第08講一元二次方程的解法-因式分解法2.2【學習目標】正確理解因式分解法的實質，熟練運用因式分解法解一元二次方程；理解并掌握因式分解法解一元二次方程的應用【基礎知識】1.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數的代數式.【考點剖析】考點1：因式分解法解一元二次方程例1．方程的根為(

)A． B． C． D．或【答案】D【分析】由提公因式法進行因式分解，既而可解一元二次方程．【解析】解：故選：D．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．例2．方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將方程移項后，再運用因式分解法求解即可．【解析】解：∴故選：B【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運用一元二次方程的解法是解答本題的關鍵．例3．解下列方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．（1）解：，∴，解得：；（2）解：，整理得：，∴，解得：【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法——直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法是解題的關鍵．例4．用適當的方法解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】根據因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：解得，(2)解：解得，【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．例5．用適當的方法解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】將左邊利用十字相乘法因式分解，繼而可得兩個關于的一元一次方程，分別求解即可得出答案；先移項，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個關于的一元一次方程，分別求解即可得出答案．(1)解：，，則或，解得，，所以，原方程的解為，；(2)解：，則，或，解得，．所以，原方程的解為，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運用一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．例6．一元二次方程的根是__________．【答案】，【分析】方程變形為x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10，x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，（x﹣2）（2x﹣5）＝0，x﹣2＝0或2x﹣5＝0，所以，．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想），掌握因式分解解方程的方法是解題的關鍵．考點2：因式分解法解一元二次方程易錯題例7．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是

(

)A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2【答案】B【分析】先把一元二次方程展開合并，再根據因式分解法解一元二次方程，即可求解．【解析】∵，∴，∴，∴x-4=0或x+2=0，∴．故選B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解題的關鍵．例8．用因式分解法解方程，下列方法中正確的是（

）A．(2x－2)(3x－4)=0，∴2x－2=0或3x－4=0B．(x+3)(x－1)=1，∴x+3=0或x－1=1C．(x－2)(x－3)=2×3，∴x－2=2或x－3=3D．x(x+2)=0，∴x+2=0【答案】A【分析】用因式分解法時，方程的右邊為0，才可以達到化為兩個一次方程的目的．【解析】A：等式右邊為0，分解正確，符合題意；B：等式右邊≠0，不符合題意；C：等式右邊≠0，不符合題意；D：x(x+2)=0，∴x+2=0或x=0；故答案為：A【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法時，方程的右邊必須為0，根據兩個因式的積等于0，則這兩個因式中至少有一個為0，才能將方程降次為兩個一元一次方程．考點3：因式分解法解一元二次方程的應用例9．如果代數式與的值相等，那么x=______．【答案】2【分析】由題可得，整理得到即解出即可．【解析】解：根據題意得故答案為：2．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解此題的關鍵．例10．在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣3，1．小明看錯了一次項系數P，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分別按照看錯的情況構建出一元二次方程，再舍去錯誤信息，從而可得正確答案.【解析】解：小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣3，1，所以此時方程為：即：小明看錯了一次項系數P，得到方程的兩個根是5，﹣4，所以此時方程為：即：從而正確的方程是：故選：【點睛】本題考查的是根據一元二次方程的根構建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根構建方程的方法是解題的關鍵.例11．已知關于x的一元二次方程（a，b，c為常數，且），此方程的解為，．則關于x的一元二次方程的解為______．【答案】或【分析】將和分別代入，可求得，，之間的等量關系，代入一元二次方程即可消去參數，從而解一元二次方程即可．【解析】解：一元二次方程的解為，，，解得，一元二次方程可化為，，，解得，．一元二次方程的解為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解決本題的關鍵是利用一元二次方程的解求得，，之間的等量關系，從而代入求解．例12．已知三角形其中兩邊之和為10，第三邊長是是方程的一個根，則該三角形的周長為（

）A．11 B．21 C．11或21 D．11或1【答案】A【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11兩種情況，利用三角形三邊關系進行判斷即可．【解析】解：由可得，∴或，解得x＝1或x＝11，當x＝1時，因為10＞1，所以能組成三角形，此時該三角形的周長為11；當x＝11時，因為10＜11，所以不能組成三角形，故選：A．【點睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關系的應用，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．考點4：換元法例13．已知，則的值是（

）A．3或 B．或2 C．3 D．【答案】C【分析】設，則原方程變為解出關于a的方程，取非負值值即為的值．【解析】解：設，∵，∴，即，∴，解得或（舍去），∴，故選C．【點睛】本題考查解一元二次方程，掌握換元思想可以使做題簡單，但需注意．例14．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．【答案】x1＝4029，x2＝-2【分析】設x-2013=t，則x-2014=t-1，可得t2-t-2015×2016=0，再利用因式分解法可得t1=2016，t2=-2015，再代入，即可求解．【解析】解：設x-2013=t，則x-2014=t-1，∴t（t-1）=2015×2016，即t2-t-2015×2016=0，∴（t-2016）（t+2015）=0解得：t1=2016，t2=-2015，∴x－2013=2016或x－2013=-2015，解得：x1＝4029或-2，∴原方程的解為x1＝4029，x2＝-2．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．考點5：分類討論思想例15．關于的一元二次方程的兩實根都是整數，則整數p的取值可以有（

）A．2個B．4個C．6個D．無數個【答案】D【解析】求得和為-5，積為p的所有整數解，也就求得了p的個數．然后由-5+0=-5；-4+（-1）=-5；-3+（-2）=-5；1+（-6）=-5；2+（-7）=-5；3+（-8）=-5；4+（-9）=-5…可得p=-5×0=0或-4×（-1）=4或-3×（-2）=6或1×（-6）=-6或2×（-7）=-14；或3×（-8）=-24；或4×（-9）=-36…．故選：D．點睛：本題考查求有整數解的一元二次方程系數的問題；用到的知識點為：有整數解的一元二次方程的常數項分解的2個數的和應等于一次項是系數，積等于常數項．例16．解方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分類討論：當x≥0時，原方程化為：x2-x-2=0；當x＜0時，原方程化為：x2+x-2=0，然后分別利用因式分解法解兩一元二次方程即可．【解析】解：當x≥0時，原方程化為x2-x-2=0，因式分解得(x-2)(x+1)=0，解得：x1=2或x2=-1（不合題意舍去）；當x≤0時，原方程化為x2+x-2=0，因式分解得(x+2)(x-1)=0，解得：x1=-2或x2=1（不合題意舍去）；所以，原方程的根是x1=2，x2=-2．故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程，絕對值的代數意義，以及解一元二次方程-分解因式法，分類討論是解本題的關鍵．考點6：創新考點例17．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一個根與方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一個根互為相反數，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（

）A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2【答案】A【分析】將x0、﹣x0分別代入已知的兩個方程，求出a的值，再將a的值代入要求解的方程，解方程即可.【解析】設x0為方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一個根，則﹣x0為方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一個根，∴（a+1）x02﹣ax0+a2﹣a﹣2=0①，（a+1）x02﹣ax0﹣a2+a+2=0②，∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1，當a=2時，3x2+2x=0，解得x=0或﹣；②當a=﹣1時，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.∴方程的解是0或﹣.故選A.【點睛】本題主要考查一元二次方程的解的定義.例18．于實數a，b先定義一種新運算“★”如下：a★b=，若，則實數m等于（

）A．6 B．2 C．2或 D．2或或6【答案】B【分析】分兩種情況討論：當m≤1時，當m＞1時，再分別根據新定義列出方程，再解方程即可．【解析】解：當m≤1時，則1★m=m+2=8，解得：m=6，故無解；當m＞1時，則1★m=m2+2m=8，解得：m1=2，m2=-4，∴m=2，綜上，m=2，故選：B．【點睛】本題考查新定義，一元二次方程解法，理解新定義，列出方程是解題的關鍵．例19．如圖，“楊輝三角”是我國古代奉獻給人類偉大的數學遺產之一，從圖中取一列數1，3，6，10，…，記，，，…，那么，則的值是（

）A．13 B．10 C．8 D．7【答案】D【分析】由已知數列得出an＝1+2+3+…+n，再求出a9、ai、a11的值，代入計算可得．【解析】解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n，∴a945、ai、a1166，則a9+a11﹣ai＝83，可得：45+6683，解得：i＝7，（負根舍去）故選：D．【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是根據已知數列得出an＝1+2+3+…+n，【真題演練】一、單選題1．（2022·天津·統考中考真題）方程的兩個根為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將進行因式分解，，計算出答案．【解析】∵∴∴故選：D．【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握因式分解法解一元二次方程．2．（2021·貴州遵義·統考中考真題）在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣3，1．小明看錯了一次項系數P，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分別按照看錯的情況構建出一元二次方程，再舍去錯誤信息，從而可得正確答案.【解析】解：小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣3，1，所以此時方程為：即：小明看錯了一次項系數P，得到方程的兩個根是5，﹣4，所以此時方程為：即：從而正確的方程是：故選：【點睛】本題考查的是根據一元二次方程的根構建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根構建方程的方法是解題的關鍵.3．（2020·湖南張家界·中考真題）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的底邊長為（

）A．2 B．4 C．8 D．2或4【答案】A【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論邊長，即可得出答案．【解析】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，當等腰三角形的三邊為2，2，4時，不符合三角形三邊關系定理，此時不能組成三角形；當等腰三角形的三邊為2，4，4時，符合三角形三邊關系定理，此時能組成三角形，所以三角形的底邊長為2，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，解一元二次方程，能求出方程的解并能夠判斷三角形三邊存在的條件是解此題的關鍵．4．（2017·四川涼山·中考真題）若關于x的方程x2＋2x－3＝0與有一個解相同，則a的值為(

)A．1 B．1或－3 C．－1 D．－1或3【答案】C【分析】解出一元二次方程，將根代入分式方程即可求出a的值.【解析】解：解方程，得：x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程的增根，∴當x=1時，代入方程，得：，解得a=﹣1．故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此題屬于易錯題，解題時要注意分式的分母不能等于零．5．（2015·遼寧葫蘆島·統考中考真題）已知k、b是一元二次方程的兩個根，且k＞b，則函數的圖像不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】解：∵k、b是一元二次方程的兩個根，且k＞b，∴，，∴函數的圖像不經過第二象限，故選：B．二、填空題6．（2022·廣西梧州·統考中考真題）一元二次方程的根是_________．【答案】，【分析】由兩式相乘等于0，則這兩個式子均有可能為0即可求解．【解析】解：由題意可知：或，∴或，故答案為：或．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，屬于基礎題，計算細心即可．7．（2022·云南·中考真題）方程2x2+1=3x的解為________．【答案】【分析】先移項，再利用因式分解法解答，即可求解．【解析】解：移項得：，∴，∴或，解得：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關鍵．8．（2019·山東濟寧·統考中考真題）已知是一元二次方程的一個根，則此方程的另一個根為______．【答案】【分析】把x=1代入，得到關于a的一元一次方程，解出a的值，然后將a代入原方程中，求解后即可得出結果．【解析】解：把x=1代入得，，解得，a=1，即原方程為：，即，解得，x1=1，x2=-2，即方程的另一個根為：x=-2，故答案為：-2．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程及解一元二次方程，正確掌握代入法求得a的值并進一步正確解方程是解題的關鍵．9．（2021·四川遂寧·統考中考真題）如圖都是由同樣大小的小球按一定規律排列的，依照此規律排列下去，第___個圖形共有210個小球．【答案】20【分析】根據已知圖形得出第n個圖形中黑色三角形的個數為1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．【解析】解：∵第1個圖形中黑色三角形的個數1，第2個圖形中黑色三角形的個數3=1+2，第3個圖形中黑色三角形的個數6=1+2+3，第4個圖形中黑色三角形的個數10=1+2+3+4，……∴第n個圖形中黑色三角形的個數為1+2+3+4+5++n=，當共有210個小球時，，解得：或(不合題意，舍去)，∴第個圖形共有210個小球．故答案為：．【點睛】本題考查了圖形的變化規律，解一元二次方程，解題的關鍵是得出第n個圖形中黑色三角形的個數為1+2+3+……+n．三、解答題10．（2018·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：2(x-3)=3x(x-3)．【答案】.【分析】先進行移項，在利用因式分解法即可求出答案.【解析】，移項得：，整理得：，或，解得：或．【點睛】本題考查了解一元一次方程-因式分解，熟練掌握因式分解的技巧是本題解題的關鍵.11．（2021·浙江嘉興·統考中考真題）小敏與小霞兩位同學解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩位同學的解法都錯誤，正確過程見解析【分析】根據因式分解法解一元二次方程【解析】解：小敏：兩邊同除以，得，則．（×）小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．（×）正確解答：移項，得，提取公因式，得，去括號，得，則或，解得，．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準確計算是解題關鍵．12．（2011·山東濟南·中考真題）已知下列n(n為正整數)個關于x的一元二次方程:①②③（n）⑴請解上述一元二次方程①、②、③、（n）;⑵請你指出這n個方程的根具有什么共同特點，寫出一條即可．【答案】（1）①②③…;（n）（2）共同特點是：都有一個根為1；都有一個根為負整數；兩個根都是整數根等等.【分析】（1）利用一元二次方程的十字相乘法求解即可得；（2）根據所求的根，找出共同特點即可【解析】解：（1）①，（x+1）(x-1)=0，解得，，②，（x+2）（x-1）=0，解得，，③，（x+3）（x-1）=0，解得，，…（n），（x+n）（x-1）=0，解得，（2）這個方程都有一個根為，另外一根等于常數項．【點睛】題目主要考查利用十字相乘法解一元二次方程，掌握十字相乘法是解題的關鍵.【過關檢測】一、單選題1．一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用因式分解法求解即可．【解析】解：x(x+1)=0，所以x=0或x+1=0，解得：x1=0，x2=-1．故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，根據方程的特點選擇恰當的方法是解決此題的關鍵．2．方程x（x﹣2）＝3x的解為（

）A．x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5【答案】B【分析】先移項，再分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.【解析】解：x（x﹣2）＝3x，x（x﹣2）﹣3x＝0，x（x﹣2﹣3）＝0，x＝0，x﹣2﹣3＝0，x1＝0，x2＝5，故選：B.【點睛】此題考查因式分解法解一元二次方程，根據一元二次方程的特點選擇恰當的解法是解題的關鍵.3．下列方程能用因式分解法求解的有（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據分解因式法求解方程的方法逐一判斷即得答案．【解析】解：方程可變形為，故①能用分解因式法求解；方程可變形為，故②能用分解因式法求解；方程不能用因式分解法求解；方程可變形為，即，故④能用分解因式法求解．綜上，能用因式分解法求解的方程有3個，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握分解因式的方法是正確判斷的關鍵．4．一元二次方程的解是A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．【解析】解：，，或，所以，．故選．【點睛】本題考查了解一元二次方程---因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．5．若關于的一元二次方程有一個根為0，則的值為（

）A．0 B．1或2 C．1 D．2【答案】D【分析】把x=0代入已知方程得到關于m的一元二次方程，通過解方程求得m的值；注意二次項系數不為零，即m-1≠0．【解析】解：根據題意，將x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義和一元二次方程的定義．注意：本題中所求得的m的值必須滿足：m-1≠0這一條件．6．如果能分解成的形式，則方程的兩根為（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】令，即可求出方程的解．【解析】根據題意得：，得x1＝-1，x2＝-4，故方程的解為，，故選A．【點睛】此題考查了解一元二次方程?因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．7．三角形的兩邊長分別為4和5，第三邊的長是方程的根，則三角形的周長是（

）A．19 B．11或19 C．13 D．11【答案】D【分析】根據三角形的三邊關系以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】解：∵x2-12x+20=0，∴x=2或x=10，當x=2時，∵2+4＞5，∴能組成三角形，∴三角形的周長為2+4+5=11，當x=10時，∵4+5＜10，∴不能組成三角形，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．8．在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣3，1．小明看錯了一次項系數P，得到方程的兩個根是5，﹣4，則原來的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分別按照看錯的情況構建出一元二次方程，再舍去錯誤信息，從而可得正確答案.【解析】解：小紅看錯了常數項q，得到方程的兩個根是﹣3，1，所以此時方程為：即：小明看錯了一次項系數P，得到方程的兩個根是5，﹣4，所以此時方程為：即：從而正確的方程是：故選：【點睛】本題考查的是根據一元二次方程的根構建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根構建方程的方法是解題的關鍵.9．已知實數滿足，則代數式的值是(

)A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3【答案】A【分析】將x2-x看作一個整體，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整體代入進行求解即可.【解析】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；當x2﹣x＝﹣2時，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程無實數解；當x2﹣x＝6時，x2﹣x+1＝7，故選A．【點睛】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，解本題的關鍵是把x2-x看成一個整體．10．如圖，“楊輝三角”是我國古代奉獻給人類偉大的數學遺產之一，從圖中取一列數1，3，6，10，…，記，，，…，那么，則的值是（

）A．13 B．10 C．8 D．7【答案】D【分析】由已知數列得出an＝1+2+3+…+n，再求出a9、ai、a11的值，代入計算可得．【解析】解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n，∴a945、ai、a1166，則a9+a11﹣ai＝83，可得：45+6683，解得：i＝7，（負根舍去）故選：D．【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是根據已知數列得出an＝1+2+3+…+n，二、填空題11．方程的解是____________．【答案】【分析】根據一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】解：∵x2?x?6＝0，∴（x＋2）（x?3）＝0，∴x＝?2或x＝3；【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．12．三角形兩邊的長分別為2和5，第三邊的長是方程的根，則該三角形的周長為_____.【答案】12【分析】解方程得第三邊邊長可能的值，代入三角形三邊關系驗證，進而求出周長即可．【解析】∵第三邊的長是方程的根，解得x=3或5當x=3時，由于2＋3=5，不能構成三角形；當x=5時，由于2＋5>5，能構成三角形；故該三角形三邊長分別為2,5,5，則周長為2＋5＋5=12．故答案為12．【點睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關系，利用三角形三邊關系驗證三邊長是否能構成三角形是解決本題的關鍵．13．已知，求的值，若設，則原方程可變為__________，所以求出z的值即為的值，所以的值為__________．【答案】

2或【分析】首先把x+y看做一個整體，設x+y=z，變形為z2+2z-8=0，然后解關于z的方程即可．【解析】解：設x+y=z，則原方程整理為：z（z+2）-8=0，整理得：z2+2z-8=0，（z+4）（z-2）=0，解方程得：z1=-4，z2=2，∴x+y=-4或者x+y=2．故答案為：，-4或2．【點睛】本題考查了用因式分解法解方程，關鍵在于把x+y看做一個整體，正確的對方程式的左邊因式分解．14．若關于的方程和的解完全相同，則的值為________．【答案】1【分析】先分解因式，根據兩方程的解相同即可得出答案．【解析】解：，，∵關于x的方程和的解完全相同，∴a=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能正確用因式分解法解方程是解此題的關鍵．15．已知關于x的一元二次方程（a，b，c為常數，且），此方程的解為，．則關于x的一元二次方程的解為______．【答案】或##或【分析】將和分別代入，可求得，，之間的等量關系，代入一元二次方程即可消去參數，從而解一元二次方程即可．【解析】解：一元二次方程的解為，，，解得，一元二次方程可化為，，，解得，．一元二次方程的解為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解決本題的關鍵是利用一元二次方程的解求得，，之間的等量關系，從而代入求解．16．已知關于x的一元二次方程的一個根比另一個根大2，則m的值為_____．【答案】1【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根據根的關系即可求解．【解析】解（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案為：1．【點睛】此題主要考查解一元二次方程，解題的關鍵是熟知因式分解法的運用．17．定義：如果兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數根，我們稱這兩個方程為“友好方程”，如果關于x的一元二次方程x2﹣2x＝0與x2＋3x＋m﹣1＝0為“友好方程”，則m的值_____．【答案】1或-9【分析】通過解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0為兩方程相同的實數根或x=2為兩方程相同的實數根兩種情況考慮：①若x=0是兩個方程相同的實數根，將x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，將m的值代入原方程解之可得出方程的解，對照后可得出m=1符合題意；②若x=2是兩個方程相同的實數根，將x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，將m的值代入原方程解之可得出方程的解，對照后可得出m=2符合題意．綜上此題得解．【解析】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．①若x=0是兩個方程相同的實數根．將x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，∴m=1，此時原方程為x2+3x=0，解得：x1=0，x2=-3，符合題意，∴m=1；②若x=2是兩個方程相同的實數根．將x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，∴m=-9，此時原方程為x2+3x-10=0，解得：x1=2，x2=-5，符合題意，∴m=-9．綜上所述：m的值為1或-9．故答案為：1或-9．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解題的關鍵．18．數學活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數式求值問題：已知實數同時滿足，求代數式的值．結合他們的對話，請解答下列問題：（1）當時，a的值是__________．（2）當時，代數式的值是__________．【答案】

或1

7【分析】（1）將代入解方程求出，的值，再代入進行驗證即可；（2）當時，求出，再把通分變形，最后進行整體代入求值即可．【解析】解：已知，實數，同時滿足①，②，①-②得，∴∴或①+②得，（1）當時，將代入得，解得，，∴，把代入得，3=3，成立；把代入得，0=0，成立；∴當時，a的值是1或-2故答案為：1或-2；（2）當時，則，即∵∴∴∴∴故答案為：7．【點睛】此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數式的值和分式的運算等知識，熟練掌握運算法則和乘法公式是解答此題的關鍵．三、解答題19．用因式分解法解下列關于x的方程（1）

（2）（3）

（4）【答案】（1），；（2），；（3），；（4），【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）移項，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）移項，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解析】解：（1）解得：，（2）解得：，（3）解得：，（4）解得：，【點睛】此題考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解決此題的關鍵．20．解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直接開平方法解二元一次方程；（2）利用因式分解法解二元一次方程；（3）利用配方法解二元一次方程；（4）利用公式法解二元一次方程；（1）解：移項得，兩邊開平方得，∴（2）解：或∴（3）解：或∴（4）解：∴【點睛】本題主要考查解二元一次方程，掌握二元一次方程的求解方法是解題的關鍵．21．用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1);(2);(3);(4).【分析】(1)原式用提取公因式進行因式分解可化簡為，求解后即可解答；(2)原式用平方差公式進行因式分解可化簡為，求解后即可解答；(3)原式用完全平方公式進行因式分解可化簡為，求解后即可解答；(4)原式用平方差公式進行因式分解可化簡為，求解后即可解答

.【解析】解：(1)原方程可化為∴，∴或，∴.(2)原方程可化為，∴，∴，∴或，∴.(3)原方程可化為，∴，∴.(4)原方程可變形為，∴，∴，即，∴或，∴.【點睛】本題考查了用提取公因式、平方差公式、完全平方公式進行因式分解，熟練掌握是解題的關鍵,22．用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)(4)，(5)，(6)，【分析】（1）移項，提取公因式因式分解，然后根據因式分解法解一元二次方程即可；（2）根據平方差公式因式分解，然后根據因式分解法解一元二次方程即可；（3）根據十字相乘法因式分解，然后根據因式分解法解一元二次方程即可；（4）移項，提取公因式因式分解，然后根據因式分解法解一元二次方程即可；（5）提取公因式因式分解，然后根據因式分解法解一元二次方程即可；（6）移項，根據平方差公式因式分解，然后根據因式分解法解一元二次方程即可．【解析】（1）解：，移項得：，因式分解得：，∴或，∴，；（2），因式分解得：，∴或，∴，；（3），因式分解得：，∴或，∴；（4），移項整理得：，因式分解得：，即，∴或，∴，；（5），因式分解得：，即，∴或，∴，；（6），移項整理得：，因式分解得：，即，∴或，∴，．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因式分解是解本題的關鍵．23．閱讀下面的例題．解方程：．解：（1）當時，原方程化為，解得，（不合題意，舍去）．（2）