PAGE1.2.2基本初等函數的導數公式及導數的運算法則（二）[A基礎達標]1．函數y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D.y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，所以y′|x＝1＝4.2．函數y＝cos(－x)的導數是()A．cosx B．－cosxC．－sinx D．sinx解析：選C.法一：[cos(－x)]′＝－sin(－x)·(－x)′＝sin(－x)＝－sinx.法二：y＝cos(－x)＝cosx，所以[cos(－x)]′＝(cosx)′＝－sinx.3．(2018·鄭州高二檢測)若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為()A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1，0)解析：選C.因為f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2（x－2）（x＋1）,x)，又x>0，所以f′(x)>0即x－2>0，解得x>2.4．對于函數f(x)＝eq\f(ex,x2)＋lnx－eq\f(2k,x)，若f′(1)＝1，則k等于()A.eq\f(e,2) B.eq\f(e,3)C．－eq\f(e,2) D．－eq\f(e,3)解析：選A.因為f′(x)＝eq\f(ex（x－2）,x3)＋eq\f(1,x)＋eq\f(2k,x2)，所以f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝eq\f(e,2)，故選A.5．已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，則f′(1)＝()A．－3 B．2eC.eq\f(2,1－2e) D.eq\f(3,1－2e)解析：選D.因為f′(1)為常數，所以f′(x)＝2exf′(1)＋eq\f(3,x)，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝eq\f(3,1－2e).6．若f(x)＝log3(2x－1)，則f′(2)＝________．解析：因為f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝eq\f(1,（2x－1）ln3)(2x－1)′＝eq\f(2,（2x－1）ln3)，所以f′(2)＝eq\f(2,3ln3).答案：eq\f(2,3ln3)7．已知函數f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，則f′(－1)＝________.解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因為f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.則f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因為f(x)是偶函數，所以f′(x)是奇函數，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：－28．已知f(x)＝eq\f(ex,x)，若f′(x0)＋f(x0)＝0，則x0的值為________．解析：因為f′(x)＝eq\f(（ex）′x－exx′,x2)＝eq\f(ex（x－1）,x2)(x≠0)．所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得eq\f(ex0（x0－1）,xeq\o\al(2,0))＋eq\f(ex0,x0)＝0.解得x0＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．求下列函數的導數：(1)y＝cos(1＋x2)；(2)y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(3)y＝ln(2x2＋x)；(4)y＝x·eq\r(2x－1).解：(1)設u＝1＋x2，y＝cosu，所以y′x＝y′u·u′x＝(cosu)′·(1＋x2)′＝－sinu·2x＝－2xsin(1＋x2)．(2)設y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋eq\f(π,3)，則y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sinv·cosv＝2sin2v＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))).(3)設u＝2x2＋x，則y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(2x2＋x)′＝eq\f(1,u)·(4x＋1)＝eq\f(4x＋1,2x2＋x).(4)y′＝x′·eq\r(2x－1)＋x·(eq\r(2x－1))′.先求t＝eq\r(2x－1)的導數．設u＝2x－1，則t＝ueq\s\up6(\f(1,2))，t′x＝t′u·u′x＝eq\f(1,2)·u－eq\s\up6(\f(1,2))·(2x－1)′＝eq\f(1,2)×eq\f(1,\r(2x－1))×2＝eq\f(1,\r(2x－1)).所以y′＝eq\r(2x－1)＋eq\f(x,\r(2x－1))＝eq\f(3x－1,\r(2x－1)).10．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c通過點P(1，1)，且在點Q(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求實數a、b、c的值．解：因為曲線y＝ax2＋bx＋c過點P(1，1)，所以a＋b＋c＝1.①因為y′＝2ax＋b，所以4a＋b＝1.②又因為曲線過點Q(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.③聯立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.[B能力提升]11．等比數列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝()A．26 B．29C．212 D．215解析：選C.因為f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因為數列{an}為等比數列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212.12．給出定義：若函數f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數，記f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數．以下四個函數在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函數的是()A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x解析：選D.若f(x)＝sinx＋cosx，則f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝lnx－2x，則f″(x)＝－eq\f(1,x2)，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝－x3＋2x－1，則f″(x)＝－6x，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝－xe－x，則f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，恒有f″(x)>0，不是凸函數．13．已知曲線y＝e2x·cos3x在點(0，1)處的切線與直線l的距離為eq\r(5)，求直線l的方程．解：因為y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，所以y′|x＝0＝2，所以經過點(0，1)的切線方程為y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.設符合題意的直線方程為y＝2x＋b，根據題意，得eq\r(5)＝eq\f(|b－1|,\r(5))，解得b＝6或－4.所以符合題意的直線方程為y＝2x＋6或y＝2x－4.14．(選做題)已知函數f(x)＝ax2＋lnx的導數為f′(x)．(1)求f(1)＋f′(1)；(2)若曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，求實數a的取值范圍．解：(1)由題意，函數的定義域為(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得