高級中學名校試卷PAGEPAGE2山東省青島市九校聯盟2022-2023學年高二下學期期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.空間直角坐標系中，已知，則點A關于yOz平面的對稱點的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據空間直角坐標系的對稱性可得關于yOz平面的對稱點的坐標為，故選：C.2.若4名教師報名參加鄉村志愿支教活動，可以從A，B，C這3個學校中選報1個，則不同的報名方式有（）A.16種 B.24種 C.64種 D.81種〖答案〗D〖解析〗每位教師報名都有3種選擇，則4名教師報名方式有（種）.故選：D.3.質點M按規律做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質點M在時的瞬時速度為（）A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s〖答案〗B〖解析〗由，得，∴質點M在時的瞬時速度為36m/s.故選：B.4.拋物線上一點的縱坐標為2，則點與拋物線焦點的距離為（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由拋物線的準線方程為，焦點，因為拋物線上一點的縱坐標為2，根據拋物線的定義，可得點與拋物線焦點的距離為.故選：B.5.圓上的點到直線的最大距離是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓化為標準方程得，圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為所以圓上的點到直線的最大距離為.故選:C.6.從8名女護士和4名男醫生中，抽取3名參加支援鄉鎮救護工作，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數為（）A.112 B.32 C.56 D.12〖答案〗A〖解析〗∵從8名女護士，4名男醫生中選出3名，∴每個個體被抽到的概率是，根據分層抽樣要求，應選出名女護士，名男醫生，∴不同的抽取方法數為種.故選：A.7.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意可得，，，設，則，當時，，單調遞減，又，所以，即，即.故選：D.8.若函數存在增區間，則實數的取值范圍為A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函數不存在增區間，則函數單調遞減，此時在區間恒成立，可得，則，可得，故函數存在增區間時實數的取值范圍為．故選C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線的方程為：，則下列說法正確的是（）A.焦點為 B.漸近線方程為C.離心率e為 D.焦點到漸近線的距離為〖答案〗BC〖解析〗由方程可知則焦點為，漸近線方程為，即離心率為，焦點到漸近線的距離為故選：BC10.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，令，可得，所以A正確；含的項為，故，所以B錯誤；令，可得，又因為，故，所以C正確；令，可得，又由，故，所以D正確.故選：ACD.11.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳析九章算法》一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是（）A.B.第2023行的第1012個和第1013個數最大C.第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第7個數D.第34行中從左到右第14個數與第15個數之比為2：3〖答案〗ABD〖解析〗A選項，，，故A正確；B選項，由圖可知：第行有個數字，如果是奇數，則第和第個數字最大，且這兩個數字一樣大；如果是偶數，則第個數字最大，故第2023行的第1012個和第1013個數最大，故B正確；C選項，第6行，第7行，第8行的第7個數字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個數字是84，故C錯誤；D選項，依題意：第34行第14個數字是，第34行第15個數字是，所以，故D正確.故選：ABD.12.已知函數，則下列結論錯誤的是（）A.函數存在兩個不同的零點B.函數只有極大值沒有極小值C.當時，方程有且只有兩個實根D.若時，，則t的最小值為2〖答案〗BD〖解析〗對于A中，由，可得，解得，所以A正確；對于B中，由，令時，可得，當時，或，所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，所以是函數的極小值，是函數的極大值，所以B錯誤；對于C中，當時，，根據B可知，函數的最小值是，可得函數大致圖象，所以當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D中，由B知函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，其中，當時，即在區間時，可得，所以D錯誤.故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則曲線在處的切線方程為_________.〖答案〗〖解析〗，則，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.14.正項等比數列中，，是方程的兩個根，則_________.〖答案〗〖解析〗，是方程的兩個根，由韋達定理可得，正項等比數列中，有，所以.故〖答案〗為：15.盒中有個紅球，個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．〖答案〗〖解析〗記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故〖答案〗為：.16.已知函數，其導函數記為，則__________.〖答案〗2〖解析〗函數，則，顯然為偶函數，令，，，所以為奇函數，又為偶函數，所以，，所以.故〖答案〗為：2.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.設數列是公差為的等差數列，已知，（1）求數列的通項公式；（2）若，且的前n項和為，求.解：（1）因為數列是公差為的等差數列，且，所以，則或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴18.設函數．（1）求的單調區間；（2）當時，求的取值范圍．解：（1）因為定義域為，所以，因為，所以，所以當時，當時，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）由（1）可得在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19.2022年4月16日3名宇航員在太空歷經大約半年時間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航天科學家從左到右排成一排合影留念.求：（1）2名航天科學家站在左、右兩端總共有多少種排法；（2）3名宇航員互不相鄰的概率；（3）2名航天科學家之間至少有2名宇航員的概率.解：（1）第一步，先排2名航天科學家，第二步，再排3名宇航員，所以總共有（種）.（2）先排2名航天科學家，然后再插入3名宇航員，所以總共有（種），5人排成一排一共（種），所以所求的概率為：.（3）①當2名航天科學家之間有3名宇航員時，；②當2名航天科學家之間有2名宇航員時，，故.20.設橢圓：的離心率為，且短軸長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若在y軸上的截距為2的直線與橢圓C分別交于A，B兩點，O為坐標原點，且直線OA，OB的斜率之和等于12，求直線AB的方程解：（1）由題可得，由有，，解得，故所求橢圓方程為：.（2）由題意可知直線的斜率存在，設：，，，聯立，或，∴，，∴，，故直線AB的方程為.21.如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，．（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由．解：（1）依題意，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，故可設，由于，所以平面.（2）存在，理由如下：設，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長為或，使與平面所成角的正弦值為.22.已知函數.（1）判斷在上的單調性；（2）若，求證：.解：（1）因為，所以，因為，設，則在上是增函數，所以.所以時，單調遞減；時，，單調遞增，所以在上是減函數，在上是增函數.（2）由(1)知，因為，所以，因為在上是增函數，且，，所以存在，使得，即，且時，，，遞增，時，，遞減，所以時.設，則，所以在上是增函數，.即.山東省青島市九校聯盟2022-2023學年高二下學期期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.空間直角坐標系中，已知，則點A關于yOz平面的對稱點的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據空間直角坐標系的對稱性可得關于yOz平面的對稱點的坐標為，故選：C.2.若4名教師報名參加鄉村志愿支教活動，可以從A，B，C這3個學校中選報1個，則不同的報名方式有（）A.16種 B.24種 C.64種 D.81種〖答案〗D〖解析〗每位教師報名都有3種選擇，則4名教師報名方式有（種）.故選：D.3.質點M按規律做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質點M在時的瞬時速度為（）A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s〖答案〗B〖解析〗由，得，∴質點M在時的瞬時速度為36m/s.故選：B.4.拋物線上一點的縱坐標為2，則點與拋物線焦點的距離為（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由拋物線的準線方程為，焦點，因為拋物線上一點的縱坐標為2，根據拋物線的定義，可得點與拋物線焦點的距離為.故選：B.5.圓上的點到直線的最大距離是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓化為標準方程得，圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為所以圓上的點到直線的最大距離為.故選:C.6.從8名女護士和4名男醫生中，抽取3名參加支援鄉鎮救護工作，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數為（）A.112 B.32 C.56 D.12〖答案〗A〖解析〗∵從8名女護士，4名男醫生中選出3名，∴每個個體被抽到的概率是，根據分層抽樣要求，應選出名女護士，名男醫生，∴不同的抽取方法數為種.故選：A.7.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意可得，，，設，則，當時，，單調遞減，又，所以，即，即.故選：D.8.若函數存在增區間，則實數的取值范圍為A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函數不存在增區間，則函數單調遞減，此時在區間恒成立，可得，則，可得，故函數存在增區間時實數的取值范圍為．故選C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線的方程為：，則下列說法正確的是（）A.焦點為 B.漸近線方程為C.離心率e為 D.焦點到漸近線的距離為〖答案〗BC〖解析〗由方程可知則焦點為，漸近線方程為，即離心率為，焦點到漸近線的距離為故選：BC10.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，令，可得，所以A正確；含的項為，故，所以B錯誤；令，可得，又因為，故，所以C正確；令，可得，又由，故，所以D正確.故選：ACD.11.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳析九章算法》一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是（）A.B.第2023行的第1012個和第1013個數最大C.第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第7個數D.第34行中從左到右第14個數與第15個數之比為2：3〖答案〗ABD〖解析〗A選項，，，故A正確；B選項，由圖可知：第行有個數字，如果是奇數，則第和第個數字最大，且這兩個數字一樣大；如果是偶數，則第個數字最大，故第2023行的第1012個和第1013個數最大，故B正確；C選項，第6行，第7行，第8行的第7個數字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個數字是84，故C錯誤；D選項，依題意：第34行第14個數字是，第34行第15個數字是，所以，故D正確.故選：ABD.12.已知函數，則下列結論錯誤的是（）A.函數存在兩個不同的零點B.函數只有極大值沒有極小值C.當時，方程有且只有兩個實根D.若時，，則t的最小值為2〖答案〗BD〖解析〗對于A中，由，可得，解得，所以A正確；對于B中，由，令時，可得，當時，或，所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，所以是函數的極小值，是函數的極大值，所以B錯誤；對于C中，當時，，根據B可知，函數的最小值是，可得函數大致圖象，所以當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D中，由B知函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，其中，當時，即在區間時，可得，所以D錯誤.故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則曲線在處的切線方程為_________.〖答案〗〖解析〗，則，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.14.正項等比數列中，，是方程的兩個根，則_________.〖答案〗〖解析〗，是方程的兩個根，由韋達定理可得，正項等比數列中，有，所以.故〖答案〗為：15.盒中有個紅球，個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．〖答案〗〖解析〗記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故〖答案〗為：.16.已知函數，其導函數記為，則__________.〖答案〗2〖解析〗函數，則，顯然為偶函數，令，，，所以為奇函數，又為偶函數，所以，，所以.故〖答案〗為：2.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.設數列是公差為的等差數列，已知，（1）求數列的通項公式；（2）若，且的前n項和為，求.解：（1）因為數列是公差為的等差數列，且，所以，則或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴18.設函數．（1）求的單調區間；（2）當時，求的取值范圍．解：（1）因為定義域為，所以，因為，所以，所以當時，當時，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）由（1）可得在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19.2022年4月16日3名宇航員在太空歷經大約半年時間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航天科學家從左到右排成一排合影留念.求：（1）2名航天科學家站在左、右兩端總共有多少種排法；（2）3名宇航員互不相鄰的概率；（3）2名航天科學家之間至少有2名宇航員的概率.解：（1）第一步，先排2名航天科學家，第二步，再排3名宇航員，所