2023數(shù)學一試題一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分．以下每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將選項前的字母填在答題紙指定位置上．x0+時，以下無窮小量中最高階是〔〕Axet1dt B xln(1 t3dt Csinxsintdt

cos

sintdt0 0 0 0設函數(shù)fx在區(qū)間〔-1,1〕內有定義，且limf(x)0，則〔〕x0xA當limxx0

f(x)

0，fxx0處可導。B當limx0

f(x)0，fxx0處可導。x2xC當fxx0limxx0

f(x)

0。D當fxx0limx0

f(x)0。x23.設函數(shù)fx在點〔0,0〕處可微，f(0,0)0，n(f,f,1) 非零向量d與n垂nnx,y,fx,yx2y2

x y

0,0A limx,y0,0

0存在

limx,y0,0

0存在C limx,y0,0

0存在

lim 0nx,y,fxnx,y,fx,yx2y2dx,y,fx,yx2y2dx,y,dx,y,fx,yx2y2n1

axn的收斂半徑，r是實數(shù)，則〔〕nAn1

axn發(fā)散時，rR n

n1

axn發(fā)散時，rRnC rR時，n1

axn發(fā)散 D rR時，nn1

axn發(fā)散n假設矩陣A經初等變換化成B，則〔〕A存在矩陣P，使得PAB B存在矩陣P，使得BPAC存在矩陣P，使得PBA D方程組Ax0與Bx0同解xa直線L：

yb

2c 2與直線L

xa: 3

yb3

2c 3相交于一點，1 a b c1 1 a

2 a b c2 2 2法向量

ii1,2,3.則i cia可由a1

a線性表示3

可由a，a線性表示2 1 3a可由a，a3 1

線性表示a，a，a線性無關1 2 3設 A,B,C 為三個隨機事件，且 P(A)P(B)P(C)1 , P(AB)04P(AC)P(BC)342

1，則AB,C中恰有一個大事發(fā)生的概率為12312512xx1

,......,x(n)

為來自總體XPX0)PX1)

1，(x)2表示標準正態(tài)分布函數(shù)，則利用中心極限定理可得P(i1

X 55)的近似值為iA.1-(1)B.(1)C.1(0,2)D.(0,2)二、填空題：9～14小題，每題4分，共24分．請將答案寫在答題紙指定位置上．9、lim[ 1 1 ]x0

ex1 ln(1x){10、設

x t21yln(t

dx2

d2yd2y11f(x滿足fn(xaf”(xf(x)0(a>0)，且f(0)m，f”(0)n0

f(x)dx12、設函數(shù)f(x,y)xy0

ext

22fxy(1,11)a011a0110a1111a0110a14x聽從區(qū)間上的均勻分布，Y=sinX，則Cov(X,Y) 2 2三、解答題：15～23小題，共94分．請將解答寫在答題紙指定位置上．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．〔此題總分值0分〕求函數(shù)x,y x38y3xy 的最大值〔此題總分值0分〕4xy xy計算曲線積分

dx dy.其中Lx2y2，方向為逆時針方向L4x2y2 4x2y〔此題總分值0分〕

1n1

x1

xn設數(shù)列 滿足n 1

n 2

，證明：當n

時冪紋數(shù)

nn1

收斂，并求其和函數(shù).〔此題總分值0分〕設為由面Z: x2y2(x2y24)的下側，f(x)是連續(xù)函數(shù)，計算Ixf(xy)2xydydzyf(xy)2yxdzdx2f(xy)2dxdy〔此題總分值0分〕設函數(shù)f(在區(qū)間0,2上具有連續(xù)導數(shù)f(0)f(2)0M證明：(1)(0,2)使得)M〔2〕x(0,2)，f(x)MM0

maxxE(0,2)

f(x)〔此題總分值1分〕

x y 設二次型 f(x,x

)x24xx

4x2

經正交變化

1化為二次型21 2 2

12 2

x y2gy,y)ay24yy by2，其中ab1 2 1 1 2 2求ab的值求正交變換矩陣Q〔此題總分值1分〕設A為2P(aAa)，其中aA的特征向量。證明P為可逆矩陣；假設A2aAa6a0P1AP，并推斷A是否相像于對角矩陣。〔此題總分值1分〕設隨機變量X,X ,X 相互獨立，其中X與X 均聽從標準正態(tài)分布，X 的概率分布為1 2 3 1 2 3PX3

3

11，YXX2 3

(1XX。3 2求二維隨機變量X

,Y的分布函數(shù)。結果用標準正態(tài)分布(x)表示；1證明隨機變量Y聽從標準正態(tài)分布。〔此題總分值1分〕設某種元件的使用壽命T的分