2023-2024學年廣東省惠州市惠陽一中八年級（下）第一次月考數學試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下列式子中，不是二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．3．（3分）下列運算，結果正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列各組數是勾股數的是（）A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．4，6，75．（3分）如圖，一棵大樹被臺風刮斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前高（）A．5m B．7m C．8m D．10m6．（3分）如圖，將平行四邊形ABCD的一邊BC延長至點E，若∠A＝115°，則∠1＝（）A．115° B．65° C．55° D．45°7．（3分）已知平行四邊形ABCD的兩對角線相交于點O，△AOB的面積是3，則平行四邊形ABCD的面積是（）A．3 B．6 C．9 D．128．（3分）已知，則xy的值為（）A．3 B．8 C．24 D．119．（3分）如圖所示，一輪船以3海里/時的速度從港口A出發向東北方向航行，另一輪船以4海里/時的速度同時從港口A出發向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．10海里 C．35海里 D．40海里10．（3分）如圖，一個長方體形盒子的長、寬、高分別為5厘米、3厘米、10厘米，在長方體一底面的頂點A有一只螞蟻，它想吃點B處的食物，沿長方體側面爬行的最短路程是（）A．13厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米二、填空題（每小題4分，共24分）11．（4分）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．12．（4分）比較大小，用“＞”或“＜”符號連接：，．13．（4分）若，則（a+b）2＝．14．（4分）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，則AO的長是．15．（4分）實數a在數軸上的位置如圖所示，則化簡|a﹣2|+的結果為．16．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在數軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數軸于點M，則點M表示的數為．三、解答題（一）（每小題6分，共18分）17．（6分）計算：（1）；（2）．18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC．19．（6分）如圖，在平行四邊形AFCE中，D，B分別是EC，AF的中點．求證：BC＝AD．四、解答題（二）（每小題7分，共21分）20．（7分）已知，，求下列各式的值．（1）a2﹣b2；（2）a2b﹣ab2．21．（7分）如圖：在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．（1）試判斷△ACD的形狀，并說明理由；（2）求四邊形ABCD的面積．22．（7分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點O，AO＝CO．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的長．五、解答題（三）（每小題9分，共27分）23．（9分）在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標分別是：A（0，3），B（3，4），C（3，0）．（1）在平面直角坐標系中描出各點，畫出△ABC；（2）在y軸上找一點P，使的值最小，則PB+PC的最小值為，點P的坐標是．（3）點F在y軸上，且△ABF的面積等于△ABC的面積，求點F的坐標．24．（9分）閱讀材料，解答下列問題：①兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如：與，與．這樣，化簡一個分母含有二次根式的式子時，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：將化簡：，以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算．（1）請你寫出的有理化因式：．（2）計算：．（3）已知，求的值．25．（9分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，點P從點A出發，沿AD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．連接PO并延長交BC于點Q，設點P的運動時間為t秒．（1）BQ＝（用含t的代數式表示）；當t＝時，四邊形ABQP是平行四邊形．（2）點P的運動過程中，當t為何值時，△APO是直角三邊形？（3）點P的運動過程中，當t為何值時，△APO是等腰三邊形？

2023-2024學年廣東省惠州市惠陽一中八年級（下）第一次月考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共30分）1．【分析】根據二次根式的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．是二次根式，故本選項不符合題意；B．是二次根式，故本選項不符合題意；C．﹣3＜0，不是二次根式，故本選項符合題意；D．是二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了二次根式的概念，形如（a≥0）的式子叫二次根式．2．【分析】先化簡，再根據最簡二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A、﹣符合最簡二次根式的定義，正確；B、被開方數中含有未開盡方的因數或因式，錯誤；C、被開方數中含有分母，錯誤；D、分母中含有被開方數，錯誤；故選：A．【點評】此題考查最簡二次根式，在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數中，只要含有分數或小數，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數中的每一個因式（或因數），如果冪的指數等于或大于2，也不是最簡二次根式．3．【分析】分別根據同類二次根式的概念、二次根式的乘除運算法則計算可得．【解答】解：A．與不是同類二次根式，不能合并，此選項不符合題意；B．3與不是同類二次根式，不能合并，此選項不符合題意；C．×＝＝2，此選項符合題意；D．÷2＝，此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．4．【分析】勾股數是指能構成直角三角形三邊的一組正整數，由此逐項判斷即可得出答案．【解答】解：A、∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股數，故不符合題意；B、∵32+42≠62，∴3，4，6不是勾股數，故不符合題意；C、∵62+82＝102，∴6，8，10是勾股數，故符合題意；D、∵42+62≠72，∴4，6，7不是勾股數，故不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了勾股數的定義，掌握勾股數的定義是解題的關鍵．5．【分析】在折斷的大樹與地面構成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜邊的長，進而可求出大樹折斷之前的高度．【解答】解：如圖；．在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，由勾股定理，得：AC＝＝5米，∴AC+AB＝3+5＝8（米），即大樹折斷之前有8米高．故選：C．【點評】此題考查了勾股定理的應用，屬于基礎題，解答本題的關鍵是在直角三角形ABC中運用勾股定理求出AC的長．6．【分析】首先根據平行四邊形的性質求出∠BCD＝∠A＝115°，然后利用鄰補角互補求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A＝115°，∴∠BCD＝∠A＝115°，∴∠1＝180°﹣∠BCD＝65°．故選：B．【點評】此題考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質．7．【分析】由平行四邊形的性質可得OB＝OD，OA＝OC，從而得出S△AOD＝S△AOB＝3，S?ABCD＝2S△ABD，根據S△ABD＝S△AOB+S△AOD，計算即可得出答案．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC，∴S△AOD＝S△AOB＝3，S?ABCD＝2S△ABD，∴S△ABD＝S△AOB+S△AOD＝3+3＝6，∴S?ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解此題的關鍵．8．【分析】根據算術平方根的非負性得出x＝3，從而得出y＝8，代入xy進行計算即可得出答案．【解答】解：由題意得：x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x＝3，∴y＝8，∴xy＝3×8＝24，故選：C．【點評】本題考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數不小于零的條件是解題的關鍵．9．【分析】根據方位角可知兩船所走的方向正好構成了直角，然后根據路程＝速度×時間，得兩條船分別走了6海里，8海里，再根據勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解答】解：如圖，設輪船向東北方向航行到B，向東南方向航行到C，由題意得，AB＝3×2＝6海里，AC＝4×2＝8海里，∠BAC＝90°，∴海里，∴離開港口2小時后，則兩船相距10海里，故選：B．【點評】本題主要考查了勾股定理的實際應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．10．【分析】首先把這個長方體中，螞蟻所走的路線放到一個平面內，根據兩點之間線段最短，利用勾股定理即可計算，此題展開圖有三種，要分類討論．【解答】②解：第一種：由題意得展開圖，如圖①所示：∵AD＝5+3＝8（cm），DB＝10（cm），∴AB＝＝＝2（cm）；第二種：如圖②：∵CB＝10+5＝15（cm），AC＝3cm，∴AB＝＝（cm）；第三種：如圖③，∵CB＝3+10＝13（cm），AC＝5cm，∴AB＝＝（cm），∵2＜＜，∴螞蟻爬行的最短路程是2cm．故選：B．【點評】此題主要考查了平面展開﹣最短路徑問題，先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．二、填空題（每小題4分，共24分）11．【分析】根據被開方數是非負數，可得答案．【解答】解：由題意，得x﹣2≥0，解得x≥2，故答案為：x≥2．【點評】此題考查了二次根式的意義和性質．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．12．【分析】先把和，以及和平方，比較平方之后的數的大小，即可得出答案．【解答】解：∵，，3＜5，∴，∵，，24＜27，∴，故答案為：＜，＜．【點評】本題考查了二次根式的比較大小，熟練掌握無理數的估算是關鍵．13．【分析】根據題意可知，據此即可求得答案．【解答】解：根據題意可得，解得，將代入（a+b）2，得（a+b）2＝（﹣3+2）2＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查算術平方根的非負性，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．14．【分析】由平行四邊形的性質可得BC＝AD＝5，，再由勾股定理計算出AC的長度即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝5，，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴，∴，故答案為：2．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．15．【分析】根據a、b在數軸上所在的位置判斷出其符號及絕對值的大小，再化簡二次根式即可．【解答】解：由圖可得，1＜a＜2，則a﹣2＜0，a﹣1＞0，化簡|a﹣2|+＝2﹣a+a﹣1＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了絕對值和二次根式的化簡．我們知道，負數的絕對值等于它的相反數，非負數的絕對值等于它本身；，．16．【分析】首先根據勾股定理計算出AC的長，進而得到AM的長，再根據A點表示﹣1，可得M點表示的數．【解答】解：AC＝＝＝，則AM＝，∵A點表示﹣1，∴M點表示的數為：﹣1+．故答案為：﹣1+．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．三、解答題（一）（每小題6分，共18分）17．【分析】（1）先利用二次根式的性質化簡，再計算加減即可；（2）根據二次根式的乘法法則計算即可得出答案．【解答】解：（1）＝3﹣2+1＝2；（2）＝＝＝．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．18．【分析】根據題意可得．【解答】解：如圖，根據勾股定理可得：．故答案為：5．【點評】本題主要考查勾股定理，解題的關鍵是掌握其運用．19．【分析】根據平行四邊形的性質得出AB∥CD，AF＝CE，進而利用三角形中位線和平行四邊形的判定解答即可．【解答】證明：∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴AB∥CD，AF＝CE，又∵D，B分別是EC，AF的中點，∴，∴AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD．【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．四、解答題（二）（每小題7分，共21分）20．【分析】（1）根據，，可以得到a+b和a﹣b的值，然后代入所求式子計算即可；（2）根據，，可以得到ab和a﹣b的值，然后代入所求式子計算即可．【解答】解：（1）∵，，∴a+b＝4，a﹣b＝﹣2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×（﹣2）＝﹣8；（2））∵，，∴ab＝1，a﹣b＝﹣2，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝1×（﹣2）＝﹣2．【點評】本題考查二次根式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．21．【分析】（1），可得AD2＝AC2+CD2，據此即可求得答案；（2）S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD．【解答】解：（1）△ACD為直角三角形，理由如下：根據題意可得．在△ACD中AD2＝AC2+CD2．所以△ACD為直角三角形．（2）．【點評】本題主要考查勾股定理及其逆定理，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．22．【分析】（1）根據平行線的性質得出∠DCO＝∠BAO，根據全等三角形的判定得出△DCO≌△BAO，根據全等三角形的性質得出DO＝BO，根據平行四邊形的判定得出即可；（2）根據線段垂直平分線的性質得出AB＝BC，代入求出即可．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO，在△DCO和△BAO中∴△DCO≌△BAO（ASA），∴DO＝BO，∵AO＝CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，又∵AO＝CO，∴AB2＝BC2，∴AB＝BC，∵AB＝10，∴BC＝AB＝10．【點評】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．五、解答題（三）（每小題9分，共27分）23．【分析】（1）在平面直角坐標系中描出點A，B，C，依次連接各點即可；（2）作點B關于y軸的對稱點B′（﹣3，4），連接BB′，線段BB′與y軸的交點為點D，連接B′C，直線B′C與y軸的交點即為點P，根據勾股定理即可求得B′C的長度；可證得△DB′P∽△BB′C，則；（3）根據即可求得答案．【解答】解：（1）（2）作點B關于y軸的對稱點B′（﹣3，4），連接BB′，線段BB′與y軸的交點為點D，連接B′C，直線B′C與y軸的交點即為點P．根據題意可知PB＝PB′，則PB+PC＝PB′+PC＝B′C．．所以，PB+PC的最小值為．∵BC∥DP，∴△DB′P∽△BB′C．∴．∴．∴OP＝OD﹣DP＝2．∴點P的坐標是（0，2）．故答案為：（0，2），（3）根據題意可知，則，解得AF＝4．所以，點F的坐標為（0，7）或（0，﹣