基于問題解決的高中數學情境教學：以“隨機抽樣”教學為例在高中數學教學中，培養學生的問題解決能力遠比單純記憶公式更為重要。本次情境教學案例以隨機抽樣為主題，旨在通過實際場景引導學生探究數學在現實中的應用，提升他們的數學思維和統計學技能。一、利用生活體驗問題情境，形成問題意識創設生活化的問題情境有助于學生形象、直觀地理解問題本身的含義，同時便于培養學生在生活中用數學眼光看待實際問題的思維。以“隨機抽樣”為例，首先場景設定為學校舉辦了一次奶茶品嘗活動，旨在了解學生對不同奶茶品牌的喜好，以便在學校食堂引入更受歡迎的奶茶。每個學生都有機會品嘗來自不同品牌的奶茶，然后投票選擇自己最喜歡的。老師：早上好，同學們！我們今天有一個有趣的活動——一起來品嘗不同品牌的奶茶。接下來，我們將借此機會了解大家對奶茶的喜好。如果你是學校食堂負責人，你會怎樣了解全校同學對不同品牌奶茶的喜好呢？學生：我可能會在班級群里發一個投票，看看大家都喜歡哪個牌子。老師：那是一個好方法，但是你有沒有考慮到每個班級的學生口味可能不太一樣呢？我們希望能夠全面了解整個學校學生的喜好，所以有沒有其他更全面的方式呢？學生：難道要全校所有同學都嘗一遍嗎？這樣好像太費時間了。老師：不一定需要每個人都嘗試，我們可以通過一種“隨機抽樣”的方法來了解整個學校學生的口味。這樣可以更有效地了解大家的喜好。你們知道“隨機抽樣”是什么嗎？學生：是不是就是從整個群體里隨機挑一部分人參與調查？老師：很好！就是這個意思。這樣我們就能夠更全面、更客觀地了解學校同學的口味，而不僅僅是在一個小范圍內。讓我們來思考一下，如何設計一個合理的隨機抽樣方案呢？假設我們只在一個班級里進行投票，會不會得出一個準確反映全校同學口味的結果呢？學生：可能不太準確，因為每個班級學生的口味可能有差異。老師：對，你說得很對。如果我們希望了解整個學校的情況，我們就需要考慮到所有班級的差異。那么，如果我們要從每個班級中選擇代表性的學生，應該怎么辦呢？學生：我們可以從每個班級中隨機選擇一些人來參與。老師：很好，你提到了隨機選擇，這正是隨機抽樣的核心。通過隨機抽樣，我們能夠在全體學生中公平地選擇代表樣本，避免了僅僅在一個班級中進行調查可能導致的片面性。學生：但是，老師，我們要怎么確保隨機抽樣的公正性呢？老師：這是一個很關鍵的問題。我們可以使用不同的方法，比如使用學生的學號進行編號，然后利用隨機數生成器或其他方法進行抽樣。這樣，每個同學都有平等的機會被選中，確保了抽樣的公正性。學生：原來如此，這樣就可以更全面地了解大家的口味了。老師：是的，通過合理的隨機抽樣，我們可以在不浪費太多時間的情況下獲取更全面、更準確的信息。這也是數學在實際中的應用之一。你們覺得呢？學生：感覺數學還挺實用的，以前沒想到還能這樣運用。老師：數學在解決實際問題中發揮著重要作用，而隨機抽樣就是其中一個很好的例子。希望大家在日常生活中也能靈活運用數學的思維方式，發現更多有趣的問題。通過這種生活化的問題情境，學生更直觀地理解了隨機抽樣的概念，并開始思考如何在實際生活中運用這個方法。教師引導學生從不同角度思考問題，培養了他們對問題解決的主動思考意識。二、設置猜想驗證問題情境，探明問題根本在問題情境中設置猜想并進行驗證可以引導學生主動進行問題探究并逐步探明問題的根本。我們繼續以“隨機抽樣”為例進行詳細闡述。通過生活化問題情境的創設，學生對隨機抽樣的方法產生了興趣，并且想知道是否存在一種更簡單、更直觀的方法來進行奶茶品嘗調查。他們希望能夠通過一種猜想驗證的方式探明問題的根本，即是否有一種模式能夠更有效地了解全校學生對奶茶的喜好。老師：那么，同學們，我們現在已經了解到了隨機抽樣的方法，但是你們有沒有想過是否存在一種更簡便的方式可用來推斷全校學生對奶茶的喜好呢？學生：可以根據學生的年級來抽樣，比如每個年級抽取一些學生。老師：這是一個有趣的猜想！那么，我們來驗證一下這個猜想。你們認為根據年級抽樣能夠代表全校學生的喜好嗎？學生：如果每個年級學生的口味都相似的話，應該可以吧。老師：非常好的分析！我們現在來看看之前的奶茶品嘗活動記錄，整理出每個年級學生對奶茶的喜好情況。我們將根據這些數據來驗證你們的猜想。我們先來看看下面這份模擬數據：（見表1）學生：我們還需要考慮到每個年級的學生人數可能會不一樣。怎么處理這個問題呢？老師：很敏銳的問題！我們可以考慮按照每個年級學生人數的比例進行抽樣，這樣可以更公平地代表每個年級學生的喜好。你們覺得怎么樣？學生：好像挺合理的，這樣每個年級學生的喜好就能夠比較均衡地反映出來。通過這個猜想驗證情境，學生在老師的引導下思考了根據年級抽樣的可能性，并且在實際數據處理中考慮了人數的差異。三、融入數學史故事情境，升華問題內涵在問題解決的背景下，高中數學教師在創設數學情境中應當積極融入數學史故事情境。這樣不僅可以激發學生的學習興趣，還能幫助學生更加深入地了解數學歷史。如在隨機抽樣中，老師決定通過一個數學史故事情境來深入探討隨機抽樣的問題，激發學生對數學學習的興趣。故事的背景：20世紀初，數學家阿倫·圖靈在研究計算機科學的過程中提出了著名的“隨機數生成器”概念。他意識到在計算機中引入一定的隨機性可以增加算法的復雜性和不可預測性。老師：今天，我們要談論一個數學史上的故事，它涉及計算機科學奠基人之一——阿倫·圖靈。在20世紀初，他提出了一個非常有趣的概念——隨機數生成器。這個概念是如何幫助計算機更好地完成任務的呢？學生：隨機數生成器是用來生成隨機數的工具，但計算機怎么可能生成真正的隨機數呢？老師：很好的問題！實際上，圖靈意識到真正的隨機數在計算機中是很難實現的，因此他提出的是偽隨機數生成器。這個生成器通過一種算法產生看似隨機的數字序列。現在，我們把這個概念與我們之前討論的隨機抽樣聯系起來。學生：難道這和我們平時在調查中用的隨機樣本有關系嗎？老師：正是如此！圖靈的想法啟發了我們在統計學和調查中使用隨機抽樣的方法。現在，我們來思考一下，如果圖靈在當時要進行一個有趣的實驗，如研究當時英國人對茶的口味偏好，他可能會如何設計隨機抽樣實驗？學生：也許他可以從不同地區隨機選取一些家庭，然后詢問他們對茶的喜好。老師：很好的點子！這就是一個應用隨機抽樣的例子。圖靈可以通過從不同地區隨機選擇一些家庭，了解到不同地區人們的口味偏好，而不僅僅是在一個地方調查。這樣，他就可以更全面地了解整個英國的人們對茶的口味。學生：那我們能不能自己設計一個實驗，使用圖靈的偽隨機數生成器來進行隨機抽樣呢？老師：有趣的提問！實際上，我們可以嘗試使用偽隨機數生成器來設計一個實驗，了解同學們對不同學科的興趣。通過這樣的實踐，我們可以更好地理解圖靈的思想，并將其應用于解決實際問題。老師：我們剛才討論了圖靈的偽隨機數生成器，他在當時的計算機科學領域產生了深遠的影響。現在，我們來思考一下隨機抽樣和隨機數生成器在當代科技中的應用。有沒有同學知道一些現實中使用到隨機性的例子？學生：是不是密碼生成器用到了隨機數？老師：很聰明！沒錯，密碼生成器通常會使用偽隨機數生成器來增加密碼的復雜性，提高安全性。學生：在計算機游戲中，有些隨機事件的發生也可能用到隨機數吧？老師：沒錯！在游戲中，為了增強趣味性，設計者會使用隨機數來決定一些事件的發生，如道具的出現、敵人的行動等，使游戲更富挑戰性和變化性。通過融入數學史故事情境，學生不僅了解了數學的歷史，還將數學理論與實際問題相結合，拓展了對隨機抽樣的理解，提高了應用數學知識的興趣。四、開展活動創設問題情境，豐富問題內容為了加深學生對隨機抽樣的理解并提升學生對知識的實際應用能力，教師決定開展一場實際的隨機抽樣活動，以構建問題情境，豐富問題內容。學生將在活動中親身體驗隨機抽樣的過程，從而更深刻地理解相關概念。老師：大家好！今天我們將進行一次實際的隨機抽樣活動，通過這個活動來感受隨機抽樣的過程，也讓我們的學習更生動、有趣。學生：好期待這個活動！老師：首先，我們要確定我們調查的主題。你們有什么感興趣的話題可以進行樣本調查呢？學生：我們可以調查同學們對不同種類零食的喜好。老師：非常好！那么，我們將這個話題作為我們的調查對象。接下來，我們要確定如何進行隨機抽樣。有什么好的建議嗎？學生：我們可以寫下同學們的名字，然后隨機從中抽取。老師：好主意！現在請你們一起動手，寫下同學們的名字，并準備進行隨機抽樣。（學生動手寫下名字，教師輔助并提供指導。）學生：我們寫好了，接下來呢？老師：現在，我們進行抽樣。我將使用這個裝有名字的容器，搖一搖，然后抽出一個名字。這位同學將成為我們的樣本。（教師進行抽樣，抽出一個名字）學生：好刺激啊！這樣抽樣感覺很公平。老師：是的，隨機抽樣的過程就是這么簡單又有趣。接下來，你們可以分組進行實地調查，收集同學們對不同零食的喜好數據。（學生分組進行實地調查。）學生：老師，我們可以用什么圖表來展示我們的調查結果呢？老師：這是一個很好的問題！你們可以使用柱狀圖、餅圖等清晰地呈現同學們的喜好。這將是一個很有趣的展示環節。