2022年中考數學壓軸題

1.如圖1,拋物線產一孚/+竽X+2火與X軸相交于4、8兩點(點/在點B的右側)，

與y軸相交于點C,對稱軸與x軸相交于點，，與/C相交于點廠

(1)點P是線段ZC上方拋物線上一點，過點尸作P。〃/C交拋物線的對稱軸于點°,

當面積最大時，點M、N在y軸上(點”在點N的上方)，MN=a，點、G在直

線/C上，求PM+NG+^GA的最小值.

(2)點E為8c中點，EF_Lx軸于尸，連接E”，將△EFH沿EH翻折得4E尸H,如圖

所示，再將沿直線8c平移，記平移中的為△￡尸"/A在平移過程中，

直線與x軸交于點R,則是否存在這樣的點R,使得△夫尸“為等腰三角形？若存在，

求出R點坐標.

解：⑴如圖1,拋物線產一殺2+孥x+2b與x軸相交于48兩點(點N在點2

的右側)，

：.A(6,0)；B(-2,0)；C(0,2V3),

直線ZC的解析式為：丫=-苧尢+2通，

,.?tanNC4O=塔，

NC4O=30°

過尸點作尸T'//QT,交AC于T,

設P(TH,-ni2+w+2A/3)>T'(TH,-+2^3),

則PT'=-m2+^^-m+2y/3—(—^-m+2y/3)=一與(w-3)

O□5OZ

?：PQ〃AC,

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???四邊形Q7T'P是平行四邊形，

:.QT=PT',

當面積最大時，，。最大，即尸〃最大，

即機=3時，△40〃面積最大，

此時尸點坐標為(3,季).

過點G作GEJ_x軸于E,作x軸關于直線4c的對稱直線/,E的對稱點為E',將尸例

沿y軸向下平移百個單位至P'N,作點P'關于y軸的對稱點P",過P"作P'S，/

于S,則有

PM+NG吟GA=P"N+NG+GE'》P"S

373

???P(3,—),P"與P關于y軸對稱

“3V3

:.P”(-3,—),

2

VZCAO=30°,直線/與x軸關于直線力。對稱

：.ZCAS=ZCAO=30°,

：.ZSAO=60°

直線I的解析式為^二公;+6,則k=-tanZSAO=-tan60°=—V3

.?.尸一百了+4將力(6,0)代入得：0=—75x6+6,解得：b=65

?二直線/的解析式為y=-\/3x4-6V3,

?:P"S1.1

:?/P〃"=90°

9373

過點尸〃作P〃K〃工軸交ZS于K,則K(-,—),

22

9

z\

-l3)=125

2xz

YP"K〃工軸

:./P"KS=ZSAO=60°

P"S

*.*-----=sinZSL40

PHK

：.P"S=P"K?sin/"O=協1160°=

：.PM+NG+\GA的最小值=會省；

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(2)；產一32+竽x+2百=—噂(x-2)2+竽

???拋物線對稱軸為直線x=2,

：.H(2,0),

由(1)知：A(6,0)；5(-2,0)；C(0,2V3),

?.?點E為8c中點，EFLx軸于F,

：.E(-1,V3),F(-1,0)

1

，沿直線8c平移，各個點橫縱坐標變化為石，設XEF”沿直線8C平移后

的AE'F"H'各頂點坐標分別為

E'(-\+t,V3+V3z),H'(2+f,V3r)

則直線￡'H'解析式為卜=一聿+孥+竽/,令y=0,貝Ux=2+4f

：.R(2+430),

：.H'R2=[(2+t)-(2+4/)]2+(V3f-0)2=12尸，

H'F'2=[2+/-1)]2+(何—挈)2=4?-6Z+9,

F'R2=(2+4”#+(0—學/=16?+⑵+9,

?.?△R產，'為等腰三角形，

：.H'R2=H，F'2或"'F'2=p解或/R2=H，R2,

①當屋="，尸，2時，貝i]i2p=4p-6什9,解得：“=-|,/2=,

此時，R(-4,0)或H(5,0)

②當"F，2=尸，小時，則"-6什9=16於+12什9,解得：f=0或-J,

，=0不符合題意，七一*與①重復

③當尸'd=卬小時，田+⑵+9=12p，解得：八=，2=-|，與①重復

綜上所述，點A的坐標為A(-4,0)或R(5,0).

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圖1

2.如圖1,拋物線C：yuaf+fev經過點Z(-4,0)、8(-1,3)兩點，G是其頂點，將

拋物線C繞點。旋轉180°,得到新的拋物線C'.

(1)求拋物線C的函數解析式及頂點G的坐標；

(2)如圖2,直線/：y=依-當經過點力,。是拋物線C上的一點，設。點的橫坐標為

m連接。。并延長，交拋物線C'于點E,交直線/于點“，若DE=2EM,

求m的值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接ZG、AB,在直線QE下方的拋物線C上是否存在

點、P,使得NDEP=NG4B?若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.

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解：⑴將N(-4,0)、8(-1,3)代入產a7+6x中，得｛:",普=。

解司：二:

二拋物線C解析式為：y=-x2-4x,

配方，得：y—~~4x—-(x+2)-+4,...頂點為：G(-2,4)；

(2)；拋物線C繞點O旋轉180°,得到新的拋物線C'.

，新拋物線C'的頂點為：G'(2,-4),二次項系數為：a'=1

???新拋物線C的解析式為：7=(x-2)2-4=7-4x

將4(-4,0)代入y—kx—差中，得0=-4k—差，解得k=—5,

???直線/解析式為尸-|工-3

設。(〃?，-陽2-4加)，???Q、E關于原點。對稱，

：.OD=OE

?；DE=2EM

：.OM=2OD,

過點。作。尸_Lx軸于R過/作軸于R,

：.ZOFD=ZORM,

,/ZDOF=ZMOR

:AODFsAOMR

ORRMOM

?,-—--------o

??———4

OFDFOD

：?OR=2OF,RM=2DF

:.M(-2加,2〃/+8〃？)

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A2m2+Sm=一耳?(-2m)一可，

解得：加1=-3,加2=一引

?：m<-2

的值為：-3；

(3)由(2)知：加=-3,

：.D(-3,3),E(3,-3),(9E=3V2,

如圖3,連接8G,在△48G中，\'AB2=(-1+4)2+(3-0)2=18,BG2=2,AG2=

20

：.AB2+BG2=AG2

...△/8G是直角三角形，ZABG=90°,

?6/nAD鹿1

..tan/G/8=^=運，'

?；/DEP=NGAB

1

tanZZ)￡P=tanZGAB=可

在x軸下方過點。作。〃_LOE,在OH上截取。〃=3。￡=VL

過點E作歹軸于7,連接E〃交拋物線。于點P,點P即為所求的點；

■:EQ3,-3),

???ZEOT=45°

?.?/EOH=90°

：.ZHOT=45°

：.H(-1,-1),設直線E”解析式為丁=川+小

直線EH解析式為y=-3-

13

解方程組，y=R_],

y=—x2—4x

.7+>/73_,..\'"73-7

..x=--廠或丁一，

點尸的橫坐標為：答或四二.

44

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圖3

圖1

3.如圖，在平面直角坐標系中，點/的坐標是（一遮，0）,點8的坐標是（0,1）.點8

和點C關于原點對稱.點P是直線位于y軸右側部分圖象上一點，連接CP,已知S

S，

△BPC=2^ABC

（1）求直線NC的解析式；

（2）如圖2,△NOC沿著直線NC平移得△/'O'C,平移后的點4,與點C重合點

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廠為直線ZC上的一動點,

當PF+#C的值最小時，請求出尸C'的最小值及此時點尸的坐標;

(3)如圖3,將△尸8c沿直線以翻折得△尸8G,點N為平面內任意一動點，在直線RJ

上是否存在點M,使得以點M、N、P、G為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出

點"的坐標；若不存在，說明理由.

73

將點/、C的坐標代入一次函數表達式:y=mx+n得/°=一6m+n,解得:m=一手

m=-1n=-1

故直線/C的表達式為：y=-%-1；

(2)過點C'作直線/〃X軸，過點尸作P尸11,垂足為點F,交/C于點尸,

An一

tan/480=第=b，故/48。=60°,NB4O=30°,

1

VZOAB=30°=ZFC'F',:.FF=討',

11

貝IJPF+尹C'=PF+FF'=PF',即此時，PF+^FC最小，最小值為尸F',

圖2

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S^BPC=￥4BC，貝|Jlxp|=

y/33

故點P（——，一），

22

AC=CC'=2,則點C，（V3,-2）,

V3

則點r（―-2）,

2

一83、

點F（—,—5）＞

22

1

PF+抑J，最〃、值P產'7

2;

(3)存在，理由:

①當GMIPAI時,

貝I]GH=GSsinZGBH=2Xsin60°=遮,

故點G（-V3,2）；

M、N、P、G為頂點的四邊形是矩形,

/o

點〃位置如下圖所示，設點〃(如文+1),

y/3s+tV3

將點/、8的坐標代入一次函數：y=sx+t得:0=—解得：卜=可,

t=1

1=1

故直線43的表達式為：尸冬葉1…①,

??,GA/，Z5,則設直線GM的表達式為：y=—瓜+b,

將點G的坐標代入上式得：2=-國x(-V3)+b,解得:-1,

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故：直線GA/的表達式為：y=—V3x-1

聯立①②并解得：X=-亭，

叵1

故點M(一弓~，5)；

②當GM_LG尸時，

同理可得：點M(—苧，-1);

綜上，點、M(一卓，一)或(一邛^，—

4.如圖，在Rt/L42C中，ZACB=90°,。為月8邊上的一點，以/。為直徑的00交BC

于點￡,交4C于點尸，過點C作CG_L/8交Z8于點G,交AE于點H,過點E的弦EP

交48于點。(EP不是直徑)，點。為弦EP的中點，連結8P,8P恰好為的切線.

(1)求證：8c是。。的切線.

(2)求證：EF=ED.

3

(3)若sin//8C=^,/C=15,求四邊形C〃0￡的面積.

(1)證明：連接OP,

,：AD為直徑，點Q為弦EP的中點,

PELAB,點Q為弦EP的中點，

：.AB垂直平分EP,

:.PB=BE,

'：OE=OP,OB=OB,

：,/\BEO^/\BPOCSSS'),

.\ZBEO=ZBPO,

?.?8尸為。。的切線，

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AZBP0=9Q°,

：.ZBEO=90°,

：?OE工BC,

???8C是OO的切線.

(2)證明：9：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZOEA,

?：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEOf

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：??1。為的O。直徑，點。為弦改的中點,

：.EPLAB,

?；CG_L45,

：.CG//EP,

?；NACB=NBEO=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEOf

?：OA=OE,

???NEAQ=NAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：./\ACE^/\AQE(AAS)f

**?CE=QE,

VZAEC^ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：?/CEH=/AHG,

?.*/AHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEH,

:.CH=CE,

.CH=EQ,

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???四邊形CHQE是平行四邊形,

,:CH=CE,

???四邊形是菱形，

AG3

VsinZ.ABC=sinNACG—=一,

AC5

,?ZC=15,

：.AG=9,

：.CG=y/AC2-AG2=12,

/\ACE注LAQE,

：.AQ=AC=\5,

:?QG=6,

:.晦=（12-HQ）2+62,

解得:“苧，

5.如圖，△28C中，AB=AC,。。是△/8C的外接圓，8。的延長線交邊NC于點D

(1)求證：/BAC=2N4BD；

(2)當△88是等腰三角形時，求N8C。的大小；

(3)當工。=2,。￡>=3時，求邊8c的長.

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圖1

*：AB=AC,

：.AB=AC,

J.OALBC,

???ZBAO=ZCAO,

*：OA=OB,

：.NABD=/BAO,

：./BAC=2/ABD.

(2)解：如圖2中，延長/。交8C于〃.

①若BD=CB,則ZC=4BDC=NABD+/BAC=3NABD,

*：AB=AC,

：.NABC=NC,

：.NDBC=2NABD,

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???/O8C+NC+N80c=180°,

???8N4BD=180°,

：.ZC=3ZABD=61.5°.

②若CD=CB,則NC8O=N88=3NZ8。，

???ZC=4ZABDf

VZr>BC+ZC+ZCDB=180°,

：.\OZABD=1SO°,

AZBCD=4ZABD=72°.

③若DB=DC,則。與4重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°?

(3)如圖3中，作力石〃8c交8。的延長線于瓦

圖3

^AEAD2

則一=—=

BCDC3

A。AE4

—=—=一，設O8=CZ4=4a,OH=3a,

OHBH3

9：BH1=AB1-AH2=OB2-OH2,

???25-49。2=16。2-9。2,

.225

??〃=彌'

4

:.BC=2BH=挈

6.已知，如圖：△ZBC是等腰直角三角形，48c=90°,AB=\O,。為△48C外一點,

連接Z。、BD,過。作。垂足為“，交4c于E.

(1)若是等邊三角形，求。E的長；

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Q

(2)若BD=4B,且tan/印加氣，求。E的長.

【解答】解：(1)是等邊三角形，48=10,

二408=60°,/￡>=”=10,

:DHLAB,

:.AH=%B=5,

：.DH=yjAD2-AH2=V102-52=5V3,

???△Z8C是等腰直角三角形，

：.ZCAB=45°,即N4E〃=45°,

AAEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

2

(2)'：DHLAB,且

可設BH=3k,貝UDH=4k,

根據勾股定理得：DB=5k,

,:BD=4B=IQ,

.?.5%=10解得：k=2,

：.DH=8,BH=6,AH=4,

又,：EH=AH=4,

:.DE=DH-EH=4.