1）當時，求的面積；（2）設直線與橢圓的另一個交點為，當為中點時，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

畫出不等式組所表示的平面區域，結合圖形確定目標函數的最優解，代入即可求解，得到答案．【詳解】畫出不等式組所表示平面區域，如圖所示，由目標函數，化為直線，當直線過點A時，此時直線在y軸上的截距最大，目標函數取得最大值，又由，解得，所以目標函數的最大值為，故選A．【點睛】本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．2、B【解析】

先根據圖象求出函數的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價條件,即可根據充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設,根據圖象可知,,再由,取,∴.將函數的圖象向右平移個單位長度,得到函數的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選：B．【點睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數的解析式,三角函數的圖形變換,二倍角公式的應用,充分條件,必要條件的定義的應用,意在考查學生的數學運算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.3、D【解析】

過點作，可得出點為的中點，由可求得的值，可計算出的值，進而可得出，結合可知點為的中點，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過點作，設該雙曲線的右焦點為，連接.，.，，，為的中點，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.4、B【解析】

根據函數的圖象，求得函數，再根據正弦型函數的性質，即可求解，得到答案．【詳解】根據給定函數的圖象，可得點的橫坐標為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當時，，即函數的一個對稱中心為，即函數的圖象關于點成中心對稱．故選B．【點睛】本題主要考查了由三角函數的圖象求解函數的解析式，以及三角函數的圖象與性質，其中解答中根據函數的圖象求得三角函數的解析式，再根據三角函數的圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及運算與求解能力，屬于基礎題．5、C【解析】

試題分析：將參數a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，即可得到結論．解：不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]成立，等價于a≥-x-對于一切成立，∵y=-x-在區間上是增函數∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點：不等式的應用點評：本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題6、A【解析】

由垂心的性質，得到，可轉化，又即得解.【詳解】因為為的垂心，所以，所以，而，所以，因為是的中點，所以．故選：A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數量積的運算率，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.7、A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵．8、D【解析】

求出復數在復平面內對應的點的坐標，即可得出結論.【詳解】復數在復平面上對應的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數對應的點的位置的判斷，屬于基礎題.9、B【解析】

求導函數，求出函數的極值，利用函數恰有三個零點，即可求實數的取值范圍.【詳解】函數的導數為，令，則或，上單調遞減，上單調遞增，所以0或是函數y的極值點，函數的極值為：，函數恰有三個零點，則實數的取值范圍是：.故選B.【點睛】該題考查的是有關結合函數零點個數，來確定參數的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應用導數研究函數圖象的走向，利用數形結合思想，轉化為函數圖象間交點個數的問題，難度不大.10、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質的應用．11、D【解析】

先用復數的除法運算將復數化簡，然后用模長公式求模長.【詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.【點睛】本題考查復數的基本概念和基本運算,屬于基礎題.12、A【解析】

確定函數在定義域內的單調性，計算時的函數值可排除三個選項．【詳解】時，函數為減函數，排除B，時，函數也是減函數，排除D，又時，，排除C，只有A可滿足．故選：A.【點睛】本題考查由函數解析式選擇函數圖象，可通過解析式研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等等排除，可通過特殊的函數值，函數值的正負，函數值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據定積分求出的值，再用二項展開式公式即可求解.【詳解】因為所以的通項公式為當時，當時，故展開式中的系數為故答案為：【點睛】此題考查定積分公式，二項展開式公式等知識點，屬于簡單題目.14、①②③【解析】

由單調性、對稱性概念、導數的幾何意義、導數與極值的關系進行判斷．【詳解】函數的定義域是，由于，在上遞增，∴函數在上是遞增，①正確；，∴函數的圖象關于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設，則，顯然是即的極小值點，④錯誤．故答案為：①②③.【點睛】本題考查函數的單調性、對稱性，考查導數的幾何意義、導數與極值，解題時按照相關概念判斷即可，屬于中檔題．15、2【解析】

聯立直線與拋物線的方程，根據一元二次方程的根與系數的關系以及面積關系求解即可.【詳解】如圖，設，由，則，由可得，由，則，所以，得.故答案為：2【點睛】此題考查了拋物線的性質，屬于中檔題.16、【解析】

根據垂直向量的坐標表示可得出關于實數的等式，即可求得實數的值.【詳解】，且，則，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數，涉及垂直向量的坐標表示，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值為4.【解析】

（1）設恰好經過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,利用古典概型、排列組合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,,則可求得,,即可得到,進而由可得到p關于k的函數關系式；（ii）由可得,推導出,設（）,利用導函數判斷的單調性,由單調性可求出的最大值【詳解】（1）設恰好經過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A,則,∴恰好經過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為（2）（i）由已知得,的所有可能取值為1,,,,,若,則,則,,,∴p關于k的函數關系式為（,且）（ii）由題意知,得,,,,設（）,則,令,則,∴當時,,即在上單調增減,又,,,又,,,∴k的最大值為4【點睛】本題考查古典概型的概率公式的應用,考查隨機變量及其分布,考查利用導函數判斷函數的單調性18、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)求導后分析導函數的正負再判斷單調性即可.(2),有零點等價于方程實數根,再換元將原方程轉化為,再求導分析的圖像數形結合求解即可.【詳解】（1）的定義域為,,當時,,所以在單調遞減；當時,,所以在單調遞增,所以的減區間為,增區間為.（2）,有零點等價于方程實數根,令則原方程轉化為,令,.令,,∴,,,,,當時,,當時,.如圖可知①當時,有唯一零點,即有唯一零點；②當時,有兩個零點,即有兩個零點；③當時,有唯一零點,即有唯一零點；④時,此時無零點,即此時無零點.【點睛】本題主要考查了利用導數分析函數的單調性的方法,同時也考查了利用導數分析函數零點的問題,屬于中檔題.19、（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）由函數在處的切線與直線垂直，即可得，對其求導并表示，代入上述方程即可解得答案；（2）①已知要求等價于在上有兩個根，且，即在上有兩個不相等的根，由二次函數的圖象與性質構建不等式組，解得答案，最后分析此時單調性推及極值說明即可；②由①可知，是方程的兩個不等的實根，由韋達定理可表達根與系數的關系，進而用含的式子表示，令，對求導分析單調性，即可知道存在常數使在上單調遞減，在上單調遞增，進而求最值證明不等式成立.【詳解】解：（1）依題意，，，故，所以，據題意可知，，解得.所以實數的值為.（2）①因為函數在定義域上有兩個極值點，且，所以在上有兩個根，且，即在上有兩個不相等的根.所以解得.當時，若或，，，函數在和上單調遞增；若，，，函數在上單調遞減，故函數在上有兩個極值點，且.所以，實數的取值范圍是.②由①可知，是方程的兩個不等的實根，所以其中.故，令，其中.故，令，，在上單調遞增.由于，，所以存在常數，使得，即，，且當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，所以當時，，又，，所以，即，故得證.【點睛】本題考查導數的幾何意義、兩直線的位置關系、由極值點個數求參數范圍問題，還考查了利用導數證明不等式成立，屬于難題.20、（1）l：，C方程為；（2）＝【解析】

（1）直接利用轉換關系，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換．

（2）利用一元二次方程根和系數關系式的應用求出結果．【詳解】(1)曲線C的參數方程為（m為參數），兩式相加得到，進一步轉換為．直線l的極坐標方程為ρcos（θ+）＝1，則轉換為直角坐標方程為．（2）將直線的方程轉換為參數方程為（t為參數），代入得到（t1和t2為P、Q對應的參數），所以，，所以＝．【點睛】本題考查參數方程極坐標方程和直