廣東省韶關市六校2024年高三下學期一模考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在直線上，則（）A． B． C． D．2．劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．3．定義在上函數滿足，且對任意的不相等的實數有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數,則方程的實數根的個數是（）A． B． C． D．5．在的展開式中，的系數為()A．-120 B．120 C．-15 D．156．已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．7．已知函數．下列命題：①函數的圖象關于原點對稱；②函數是周期函數；③當時，函數取最大值；④函數的圖象與函數的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④8．若復數z滿足,則復數z在復平面內對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．設向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．10．已知雙曲線的左，右焦點分別為，O為坐標原點，P為雙曲線在第一象限上的點，直線PO，分別交雙曲線C的左，右支于另一點，且，則雙曲線的離心率為()A． B．3 C．2 D．11．將函數向左平移個單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關于點對稱，在區間上為增函數B．函數最大值為2，圖象關于點對稱C．圖象關于直線對稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個根12．已知，函數，若函數恰有三個零點，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是一個算法的流程圖，則輸出的x的值為_______．14．“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數”．某校在周末學生業余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節，連排六節，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數為________．15．拋物線上到其焦點的距離為的點的個數為________．16．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點T為圓心作圓，設圓T與橢圓C交于點M與點N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：為定值.18．（12分）設橢圓的左右焦點分別為，離心率是，動點在橢圓上運動，當軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）延長分別交橢圓于點（不重合）.設，求的最小值.19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為.（為參數）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程及的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到距離的取值范圍.20．（12分）已知函數．當時，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．21．（12分）已知函數.（1）若函數，試討論的單調性；（2）若，，求的取值范圍.22．（10分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論零點的個數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用誘導公式以及二倍角公式，將化簡為關于的形式，結合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值.【詳解】因為，且，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結果；（2）將變形為，利用的值求出結果.2、A【解析】

設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.3、B【解析】

結合題意可知是偶函數,且在單調遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結合導函數與原函數的單調性關系,構造新函數,計算最值,即可.【詳解】結合題意可知為偶函數,且在單調遞減,故可以轉換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數的基本性質和導函數與原函數單調性關系,計算范圍,可以轉化為函數,結合導函數,計算最值,即可得出答案.4、D【解析】

畫出函數,將方程看作交點個數，運用圖象判斷根的個數．【詳解】畫出函數令有兩解，則分別有3個，2個解，故方程的實數根的個數是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考查了函數的圖象的運用，分類思想的運用，數學結合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題．5、C【解析】

寫出展開式的通項公式，令，即，則可求系數．【詳解】的展開式的通項公式為，令，即時，系數為．故選C【點睛】本題考查二項式展開的通項公式，屬基礎題．6、D【解析】

根據點差法得，再根據焦點坐標得，解方程組得，，即得結果.【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，則的中點為，由且，得，，即，聯立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.7、A【解析】

根據奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數特點知②錯誤；函數定義域為，最值點即為極值點，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知④正確.【詳解】由題意得：定義域為，，為奇函數，圖象關于原點對稱，①正確；為周期函數，不是周期函數，不是周期函數，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當時，，，，此時與無交點；當時，，，，此時與無交點；綜上所述：與無交點，④正確.故選：.【點睛】本題考查函數與導數知識的綜合應用，涉及到函數奇偶性和周期性的判斷、函數最值的判斷、兩函數交點個數問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.8、A【解析】

化簡復數，求得，得到復數在復平面對應點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復數z滿足，可得，所以復數在復平面內對應點的坐標為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復數的運算，以及復數的幾何表示方法，其中解答中熟記復數的運算法則，結合復數的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.9、B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當時取等號，所以本題答案為B.【點睛】本題考查向量的數量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.10、D【解析】

本道題結合雙曲線的性質以及余弦定理，建立關于a與c的等式，計算離心率，即可．【詳解】結合題意，繪圖，結合雙曲線性質可以得到PO=MO，而，結合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結合，故對三角形運用余弦定理，得到，而結合，可得，，代入上式子中，得到，結合離心率滿足，即可得出，故選D．【點睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質，難度偏難．11、C【解析】

由輔助角公式化簡三角函數式，結合三角函數圖象平移變換即可求得的解析式，結合正弦函數的圖象與性質即可判斷各選項.【詳解】函數，則，將向左平移個單位，可得，由正弦函數的性質可知，的對稱中心滿足，解得，所以A、B選項中的對稱中心錯誤；對于C，的對稱軸滿足，解得，所以圖象關于直線對稱；當時，，由正弦函數性質可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對于D，最小正周期為，當，，由正弦函數的圖象與性質可知，時僅有一個解為，所以D錯誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點睛】本題考查了三角函數式的化簡，三角函數圖象平移變換，正弦函數圖象與性質的綜合應用，屬于中檔題.12、C【解析】

當時，最多一個零點；當時，，利用導數研究函數的單調性，根據單調性畫函數草圖，根據草圖可得．【詳解】當時，，得；最多一個零點；當時，，，當，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當，即時，令得，，函數遞增，令得，，函數遞減；函數最多有2個零點；根據題意函數恰有3個零點函數在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．故選．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

利用流程圖，逐次進行運算，直到退出循環，得到輸出值.【詳解】第一次：x＝4，y＝11，第二次：x＝5，y＝32，第三次：x＝1，y＝14，此時14＞10×1＋3，輸出x，故輸出x的值為1．故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別，“還原現場”是求解這類問題的良方，側重考查邏輯推理的核心素養.14、【解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列，同時它們內部也全排列．【詳解】第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節，“射”和“御”兩節講座必須相鄰的不同安排種數為．故答案為：1．【點睛】本題考查排列的應用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法．15、【解析】

設拋物線上任意一點的坐標為，根據拋物線的定義求得，并求出對應的，即可得出結果.【詳解】設拋物線上任意一點的坐標為，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時.因此，拋物線上到其焦點的距離為的點的個數為.故答案為：.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】

計算出角的取值范圍，結合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數圖象和性質，考查了轉化思想，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）依題意，得，，由此能求出橢圓C的方程.（2）點與點關于軸對稱，設，，設，由于點在橢圓C上，故，由，知，由此能求出圓T的方程.（3）設，則直線MP的方程為：，令，得，同理：，由此能證明為定值.【詳解】（1）依題意，得，，，故橢圓C的方程為.（2）點與點關于軸對稱，設，，設，由于點在橢圓C上，所以，由，則，.由于，故當時，的最小值為，所以，故，又點在圓T上，代入圓的方程得到.故圓T的方程為：（3）設，則直線MP的方程為：，令，得，同理：.故又點與點在橢圓上，故，代入上式得：，所以【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關系中定值問題，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據題意直接計算得到，，得到橢圓方程.（2）不妨設，且，設，代入數據化簡得到，故，得到答案.【詳解】（1），所以，，化簡得，所以，，所以方程為；（2）由題意得，不在軸上，不妨設，且，設，所以由，得，所以，由，得，代入，化簡得：，由于，所以，同理可得，所以，所以當時，最小為【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的向量運算和最值，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1），.（2）【解析】

（1）根據直線的參數方程為（為參數），消去參數，即可求得的的普通方程，曲線的極坐標方程為，利用極坐標化直角坐標的公式:，即可求得答案；（2）的標準方程為，圓心為，半徑為，根據點到直線距離公式，即可求得答案.【詳解】（1）直線的參數方程為（為參數），消去參數的普通方程為.曲線的極坐標方程為，利用極坐標化直角坐標的公式:的直角坐標方程為.（2）的標準方程為，圓心為，半徑為圓心到的距離為，點到的距離的取值范圍是.【點睛】本題解題關鍵是掌握極坐標化直角坐標的公式和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）當時，，①當時，，令，即，解得，②當時，，顯然成立，所以，③當時，，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為．（2）因為，因為，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范圍為．【點睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想．21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）