特訓(xùn)05期末歷年解答壓軸題（第16-19章）一、解答題1．（2022·上海·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作線段DE的垂直平分線分別交邊AC、BC于點(diǎn)M、N，設(shè)AM=x，ME=y．(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求ME的長；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)MN經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出ME的長．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）連接MD，結(jié)合題意，根據(jù)含角直角三角形、直角三角形斜邊中線、垂直平分線的性質(zhì)分析，結(jié)合勾股定理性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）連接MD，過點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為F，根據(jù)垂直平分線、勾股定理的性質(zhì)，得，結(jié)合（1）的結(jié)論，通過列一元二次方程并求解，得函數(shù)的定義域，即可得到答案；（3）分MN經(jīng)過AC中點(diǎn)、MN經(jīng)過AB中點(diǎn)、MN經(jīng)過BC中點(diǎn)三種情況，結(jié)合（2）的結(jié)論，根據(jù)垂直平分線、勾股定理、二次根式、三角形中位線的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．(1)連接MD，∵AB=，BC=，∴BC=AB，∵∠C=90，∴∠A=30∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD，∴∠ACD=30，∠ADC=120，∵M(jìn)N垂直平分CD，∴CM=DM，∴∠MDC=30，∴∴設(shè)，則∴∴∴或（舍去）∴；(2)連接MD，過點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為F，∵M(jìn)N垂直平分ED，∴ME=MD=y，∵∠A=30∴MF=，∴∴FD，在Rt△MDF中，∴∴根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，∴∴或∵∴不符合題意∴∴∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是；(3)分MN經(jīng)過AC中點(diǎn)、MN經(jīng)過AB中點(diǎn)、MN經(jīng)過BC中點(diǎn)三種情況分析，當(dāng)MN經(jīng)過AC中點(diǎn)時(shí)，即∴，即當(dāng)MN經(jīng)過AB中點(diǎn)時(shí)，和MN分別交邊AC、BC于點(diǎn)M、N的結(jié)論矛盾∴MN經(jīng)過AB中點(diǎn)不成立當(dāng)MN經(jīng)過BC中點(diǎn)時(shí)，如圖，分別連接EN、DN∴∵∴，∵M(jìn)N線段DE的垂直平分線∴∵AM=x，ME=y∴∵∠C=90°∴∴∴∴∴∴，即∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂直平分線、三角形中位線、含角直角三角形、直角三角形斜邊中線、二次根式、一元二次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、含角直角三角形、一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．2．（2020·上海浦東新·八年級(jí)期末）如圖1，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE．（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明猜想．（3）當(dāng)∠A變?yōu)殁g角時(shí)，如圖2，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）∠DME=180°-2∠A；詳見解析；（3）結(jié)論（1）成立，結(jié)論（2）不成立，詳見解析【分析】（1）連接，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算；（3）仿照（2）的計(jì)算過程解答．【解析】（1）證明：如圖，連接，，、分別是、邊上的高，是的中點(diǎn)，，，，又為中點(diǎn)，；（2）在中，，，∴，，，，，，；（3）結(jié)論（1）成立，結(jié)論（2）不成立，理由如下：如圖，同理（1）可知：，故結(jié)論（1）正確；，∴，，在中，，，，故結(jié)論（2）不正確．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海·八年級(jí)期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移動(dòng)的等邊三角形DEF的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F始終在邊BC上，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)G、H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D恰好在斜邊AB上，求△DEF的周長；(2)如圖2，在△DEF作平行移動(dòng)的過程中，圖中是否存在與線段CF始終相等的線段？如果存在，請(qǐng)指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)假設(shè)C點(diǎn)與F點(diǎn)的距離為x，△DEF與△ABC的重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．【答案】(1)9；(2)存在，CF=DG，證明見解析；(3)．【分析】（1）利用勾股定理求出，再證明，即可求出△DEF的周長；（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，進(jìn)一步得到，再證明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可證明CF=DG；（3）求出，，利用，即可求出．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴，∠A=60，∵△DEF是等邊三角形，∴∠DCE=60，∴∠ACD=30，∴∠ADC=90，∴，∴△DEF的周長為9；（2）解：結(jié)論：CF=DG.理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，∴，∵△DEF是等邊三角形，∴∠DEF=60，∵∠DEF=∠B+∠EGB，∴∠B=∠EGB=∠DGE=30，∴EG=BE，∵EG+DG=CF+BE=3，∴CF=DG；（3）解：∵，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，等邊三角形性質(zhì)．4．（2019·上海市市西初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線軸，且直線分別與反比例函數(shù)和的圖像交于兩點(diǎn)，.求的值；當(dāng)時(shí)，求直線的解析式；在的條件下，若軸上有一點(diǎn)，使得為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）k=﹣20；（2）y=﹣x；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．【分析】（1）由結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義可得+4=14，進(jìn)一步即可求出結(jié)果；（2）由題意可得MO=MQ，于是可設(shè)點(diǎn)Q（a，﹣a），再利用待定系數(shù)法解答即可；（3）先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和OQ的長，然后分三種情況：①若OQ=ON，可直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；②若QO=QN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答；③若NO=NQ，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離解答．【解析】解：（1）∵，S△POM=，S△QOM=，∴+4=14，解得，∵k＜0，∴k=﹣20；（2）∵，軸，∴，∴MO=MQ，設(shè)點(diǎn)Q（a，﹣a），直線OQ的解析式為y=mx，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，∴直線OQ的解析式為y=﹣x；（3）∵點(diǎn)Q（a，﹣a）在上，∴，解得（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則，若為等腰三角形，可分三種情況：①若OQ=ON=，則點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，0）或（﹣，0）；②若QO=QN，則NO=2OM=，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，0）；③若NO=NQ，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（n，0），則，解得，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，0）；綜上，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)，具有一定的綜合性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．(1)如圖1，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，求證：EF=AB；(2)如圖2，設(shè)CD=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)BE=BF時(shí)，求線段CD的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明再證明是等邊三角形，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)求解再求解即可得到結(jié)論；（2）如圖，當(dāng)過點(diǎn)，是的垂直平分線，求解如圖，當(dāng)過點(diǎn)則所以分別在AB、BC上時(shí)，則如圖，過作于再利用勾股定理與線段的和差寫函數(shù)關(guān)系式，整理后可得答案；（3）先畫出符合題意的圖形，再證明設(shè)則由再列方程解方程即可.（1）解：∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，是的垂直平分線，是等邊三角形，而（2）解：如圖，當(dāng)過點(diǎn)，是的垂直平分線，則如圖，當(dāng)過點(diǎn)則所以分別在AB、BC上時(shí)，則如圖，過作于同理：整理得：（3）解：當(dāng)同理可得：設(shè)則【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的掌握以上知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.6．（2020·上海市浦東模范中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知ABC中，，，AB＝6，點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），EF為PB的垂直平分線，交PB于點(diǎn)F，交射線AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)PE、AP．(1)求∠B的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，設(shè)BE＝x，AP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)APB為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE的值．【答案】(1)(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，；(3)4或或【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明出△ABC是直角三角形，且∠BAC=，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則=CM，證得△ACM是等邊三角形，求得∠B=；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，由勾股定理得，求出，得到，由勾股定理求出CD，BF，得到DP，由，推出，根據(jù)y>0，得到函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥AB交延長線于H，求出，勾股定理求得PH，根據(jù)，求出函數(shù)解析式；（3）當(dāng)AP=BP時(shí)，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)證得∠APE=，得到AE=2PE=2BE，由此求出AE=4；當(dāng)BP=AB=6時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出PF=BF=3，利用直角三角形30度角的性質(zhì)求出BE=2EF，利用勾股定理得，求出BE，即可得到AE的值．當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上且BP=AB=6時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出PF=BF=3，利用直角三角形30度角的性質(zhì)求出BE=2EF，利用勾股定理得，求出BE，即可得到AE的值．【解析】（1）解：ABC中，，，AB＝6，∵，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則=CM，∵，，∴，∴AC=AM=CM，∴△ACM是等邊三角形，∴，∴∠B=；（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在△ADB中，∠ADB=，∠B=，∴，同理，∴，在Rt△BEF中，，∴，∴，又∵BP=2BF，∴，∴DP=，∵，∴，∴，∵y>0，∴；（3）解：當(dāng)AP=BP時(shí)，則∠PAB=∠B=，如圖，∴∠APB=，∵EF為PB的垂直平分線，∴PE=BE，∴∠BPE=∠B=，∴∠APE=，∴AE=2PE=2BE，∵AE+BE=6，∴AE=4；當(dāng)BP=AB=6時(shí)，如圖，∵EF為PB的垂直平分線，∴PF=BF=3，∵∠B=，∴BE=2EF，∵，∴，∴AE=AB-BE=；當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上且BP=AB=6時(shí)，如圖，∵EF為PB的垂直平分線，∴PF=BF=3，∵∠EBF=，∴BE=2EF，∵，∴，∴AE=AB+BE=；綜上，AE的值為4或或．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及逆定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求函數(shù)解析式，熟記各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，點(diǎn)P是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，且PA=PD，ED⊥DP，交邊BC于點(diǎn)E．(1)求證：BE=DE；(2)若BE=x，AD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；(3)延長ED交CA的延長線于點(diǎn)F，連接BP，若△BDP與△DAF全等，求線段PE的長．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【分析】（1）利用等角的余角相等證明，從而證明；（2）過作于，在中計(jì)算，從而得出的長，；（3）由全等推出是頂角為的等腰三角形，從而推出是的中點(diǎn)，與重合，計(jì)算此時(shí)的長度即可．（1）證明：，，，又，，，，，．（2）如圖1，過點(diǎn)作于，在中，，，，，，．，，，在中，，，，，，，，是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，即，解得；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，即，解得．點(diǎn)與點(diǎn)不重合，．；（3）如圖2，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，．則，，是頂角為的等腰三角形，與全等，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，，，，在線段上有動(dòng)點(diǎn)，在射線上有動(dòng)點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊（與點(diǎn)、不重合）上，線段與線段之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．（2）過點(diǎn)作邊的垂線，垂足為點(diǎn)，隨著、兩點(diǎn)的移動(dòng)，線段的長能確定嗎？若能確定，請(qǐng)求出的長；若不能確定，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），證明見解析；（2）能，．【分析】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定可推出，則可利用AAS證得≌，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由題意可得△AMD為等腰直角三角形，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，由全等三角形的性質(zhì)可得，由，，于是得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到，即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）；理由是：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．在和中：，∴≌．∴．（2）線段的長度能確定，且為．理由是：過點(diǎn)作邊的垂線，垂足為，過作交于，由（1）得，為等腰直角三角形．設(shè)，∴．∵≌，∴．∵，∴．∴．在等腰直角三角形中，∵，∴，∴．∴線段的長度確定，與、的移動(dòng)無關(guān)，長為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE是等邊三角形，聯(lián)結(jié)EF．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，①求證：△AEF≌△ADC；②聯(lián)結(jié)BE，設(shè)C、D間距離為x，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；(2)當(dāng)∠DAB=15°時(shí)，求△ADE的面積（直接寫出答案）．【答案】(1)①見解析；②(2)或【分析】（1）①證明：直角△ABC中，利用特殊角和斜邊的中線是斜邊的一半，可得AF=BF=AC，再結(jié)合等邊△ADE，有AE=AD，利用SAS即可得△ADC≌△EAF(SAS)；②根據(jù)△ADC≌△EAF，有∠EFA=∠C=90，結(jié)合F是AB中點(diǎn)，即有EF是AB的中垂線，進(jìn)而有AE=EB，AD=AE=EB，在Rt△ACD中，有，即，則有；（2）分兩種情況討論，即當(dāng)點(diǎn)在線段BC上和點(diǎn)在CB的延長線上兩種情況，分別求出AD，即可得等邊△ADE的面積．（1）解：證明①：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，∴∠ABC=30，∴AC=AB=5，∵F是AB的中點(diǎn)，∴AF=BF=AB，∴AF=BF=AC，∵等邊△ADE，∴AE=AD，∠EAD=60，∴∠EAD=∠CAB=60，∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD，即∠DAC=∠EAF，在△ADC與△EAF中，，∴△ADC≌△EAF(SAS)；②∵△ADC≌△EAF，∴∠EFA=∠C=90，又F是AB中點(diǎn)，∴EF是AB的中垂線，∴AE=EB，∴AD=AE=EB，在Rt△ACD中，∠C=90，∴，∴，∴；（2）解：或，分情況討論：第一種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)，由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，則=50，則AD=，如圖，過A點(diǎn)作AG⊥DE于G點(diǎn)，在等邊△ADE中，由AG⊥DE可得DG=DE=DE=AD=，則利用勾股定理可得：，則等邊△ADE的面積為：，第二種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段CB的延長線上時(shí)，由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，∴BD=BA=10，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理可得：，則同理可求得等邊△ADE的面積為：，綜上所述：或，【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到全等三角形以及熟練掌握勾股定理．10．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）如圖，中，，，．點(diǎn)P是射線CB上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），EF是線段PB的垂直平分線，交PB與點(diǎn)F，交射線AB與點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)PE、AP．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，設(shè)，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）如果，請(qǐng)直接寫出的面積．【答案】（1）；（2），定義域?yàn)椋海唬?）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB延長線上時(shí)，．【分析】（1）由題意及勾股定理逆定理可得，取BC的中點(diǎn)H，連接AH，則有，然后可得，則有，最后問題可求證；（2）過A作，垂足為點(diǎn)D，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式可進(jìn)行求解；（3）由題意可分①當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段CB延長線上時(shí)，然后分類求解即可．【解析】（1）解：∵中，，，，∴，．∴，∴．∵中，，，∴．取BC的中點(diǎn)H，連接AH，如圖所示：∴，，∴，∴△AHC是等邊三角形，∴，∴．（2）過A作，垂足為點(diǎn)D．中，∵，，∴．同理：．中，，∴，∴．∴，，∴，∴所求函數(shù)解析式為，∵點(diǎn)P在線段CB上，且不與點(diǎn)B重合，∴，∴定義域?yàn)椋海?）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，由（2）可知：，②當(dāng)點(diǎn)P在線段CB延長線上時(shí)，過A作，垂足為點(diǎn)M．如圖所示：∵，，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及直角三角形斜邊中線定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)的圖像與一個(gè)反比例函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，AB=3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線AB上是否存在點(diǎn)C，使點(diǎn)C到直線OA的距離等于它到點(diǎn)B的距離？若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)已知點(diǎn)P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)的坐標(biāo)為：或或或【分析】（1）先求解的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式，從而可得答案；（2）分兩種情況討論：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，則如圖，作的角平分線交于過作于交軸于則再利用角平分線的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)，勾股定理可得答案；（3）畫出圖形，分4種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理可得答案.【解析】（1）解：AB⊥x軸，AB=3，則設(shè)反比例函數(shù)為所以反比例函數(shù)為（2）解：存在，或；理由如下：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，則則而如圖，作的角平分線交于過作于交軸于則而而設(shè)解得：綜上：或（3）解：如圖，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)解得：綜上：的坐標(biāo)為：或或或【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡與二次根式的除法運(yùn)算，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵.12．（2022·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)PQ、CQ，PQ與邊AB交于點(diǎn)D．(1)求∠B的度數(shù)；(2)聯(lián)結(jié)BQ，當(dāng)∠BQC＝90°時(shí)，求CQ的長；(3)設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．【答案】(1)30°(2)(3)y＝（0＜x＜6）【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）求出，由直角三角形的性質(zhì)得出．由勾股定理可得出答案；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明為等邊三角形，由勾定理得出，則可得出答案．（1）解：，，，，，，，，；（2）解：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，垂直平分，，，，，，，．；（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，為等邊三角形，，，，，，，，，關(guān)于的函數(shù)解析式為．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．13．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按圖所示的方法將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊AB上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求折痕AD長．(2)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AP＝x，DP＝y(tǒng)．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．(3)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求AP的長．【答案】(1)(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為(3)PA的值為或或6【分析】（1）根據(jù)題意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，設(shè)CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根據(jù)BD2=C′D2+C′B2，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）根據(jù)題意直接利用勾股定理進(jìn)行分析即可解決問題；（3）根據(jù)題意分三種情形：①PA=PD，②AP=AD，③當(dāng)PD=AD時(shí)，分別求解即可．（1）解：如圖1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，設(shè)CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在C'D左側(cè)，AC=AC'=3，則PC'=3-x，∵，∴．當(dāng)點(diǎn)P在C'D右側(cè)，同理可得．∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．（3）如圖3中，①當(dāng)PA=PD時(shí)，設(shè)PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②當(dāng)AD=AP′=時(shí)，即P在P′時(shí)，△ADP是等腰三角形，③當(dāng)PD=AD時(shí)，點(diǎn)P在AB的延長線上．如圖4，AP=2AC'=6．綜上所述，滿足條件的PA的值為或或6．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由分類討論的思想思考問題．14．（2022·上海·八年級(jí)開學(xué)考試）如圖1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=，點(diǎn)D在射線BC上，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑畫弧交AB邊AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交邊AC于點(diǎn)F，射線ED交射線AC于點(diǎn)G．(1)求證：EA=EG；(2)若點(diǎn)G在線段AC延長線上時(shí)，設(shè)BD=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；(3)聯(lián)結(jié)DF，當(dāng)△DFG是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長度．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）在BA上截取BM=BC=2，在Rt△ACB中，由勾股定理，可得AB=4，進(jìn)而可得∠A=30°，∠B=60°；由DE=DB，可證△DEB是等邊三角形，∠BED=60°，由外角和定理得∠BED=∠A+∠G，進(jìn)而得∠G=30°，所以∠A=∠G，即可證EA=EG；（2）由△DEB是等邊三角形可得BE=DE，由BD=x，F(xiàn)C=y，得BE=x，DE=x，AE=AB-BE=4-x，在Rt△AEF中，由勾股定理可表示出，把相關(guān)量代入FC=AC-AF，整理即可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，x取得最小值1，G在線段AC延長線上,可知，D點(diǎn)不能與C點(diǎn)重合，所以x最大值小于2，故可得1≤x<2；（3）連接DF，根據(jù)等腰三角形的判定定理，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，分三種情況①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)③當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算即可得BD的長．(1)如圖，在BA上截取BM=BC=2，Rt△ACB中，∠C=90°∵AC=2，BC=2，∴AB=∴AM=AB-BM=2，∴CM=BM=AM=2，∴△BCM是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠A=30°，∵DE=DB，∴△DEB是等邊三角形，∴∠BED=60°，∵∠BED=∠A+∠G，∴∠G=30°∴∠A=∠G，∴EA=EG．(2)∵△DEB是等邊三角形，∴BE=DE設(shè)BE=x，則DE=x，AE=AB-BE=4-x∵∠A=30°，∠AEF=90°，∴EF=，Rt△AEF中，∴∵FC=AC-AF，∴y=定義域：1≤x<2(3)連接DF，Rt△ACB中，∠C=90°∴∵AC=2，BC=2，BD=x，∴AB=4，EA=EG=4-x，，，①當(dāng)時(shí)，在Rt△DCG中，∴，，解得：（舍去），；②當(dāng)時(shí)，在Rt△DCG中，∠G=30°，∴DG=2DC，∴CG=∴，解之得：；③當(dāng)時(shí)，在Rt△DCF中，，∴，，解得：；綜上所述：BD的長為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定等有關(guān)知識(shí)，正確進(jìn)行分析，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，注意分類思想的運(yùn)用．15．（2022·上海市南洋模范中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，是邊上不與點(diǎn)、重合的任意一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)如果設(shè)，，求與的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可證明；（2）根據(jù)，可得，根據(jù)勾股定理又可得出用表示的形式，換成等式即可得出與的函數(shù)解析式；（3）根據(jù)（1）可知，，，易得出，，即是定值，又知，即可證明是定值，再用表示出的面積，求出，即可求出．(1)證明：在中，，是的中點(diǎn)，．在中，，是的中點(diǎn)，，．(2)解：在中，，，，．由勾股定理得，，，在中，，，，，，，由，；(3)解：是斜邊的中點(diǎn)，，．，是斜邊的中點(diǎn)，同理可得：，，即，，，為等腰三角形，過點(diǎn)作的垂線，，由勾股定理得：，，，解得：，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，含角的直角三角形以及勾股定理的知識(shí)，難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．16．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）在直角梯形中，，，，聯(lián)結(jié)，如圖（a）．點(diǎn)沿梯形的邊，按照點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的距離為，．（1）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中折線所示．則______，_____，_____．（2）在（1）的情況下，點(diǎn)按照點(diǎn)移動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是否能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有能使為等腰三角形的的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）5，3，1；（2）2或或或【分析】（1）由圖（b）得：AB＝5，作DE⊥AB于E，則DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝4，得出CD＝BE＝AB?AE＝1；（2）分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)；②點(diǎn)P在BC上時(shí)；③點(diǎn)P在AD上時(shí)；由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．【解析】解：（1）由圖（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖1所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB?AE＝1，故答案是：5，3，1；（2）解：可能；理由如下：分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，當(dāng)DP＝DB時(shí)，BP＝2BE＝2，當(dāng)BP＝BD時(shí)，BP＝BD＝；②點(diǎn)P在BC上時(shí)，存在PD＝PB，設(shè)PD=BP=m，則CP=3-m，∴，解得：m=，∴BP=；③點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)BP＝BD時(shí)，則BP＝BD=，當(dāng)時(shí)，則AP=5-，過點(diǎn)P作PM⊥AB，則sinA=，cosA=，∴PM=（5-）=3-，AM=（5-）=4-，∴BM=5-（4-）=1+，∴PB==，綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的的值為：2或或或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．17．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，，OB＝2，∠AOB的平分線OC交AB于C，過作與垂直的直線．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）OC＝，BC＝；（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)P在OC上Q在ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2），設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M，當(dāng)為何值時(shí)，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．【答案】（1）2,2；（2）；（3）或【分析】（1）先求出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出OA，求出AB，在△AOC中，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于OC的方程，求出OC即可；（2）有四種情況：①當(dāng)P在BC上，Q在OC上時(shí)，t<2，過P作PH上OC于H，求出PH，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②當(dāng)t=2時(shí)，P在C點(diǎn)，Q在O點(diǎn)，此時(shí)，△CPQ不存在；③當(dāng)P在OC上，Q在ON上時(shí)，過P作PG上ON于G，過C作CZ上ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面積，相減即可；④t=4時(shí)，過作于，于，P在O點(diǎn)，Q在ON上，求出BM根據(jù)三角形的面積公式求出即可；（3）有三種情況：①OM=PM時(shí)，求出OP=2OQ，代入求出即可；②PM=OP時(shí)，此時(shí)不存在等腰三角形；③OM=OP時(shí)，過P作PG上ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t-2，即可求出答案.【解析】（1），，，，平分，，，在中，，，，故答案為：2，2；（2）①當(dāng)P在BC上，Q在OC上時(shí)，，則，過作于，，，，即，②當(dāng)時(shí)，在C點(diǎn)，Q在O點(diǎn)，此時(shí)，△CPQ不存在；，③當(dāng)P在OC上，Q在ON上時(shí)，過P作PG上ON于G，過C作CZ上ON于Z，，，，，，，即，④當(dāng)時(shí)，過作于，于，P在O點(diǎn)，Q在ON上，,由（1）知，，，，，，綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式是：；（3）如圖，，，，，平分，，，①時(shí)，，，，，解得：，②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，此時(shí)不存在；③當(dāng)時(shí)，過作于，，，，，，，，，解得：．綜上所述，當(dāng)為或者時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，函數(shù)自變量的取值范圍，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，運(yùn)用了方程思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．18．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，AE=AF．連接CE、CF．（1）求證：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①當(dāng)AF=時(shí)，設(shè)，求與的函數(shù)關(guān)系式；（不需要寫定義域）②當(dāng)AF=2時(shí)，求△CEF的邊CE上的高．【答案】（1）見解析；（2）①；②．【分析】（1）先證明△ACD≌△ACB，再證明△CAF≌△CAE即可；（2）①分別求出AO，EO和CO的長，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；②先求出CE的長，再求出△CEF的面積即可．【解析】（1）證明：連接AC，∵∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ACD和RT△ACB中，，∴△ACD≌△ACB（HL），∴∠CAF=∠CAE，在△CAF和△CAE中，，∴△CAF≌△CAE(SAS)，∴CE=CF；（2）①設(shè)AC與EF交于點(diǎn)O，∵AE=AF，∠BAD=60°∴△AFE是等邊三角形，由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，∴AC⊥FE，∵AF=x，∴EF=x，F(xiàn)O=，AO=，∵∠ADC=90°，∠CAF=30°，CD=，∴AC=，∴CO=-，∵，∴；②作FH⊥EC于H，∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，∴AC=2CD=4，AD=，∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，由（2）①可得：當(dāng)AF=2時(shí)，S△EFC=，又∵S△EFC=CE?FH，∴3=×2FH，∴FH=，∴△CEF的邊CE上的高為．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，求高想到求面積，屬于中考常考題型．19．（2020·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，，平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線于，分別交直線、、于點(diǎn)、、．（1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)（如圖2），求證：；（2）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，寫出線段和線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）請(qǐng)直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）CD=2CE，證明見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，CD=BN+CE；當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)，CD=BN-CE；當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)，CD=CE-BN．【分析】（1）連接ND，先由已知條件證明DN=DC，再證明BN=DN即可；（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE，過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'．過點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于G，再證明△BNM≌△CGM問題得證；（3）BN、CE、CD之間的等量關(guān)系要分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)；由（2）即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：連接ND，如圖2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直線l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是線段NC的中垂線，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系為CD=2CE，理由如下：過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'，過點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于點(diǎn)G，如圖3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∵CG∥AB，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之間的等量關(guān)系：當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，CD=BN+CE；理由如下：過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'，如圖3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)，CD=BN-CE；理由如下：過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'，如圖4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN-CE；當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)，CD=CE-BN；理由如下：過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'，如圖5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE-BN．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，垂足為，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，設(shè)．（1）用含的代數(shù)式表示線段的長；（2）設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）若為直角三角形，求出的長．【答案】（1）；（2），；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意可得△ABC和△BPF為等邊三角形，由及等邊三角形的性質(zhì)得出PF=GF=x，從而表示出DG=BF+FG-BD=2x-1；（2）由含30°直角三角形的性質(zhì)表示出DE，由（1）可表示出DF，再根據(jù)三角形面積的計(jì)算公式即可解答；（3）若為直角三角形，則∠PFE=90°或∠PEF=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．【解析】解：（1）∵在中，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵∴∠BPF=∠BAC=∠BFP=60°，∴△BPF為等邊三角形，∴BF=BP=PF=x，∠PFC=120°，∵∴∠BPE=90°，∴∠FPE=30°，∴∠FGP=30°，∴PF=GF=x又∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，∴DG=BF+FG-BD=2x-1故（2）由（1）可知DF=BD-BF=1-x，∵∠FGP=30°，∠ADG=90°，∴EG=2DE由勾股定理得：，∴∴，∴∵，解得，∴定義域?yàn)椋海?）∵∠FPG=30°，∴若為直角三角形，則∠PFE=90°或∠PEF=90°，①當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，∠EFD=120°-90°=30°，∴△EFG為等腰三角形，∴DF=DG∵DF=1-x，DG=2x-1，∴1-x=2x-1解得：②當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，∠FED=90°-60°=30°，∴DE=，∵，DF=1-x，∴，解得：綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用上述幾何知識(shí)進(jìn)行推理求解，注意分類討論思想的運(yùn)用．21．（2022·上海·同濟(jì)大學(xué)附屬七一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H作直線l⊥AO于H，分別交直線AB、AC、BC、于點(diǎn)N、E、M．（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)（如圖2），求證：BN=CD；（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請(qǐng)直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2）CD=2CE；（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，CD=BN+CE；當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)，CD=BN-CE；當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)，CD=CE-BN【分析】（1）連接ND，先由已知條件證明：DN=DC，再證明BN=DN即可；（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE，過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'．過點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于G，再證明△BNM≌△CGM問題得證；（3）BN、CE、CD之間的等量關(guān)系要分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)．【解析】（1）證明：連接ND，∵AO平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵直線l⊥AO于H，∴∠4=∠5=90°，∴∠6=∠7，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是線段NC的垂直平分線，∴DN=DC，∴∠8=∠9，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠3，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠3，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）如圖，當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE.證明：過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'，由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠4=∠3，NN'=CE，過點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于G，∴∠4=∠2，∠B=∠1，∴∠2=∠3，∴CG=CE，∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，∴△BNM≌△CGM，∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）BN、CE、CD之間的等量關(guān)系：當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，CD=BN+CE；當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)，CD=BN-CE；當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)，CD=CE-BN.22．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是等邊三角形．(1)在y軸正半軸取一點(diǎn)E，使得是一個(gè)等腰直角三角形，與交于M，已知，求．(2)若等邊的邊長為6，點(diǎn)C在邊上，點(diǎn)D在邊上，且．反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，求反比例函數(shù)解析式．（此題無需寫括號(hào)理由）【答案】(1)；(2)．【分析】（1）過M作軸交x軸于點(diǎn)H，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，再在中，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出即可；（2）過C作軸交x軸于點(diǎn)F，過D作軸交x軸于點(diǎn)G，設(shè)，分別用含a的代數(shù)式表示出C點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可．【解析】（1）解：如圖，過M作軸交x軸于點(diǎn)H，設(shè)，∵，是等腰直角三角形，∴，，∴也是等腰直角三角形，即，∵，∴，解得：，又∵是等邊三角形，∴，∴，∴，在中，，即，解得：，（舍），∴；（2）解：如圖，過C作軸交x軸于點(diǎn)F，過D作軸交x軸于點(diǎn)G，設(shè)，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，，∵點(diǎn)C和點(diǎn)D在上，∴，解得：，∴反比例函數(shù)解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，作出合適的輔助線，求出相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．23．（2022·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時(shí)，試說明MN＝BM+CN．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN＝BM+CN還成立嗎？答：．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)見解析(2)一定成立(3)MN＝NC﹣BM【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到∠PBC＝∠＝30°，進(jìn)而得到∠PBM＝∠PCN＝90°，證明Rt△PBM≌Rt△PCN，得到∠BPM＝∠CPN＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）延長AC至H，使CH＝BM，連接PH，證明△PBM≌△PCH，得到PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，再證明△MPN≌△HPN，得到MN＝HN，等量代換得到答案；（3）在AC上截取CK＝BM，連接PK，仿照（2）的方法得出結(jié)論．【解析】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN為等邊三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN．（2）解：一定成立，理由如下：延長AC至H，使CH＝BM，連接PH，如圖所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN，在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN，故答案為：一定成立．（3）解：在AC上截取CK＝BM，連接PK，如圖所示，在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS），∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK，∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN，在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN，∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24．（2021·上海民辦行知二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）閱讀材料：兩點(diǎn)間的距離公式：如果直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B兩點(diǎn)的距離AB＝．則AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若點(diǎn)A（4，1），B（2，3），則AB＝根據(jù)上面材料完成下列各題：(1)若點(diǎn)A（﹣2，3），B（1，﹣3），則A、B兩點(diǎn)間的距離是．(2)若點(diǎn)A（﹣2，3），點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，求B點(diǎn)坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)A（x，3），B（3，x+1），且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，求x的值．【答案】(1)(2)或或或(3)【分析】（1）直接利用AB＝計(jì)算即可；（2）分兩種情況討論：點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，設(shè)或再利用可得列方程，再解方程即可；（3）直接利用列方程，再解方程即可.【解析】（1）解：點(diǎn)A（﹣2，3），B（1，﹣3），則A、B兩點(diǎn)間的距離是：故答案為：（2）解：點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，設(shè)或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A（﹣2，3），且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，或或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A（﹣2，3），且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，或解得：或（3）解：點(diǎn)A（x，3），B（3，x+1），且A、B兩點(diǎn)間的距離是5，整理得：解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求解兩點(diǎn)之間的距離，一元二次方程的解法，掌握“兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則A、B兩點(diǎn)的距離AB＝”是解本題的關(guān)鍵.25．（2021·上海民辦行知二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點(diǎn)B分別作x軸和y軸的平行線交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)A，C．(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)B是y＝（x＞0）的圖象上任意一點(diǎn)，求△ABC的面積．(3)OC平分OA與x軸正半軸的夾角，將△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，點(diǎn)B′落在OA上，求四邊形OABC的面積．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由軸，軸，可得A、C的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，代入即可得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）設(shè)，由（1）同理得，即可得出△ABC的面積；（3）延長BC交x軸于D點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)可得CD＝CB'，再證Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，從而解決問題．（1）解：（1）∵軸，B（1，2），∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，即C（1，1），∵軸，∴當(dāng)y＝2時(shí)，x＝，即；（2）解：當(dāng)點(diǎn)B是（x＞0）的圖象上任意一點(diǎn)時(shí)，設(shè)，由（1）同理得，∴S△ABC＝AB×BC＝；（3）解：延長BC交x軸于D點(diǎn)，∵軸，軸，則∠ABC＝90°，∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴CD⊥x軸，∵將△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，點(diǎn)B′落在OA上，∴∠CB'O＝∠ABC＝90°，∴CB'⊥OA，∵OC平分∠AOD，CD⊥x軸，CB'⊥OA，∴CD＝CB'，在Rt△OCD和Rt△OCB'中，，∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），∴，由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝，∴四邊形OABC的面積為．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練的運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．26．（2022·上海·八年級(jí)期末）如圖1，在中，，是的中點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作的垂線，交射線于．（1）如圖2，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；（2）如圖3，如果，求的長；（3）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解；（2）PQ=；（3），，【分析】（1）在中，，是的中點(diǎn)可得DC=AD=BD，可求∠DCB=∠DBC=30°，由外角性質(zhì)∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，由QB⊥DB，可求∠DQB=90°-∠QDB=30°，可得DQ=2DB=2DC，由D與P重合，可證PQ=2PC；（2）過B作BH⊥PQ于H，由AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，可求AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，由∠HCB=30°，∠CHB=90°，可求CB=2BH=可得BH=，由∠PBQ=90°，BP=BQ，可求PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，由勾股定理求出CH=，當(dāng)CP≤9時(shí)PH=9-PC=9-x，當(dāng)CP時(shí)PH=PC-9=x-9，分兩種情況，在RtRt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2即可求出。【解析】解：（1）在中，，是的中點(diǎn)，∴DC=AD=BD，∴∠DCB=∠DBC=30°，又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，∵QB⊥DB，∴∠DQB=90°-∠QDB=30°，∴DQ=2DB=2DC，∵D與P重合，PQ=2PC；（2）過B作BH⊥PQ于H，∵AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，又因?yàn)椤螲CB=30°，∠CHB=90°，∴CB=2BH=，∴BH=，∵∠PBQ=90°，BP=BQ，∴PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，CH=，當(dāng)CP≤9時(shí)PH=9-PC=9-x，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(9-x)2+27，即，當(dāng)CP時(shí)PH=PC-9=x-9，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(x-9)2+27，即，【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)函數(shù)關(guān)系，掌握直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是在Rt△PBH中利用勾股定理構(gòu)造等式求出函數(shù)關(guān)系．27．（2022·上海市黃浦大同初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）已知：如圖，直線上有一點(diǎn)，直線上有一點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)（其中點(diǎn)Q的坐標(biāo)用含k的代數(shù)式表示）．(2)過點(diǎn)P分別作軸，軸，過點(diǎn)Q分別作軸，如果的面積等于的面積的兩倍，請(qǐng)求出k的值．(3)在（2）的條件下，在直線上是否存在點(diǎn)，使？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）將點(diǎn)代入求得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將代入即可求得的坐標(biāo)，（2）根據(jù)，，求得面積根據(jù)題意列出方程，即可求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，以及列出方程，即可求解．【解析】（1）解：∵點(diǎn)在直線上∴，∴,∵點(diǎn)在直線∴解得，∴，（2）∵∴∵，，∴，，∴，，，，，，∵的面積等于的面積的兩倍∴，即，解得，則，（3）當(dāng)時(shí)，，則，的解析式為，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴;綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，分類討論是解題的關(guān)鍵．28．（2022·上海·八年級(jí)期末）已知在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)（如圖），求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，且在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)（如圖2），用含字母的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，求的值．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）過A作AC⊥OB，根據(jù)三角形AOB為等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，確定出A坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；（2）過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE與三角形ABD全等，由確定三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，進(jìn)而表示出ED及OE+BD的長，即可表示出B坐標(biāo)；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到A與B橫縱坐標(biāo)乘積相等，列出關(guān)系式，變形后即可求出的值．【解析】解：（1）如圖1，過A作AC⊥OB，交x軸于點(diǎn)C，∵OA=AB，∠OAB=90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AC=OC=BC=OB=3，∴A（3，3），將x=3，y=3代入反比例解析式得：3=，即k=9，則反比例解析式為y=；（2）如圖2，過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAD=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BAD=∠AOE，在△AOE和△BAD中，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE=BD=n，OE=AD=m，∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，則B（m+n，n-m）；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到mn=（m+n）（n-m），整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0，這里a=1，b=1，c=-1，∵△=1+4=5，∴=，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，則=．【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及一元二次方程的解法，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．29．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)試確定此反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．判斷點(diǎn)是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；(3)已知點(diǎn)也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中），過點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)．若線段上存在一點(diǎn)，使得的面積是，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的值．【答案】(1)(2)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上(3)【分析】（1）把點(diǎn)代入函數(shù)解析式，即可；（2）過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理，求出的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式，判斷點(diǎn)是否在此反比例函數(shù)的圖象上；（3）把點(diǎn)代入反比例函數(shù)的解析式，得到關(guān)于的一元二次方程；根據(jù)題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)的面積是，根據(jù)三角形的面積公式及，得出的值，最后將所求的代數(shù)式變形，把的值代入，即可求出的值．【解析】（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴∴∴反比例函數(shù)的解析式為：．（2）過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)∵點(diǎn)∴，∴∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段∴，∵∴∴∴∴∴∴點(diǎn)∵將代入中，得∴點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上．（3）∵點(diǎn)在此反比例函數(shù)的圖象上∴∴∴∵，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為∴點(diǎn)∵∴∴∴∵∴∴∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，把看成一個(gè)整體，代入式子，進(jìn)行計(jì)算．30．（2022·上海·上外附中八年級(jí)期末）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，是等邊三角形．(1)在軸正半軸取一點(diǎn)，使得是一個(gè)等腰直角三角形，與交于，已知，求；(2)若等邊的邊長為6,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上,且.反比例函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),求反比例函數(shù)解析式.(此題無須寫括號(hào)理由)【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，得△MOB是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出MH=3，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出MO的值；（2）過作軸交軸于點(diǎn)，過作軸交軸于點(diǎn)，設(shè)，通過解直角三角形COF和DBG得，，求出a的值，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可【解析】（1）如圖，過作軸交軸于點(diǎn)，設(shè)因?yàn)椋且粋€(gè)等腰直角三角形所以，．所以直角也是等腰直角三角形，即由得：．又是等邊三角形，所以因此：，所以在中，，即：，解得：，(舍)所以．（2）過作軸交軸于點(diǎn)，過作軸交軸于點(diǎn)設(shè)因?yàn)槭堑冗吶切危裕裕裕驗(yàn)椋裕虼耍栽谥校谥校虼耍驗(yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在上則：

解得：，所以反比例函數(shù)解析式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式，用a表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．31．（2018·上海浦東新·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B是x軸正半軸上一點(diǎn)，且⊥．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）先在的內(nèi)部求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到的兩邊OA、OB的距離相等，且PA=PB.（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上標(biāo)注清楚點(diǎn)P）【答案】（1）;（2）點(diǎn)的坐標(biāo)是；（3）見解析.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）先求出點(diǎn)A縱坐標(biāo)，再求出反比例系數(shù)k即可得出反比例函數(shù)的解析式；（2）過點(diǎn)A作AC⊥OB⊥，在RT△AOC中先求出OA，再在RT△AOB中求出OB即可解決問題；（3）畫出∠AOB的平分線OM，線段AB的垂直平分線EF，OM與EF的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P，根據(jù)PA2=PB2，列出方程即可解決問題．【解析】解：（1）由題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），∵點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖像上，∴.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，解得.∴反比例函數(shù)的解析式為.（2）過點(diǎn)作⊥，垂足為點(diǎn)，可得，.∵⊥，∴∠°．由勾股定理，得．∴．∴∠°.∴∠°.∵⊥，∴∠°.∴∠°.∴.∴.∴點(diǎn)的坐標(biāo)是.（3）如圖所示.如圖作∠AOB的平分線OM，AB的垂直平分線EF，OM與EF的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，∵∠POB=30°，∴可以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，∵PA2=PB2，解得m=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)間距離公式列方程解決問題．32．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；(3)化簡：．【答案】(1)(2)28或12(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式展開，即可用m、n表示出a、b；（2）利用完全