湖南省衡陽(yáng)市耒陽(yáng)市龍形中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某一棱錐的三視圖如右圖，則其側(cè)面積為(

)

(A)．

(B)．(C)．

(D)．參考答案：C2.已知函數(shù)f（x）=x2+bx，則“b＜0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出f（x）的最小值及極小值點(diǎn)，分別把“b＜0”和“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”當(dāng)做條件，看能否推出另一結(jié)論即可判斷．【解答】解：f（x）的對(duì)稱軸為x=﹣，fmin（x）=﹣．（1）若b＜0，則﹣＞﹣，∴當(dāng)f（x）=﹣時(shí)，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的充分條件．（2）若f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等，則fmin（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的必要條件．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)易邏輯關(guān)系的推導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)f（x）=，則f（2016）=（）A．2016 B． C．2017 D．參考答案：D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用x＞0時(shí)函數(shù)的遞推關(guān)系式，通過(guò)分段函數(shù)求解函數(shù)值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=，則f（2016）=f（2015）+1=f（2014）+2=…=f（0）+2016=f（﹣1）+2017=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．4.已知不等式組，表示平面區(qū)域，現(xiàn)在往拋物線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地拋擲一粒小顆粒，則該顆粒落到區(qū)域內(nèi)的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2sin2，﹣2cos2），則sinα等于（） A．sin2 B．﹣sin2 C．cos2 D．﹣cos2參考答案：D【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義． 【專題】三角函數(shù)的求值． 【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα的值． 【解答】解：∵角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2sin2，﹣2cos2）， ∴x=2sin2，y=﹣2cos2，r=|OP|=2，∴sinα===﹣cos2， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題． 6.曲線f（x）=++1在（1，6）處的切線經(jīng)過(guò)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，y1），B（3，y2），則y1與y2的等差中項(xiàng)為（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線f（x）=++1在（1，6）處的切線為y=﹣，由此求出y1，y2，從而能求出y1與y2的等差中項(xiàng)．【解答】解：∵f（x）=++1，∴，∴f′（1）==﹣，∴曲線f（x）=++1在（1，6）處的切線為：y﹣6=﹣，即y=﹣，∵切線經(jīng)過(guò)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，y1），B（3，y2），∴，=﹣1，∴y1與y2的等差中項(xiàng)：A===6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差中項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運(yùn)用．7.已知A、B、P是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且A、B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA、PB的斜率乘積，則該雙曲線的離心率為A.

B.

C.2

D.3參考答案：C由題意，設(shè)A（x1，y1），P（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1）∴kPA?kPB=∵∴兩式相減可得,∵kPA?kPB=3，∴∴∴e=2故選：C．

8.程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國(guó)歷史上一部影響巨大的著作.它問世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對(duì)推動(dòng)漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展了重要的作用.卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個(gè).問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序配圖，求得該垛果子的總數(shù)S為（

）A.120 B.84 C.56 D.28參考答案：B運(yùn)行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故選C.9.以下是某樣本數(shù)據(jù)，則該樣本的中位數(shù)、極差分別是（）數(shù)據(jù)31，12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35參考答案：D【考點(diǎn)】BC：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】將數(shù)據(jù)從小到大按順序排成一列，結(jié)合中位線和極差的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大按順序排成一列為12，15，20，22，23，28，31，32，34，45，47，共11個(gè)數(shù)據(jù)，則中位數(shù)為第6個(gè)數(shù)28，最大值為47，最小值為12，則極差47﹣12=35，故選：D．10.若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于A．1

B．5

C．9

D．4

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，，則的取值范圍是

。參考答案：12.若a，b是函數(shù)f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，﹣2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于．參考答案：9【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列列關(guān)于a，b的方程組，求得a，b后得答案．【解答】解：由題意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，則p+q=9．故答案為：9．13.設(shè)x=，則tan（π+x）等于

．參考答案：14.從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)取自陰影部分的概率為______.------參考答案：15.如圖，已知與圓相切于點(diǎn)，半徑，交點(diǎn)，若圓的半徑為3，，則的長(zhǎng)度____________．參考答案：

略16.一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為．參考答案：15+【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由已知中的三視圖可得該幾何體為以正視圖為底面的棱柱，棱柱的高為1，進(jìn)而根據(jù)柱體的表面積公式得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體為：以正視圖為底面的棱柱；高為1，∴幾何體的表面積為：2（1+1+1+）+（8+）=15+．故答案為：15+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：由三視圖求表面積，其中根據(jù)已知分析出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．17.下面四個(gè)命題：①函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0,1）；②已知命題：，則：；③過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為；④在區(qū)間上隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則的概率為。其中所有正確命題的序號(hào)是：_____________。參考答案：①③當(dāng)時(shí)，，所以恒過(guò)定點(diǎn)，所以①正確；命題的否定為：，所以②錯(cuò)誤；直線的斜率為，所以和垂直的直線斜率為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以所求直線方程為，即，所以③正確；由得，，所以相應(yīng)的概率為，所以④錯(cuò)誤，所以正確的命題有①③。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與g（x）=x+有相同極值點(diǎn)，（i）求實(shí)數(shù)a的值；（ii）若對(duì)于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)恒成立問題．【專題】綜合題；壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）與g（x）=x+有相同極值點(diǎn)，可得x=1是函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)，從而可求a的值；（ⅱ）先求出x1∈[[，3]時(shí)，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[[，3]時(shí)，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再將對(duì)于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價(jià)變形，分類討論，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)．∴函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，又∵函數(shù)f（x）與g（x）=x+有相同極值點(diǎn)，∴x=1是函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]時(shí)，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．當(dāng)x∈[，1）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）為減函數(shù)，在（1，3]上為增函數(shù)．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]時(shí)，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①當(dāng)k﹣1＞0，即k＞1時(shí)，對(duì)于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價(jià)于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②當(dāng)k﹣1＜0，即k＜1時(shí)，對(duì)于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價(jià)于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．綜上，所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，]∪（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，的面積為。（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn),記直線的斜率分別為,當(dāng)最大時(shí),求直線的方程。參考答案：（1）易知，由，由余弦定理及橢圓定義有：又，從而。（2）解法一：①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則；②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，直線的方程為，將代入，整理得，

則，又，

所以，，令，則，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，或。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值。由①②得直線的方程為。解法二：①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則；②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為，將代入，整理得，則，又，所以，令，由得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，所以直線的方程為。20.已知向量，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)不等式≤，當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍。參考答案：解：（1），所以即當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)