2024屆江蘇省南通市海安高級中學(xué)高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆江蘇省南通市海安高級中學(xué)高三下學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.2.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.3.已知六棱錐各頂點都在同一個球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.4.若集合,則=()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.256.近年來,隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機的更新?lián)Q代,各種方便的相繼出世,其功能也是五花八門.某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途,隨機抽取了名大學(xué)生進行調(diào)查,各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如圖所示,現(xiàn)有如下說法:①可以估計使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);②可以估計不足的大學(xué)生使用主要玩游戲;③可以估計使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的.其中正確的個數(shù)為()A. B. C. D.7.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.8.在區(qū)間上隨機取一個實數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.9.已知是等差數(shù)列的前項和,若,設(shè),則數(shù)列的前項和取最大值時的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.201710.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.1011.在精準(zhǔn)扶貧工作中,有6名男干部、5名女干部,從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若向量與向量垂直,則______.14.“”是“”的__________條件.(填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)15.已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是_______________.16.一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示,則這個幾何體的體積是___________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,平面ABC,,.(1)求證:平面ACD;(2)設(shè),表示三棱錐B-ACE的體積,求函數(shù)的解析式及最大值.18.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點,點在橢圓上,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點.(1)求,的值:(2)過點作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點,且與橢圓相交于C,D兩點,當(dāng)時,求△的面積.19.(12分)已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,其前項和為,且為與的等差中項.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項和.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點,的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線與曲線相交于,兩點,求的值.21.(12分)已知動圓經(jīng)過點,且動圓被軸截得的弦長為,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點的橫坐標(biāo)為,,為圓與曲線的公共點,若直線的斜率,且,求的值.22.(10分)定義:若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個,有個,則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

觀察可知,這個幾何體由兩部分構(gòu)成,:一個半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個半球體,半徑為1,按公式計算可得體積。【詳解】設(shè)半圓柱體體積為,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A。【點睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力,屬于基礎(chǔ)題。2、D【解析】

根據(jù)題意,求出集合A,進而求出集合和,分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點睛】此題考查集合的交并集運算,屬于簡單題目,3、D【解析】

由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因為,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.4、C【解析】

求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項可求得首項,即可求出前n項和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項和.故的最大值為.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用,考查求前n項和的最值問題,同時還考查了余弦定理的應(yīng)用.6、C【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較,可判斷①的正誤;計算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例,可判斷②的正誤;計算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例,可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為,使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為,所以①正確;使用主要玩游戲的人數(shù)為,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為,,故超過的大學(xué)生使用主要玩游戲,所以②錯誤;使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為,因為,所以③正確.故選:C.【點睛】本題考查統(tǒng)計中相關(guān)命題真假的判斷,計算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.8、D【解析】

利用直線與圓相交求出實數(shù)的取值范圍,然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交,則,解得.因此,所求概率為.故選:D.【點睛】本題考查幾何概型概率的計算,同時也考查了利用直線與圓相交求參數(shù),考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)題意計算,,,計算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和,若,故,,,,故,當(dāng)時,,,,,當(dāng)時,,故前項和最大.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.10、C【解析】

取B1C1的中點Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)題意,分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù),由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,從6名男干部中選出2名男干部,有種取法,從5名女干部中選出1名女干部,有種取法,則有種不同的選法;故選:C.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理問題,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得,再比較的大小,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項.【詳解】依題意得,,當(dāng)時,,因為,所以在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,,即,故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對的大小比較,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0【解析】

直接根據(jù)向量垂直計算得到答案.【詳解】向量與向量垂直,則,故.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力.14、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.15、【解析】

畫出函數(shù)的圖象,再畫的圖象,求出一個交點時的的值,然后平行移動可得有兩個交點時的的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:因為方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根,所以圖象與直線有且只有兩個交點即可,當(dāng)過點時兩個函數(shù)有一個交點,即時,與函數(shù)有一個交點,由圖象可知,直線向下平移后有兩個交點,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.16、【解析】

先還原幾何體,再根據(jù)柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個棱柱,如圖,底面為邊長為的直角三角形,高為的棱柱,所以體積為【點睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2),最大值.【解析】

(1)先證明,,故平面ADC.由,即得證;(2)可證明平面ABC,結(jié)合條件表示出,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圓O的直徑,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,∴當(dāng)時,體積有最大值.【點睛】本題考查了線面垂直的證明和三棱錐的體積,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】

(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì),可求出,;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡,由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點為F(1,0),則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設(shè)直線方程為,,聯(lián)立得,易知△>0,則===因為,所以=1,解得聯(lián)立,得,△=8>0設(shè),則【點睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用,同時考查利用根與系數(shù)的關(guān)系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關(guān)系問題.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用已知條件化簡出,當(dāng)時,,當(dāng)時,再利用進行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項公式,再化簡出,可直接求出的前100項和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當(dāng)時,由①式可得;又時,有,代入①式得,整理得,∴是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項和.【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,通項公式的求法以及裂項相消法求和,考查分析解題能力和計算能力.20、(1);(2)【解析】

(1)消去參數(shù)方程中的參數(shù),求得的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,求得的直角坐標(biāo)方程.(2)求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入的直角坐標(biāo)方程,寫出韋達定理,根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)由的參數(shù)方程(為參數(shù)),消去參數(shù)可得,由曲線的極坐標(biāo)方程為,得,所以的直角坐方程為,即.(2)因為在曲線上,故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入化簡可得.設(shè),對應(yīng)的參數(shù)分別為,,則,,所以.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進行計算,屬于中檔題.21、見解析【解析】

(1)設(shè),則點到軸的距離為,因為圓被軸截得的弦長為,所以,

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