於修5懿列

二、博愛熬列

笈祝,要直

1.數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和S“的關(guān)系

〃S[n=1

s“=%+%+%+???+明?%

/=1S〃一S〃TH>2

2.遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式

遞推關(guān)系:an+x-an=d

通項(xiàng)公式：an=a]+(n-l)d

特征：an=dn+(ax-d\

推廣：an=am+(n-m)d

即:an=f(n)=kn+h,(k,b為常數(shù))

變式：ax=an-(??-1)J;

a/t=如+氏化6為常數(shù))O數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列.

n-m

3.等差中項(xiàng)：

若Q”,C成等差數(shù)列，則匕叫做。與C的等差中項(xiàng)，且人="￡;Q也C是等差數(shù)列O2b=Q+C

2

，-c(4+%)〃cn(n-1)d

4.刖〃項(xiàng)和公式：S=--------；S=naH---------

"2x2

特征：S“=3〃2+(6-g)”，BPS,,=/(n)=An2+Bn

2

S,t=An+Bn,(4,8為常數(shù))0數(shù)列｛4｝成等差數(shù)列.

5.等差數(shù)列｛%｝的基本性質(zhì)(其中也儲(chǔ)p,qwN*)

⑴若加+〃=p+4，則a,“+%=%,+3，反之不成立；

(2)an-am=(n-m)d；

⑶2狐=+?！?,“；

WS?,S2n一5"，邑”一先仍成等差數(shù)列?

6.判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法:

①定義法：an+i-an="常數(shù))(〃eN*)n｛%｝是等差數(shù)列

②中項(xiàng)法：2an+1=an+an+1(〃wN*)n｛%｝是等差數(shù)列

③通項(xiàng)公式法：a?=kn+b化6為常數(shù))=｛。“｝是等差數(shù)列

2

④前〃項(xiàng)和公式法：Sn=An+Bn(A,B為常數(shù))=>｛%｝是等差數(shù)列

【應(yīng)用一】

1.若a豐b,數(shù)列a,x”X2,b和數(shù)列a,%,以，乃，b都是等差數(shù)列，貝U上五=()

乃一必

A.2B.2C.1D.-

343

2.等差數(shù)列｛為｝中，若%+%+。5+綜+%=450,則前9項(xiàng)和S9=()

A.1620B.810C.900D.675

3.在一1和8之間插入兩個(gè)數(shù)a,b,使這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則()

A.a=2,b=5B.a=~2,b=5C.a=2,b=~5D.a=~2,b=-5

4.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是()

888

A.J>-B.d>3C.-<d<3D.-<J<3

333

5.等差數(shù)列｛a“｝共有2〃項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為90,偶數(shù)項(xiàng)的和為72,且％,-6=-33,則該數(shù)

列的公差為()

A.3B.-3C.-2D.-1

6.等差數(shù)列｛?。?，a,=-5,它的前11項(xiàng)的平均值是5,若從中抽取1項(xiàng)，余下的10項(xiàng)的平均值是4,

則抽取的是()

A.anB.aioC.agD.48

7.設(shè)函數(shù)/(x)滿足/(〃+1尸2/(?+"eN*)且、⑴=2,貝葉(20)為()

A.95B.97C.105D.192

8.已知無窮等差數(shù)列｛%｝,前〃項(xiàng)和S“中，S6Vs7，且S7>S8，則()

A.在數(shù)列｛。〃｝中最大B.在數(shù)列｛〃“｝中，。3或。4最大

C.前三項(xiàng)之和S3必與前11項(xiàng)之和S11相等D.當(dāng)論8時(shí)，an<0

9.集合M=,?|團(tuán)=6凡〃￡"*,且m<60｝中所有元素的和等于.

10、在等差數(shù)列｛%｝中，生+的一〃10=8,。4一=—14.記=%+〃2+。3■1-----，貝,

11、已知等差數(shù)列｛4｝中，%+。9=16,a=1，則46的值是

12.(1)在等差數(shù)列｛0｝中，J=-1,a7=8,求4和S“；

(2)等差數(shù)列｛4｝中，%=14,前10項(xiàng)和a。=185.求知;

13.?個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛冊｝,如果它的前三項(xiàng)之和與前11項(xiàng)之和相等，那么該數(shù)列的前多

少項(xiàng)和最大？

14.數(shù)列｛(/?｝中，%=8,%=2，且滿足4+2-2a“+]+凡=0,

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵設(shè)S.=|4|+|41+…+1%1，求S”.

15.已知數(shù)列｛四｝的前“項(xiàng)和為S”且滿足a“+2S“S-i=0（”N2）,

⑴求證：｛,｝是等差數(shù)列：（2）求知的表達(dá)式；

S”

（3）若仇]=2（1—〃（疙2）,求證：①2+療+…+瓦/<1.

【應(yīng)用二】

1.等差數(shù)列｛%｝中,〃4+4+%+。10+。12=120,則〃9-的值為（）

A.14B.15C.16D.17

2.等差數(shù)列｛%｝中，/>0,S9=S12,則前項(xiàng)的和最大.

3.已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為10,則前110項(xiàng)和為

4.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，已知生=12,S12>0,S13<0.

①求出公差d的范圍；

②指出S[,$2,…，加2中哪一個(gè)值最大，并說明理由.

5、己知等差數(shù)列｛。〃｝中，。7+〃9=16,aA=1,則弓2等于（）

A.15B.30C.31D.64

6、設(shè)5“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，54=14,S10-S7=30,則$9=_______.

7、已知等差數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和為S“，若SQ=21,貝股2+%+%+/1=-

8.甲、乙兩物體分別從相距70機(jī)的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第一分鐘走2機(jī)，以后每分鐘比前一分

鐘多走1根，乙每分鐘走5加，①甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？②如果甲、乙到對方起點(diǎn)后立即折

返，甲繼續(xù)每分鐘比前吩鐘多走1加，乙繼續(xù)每分鐘走5〃?，那么，開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相

遇？

9.已知數(shù)列｛%｝中，%=3,前〃項(xiàng)和S“=；(〃+1)(%+1)—1.

①求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；②求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

③設(shè)數(shù)列|」一|的前〃項(xiàng)和為，，是否存在實(shí)數(shù)M,使得Ta對一切正整數(shù)〃都成立?

若存在，求朋的最小值，若不存在，試說明理由.

三、等比裁列

Q識(shí)要直

1.定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做

等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為q,(q/O).

2.遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式

遞推關(guān)系:a?+l=qan

通項(xiàng)公式：

推廣：%=%「

3.等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a,"C成等比數(shù)列，則稱〃為。與C的等比中項(xiàng)，且6=土疝.

注：/=ac是a力,C成等比數(shù)列的必要不充分條件.

4.前〃項(xiàng)和公式

na](q-1)

Sn=<_—a〃q(qw1)

\-q\-q

5.等比數(shù)列的基本性質(zhì)，(其中〃z,〃,p,q€N*)

①若加+〃=p+q,則⑶“=。屋盤，反之不成立！

②之"=2，=a?_m-?n+m(〃wN*)

a,n

③{%}為等比數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成笠比數(shù)列.

④若項(xiàng)數(shù)為2n(〃eN),則且=q.

S奇

⑤s—s,+E.

⑥4工一1時(shí)，S“，S2?-5?,S3,,—S2〃,…仍成等比數(shù)列.

6.等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化

①{%}是等差數(shù)列=卜"}(c>0,CH1)是等比數(shù)列；

②{%}是正項(xiàng)等比數(shù)列o{log,an}(c>0,cw1)是等差數(shù)列；

③{*}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列o{%}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.

7.等比數(shù)列的判定法

①定義法：號旦="(常數(shù))n｛%｝為等比數(shù)列；

2

②中項(xiàng)法：an+l=an-an+2(4產(chǎn)0)=>｛%｝為等比數(shù)列；

③通項(xiàng)公式法：a“=hq"化q為常數(shù))n｛%｝為等比數(shù)列：

④前〃項(xiàng)和法：5“=%(1-力儀國為常數(shù))=>｛%｝為等比數(shù)列.

【嘏質(zhì)運(yùn)用】

1.^/(?)=2+24+27+210+?■■+23n+'°(neN'),貝爐(〃)等于()

7???

A1(8,,-l)B.1(8n+,-l)C.1(8,,+3-l)D.|(8n+4-l)

2.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且S,“=10,S2m=30,貝%,“=-

3.在等比數(shù)列｛%｝中，。］+4=33,a3a4=32,an>an+i.

①求a”，②若T“=lg?,+lg〃2+…+lg%,求T“.

4.｛4｝是等比數(shù)列，下面四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為()

①｛a/｝也是等比數(shù)列；②｛cq｝(cM)也是等比數(shù)列；③也是等比數(shù)列；④｛ln4｝也是等比數(shù)列.

%

A.4B.3C.2D.1

5.等比數(shù)列｛a“｝中，已知“9=—2,則此數(shù)列前17項(xiàng)之積為()

A.216B.-216C.217D.-217

6.在等比數(shù)列｛%｝中,如果恁=6,劭=9,那么的等于（）

..3一16

A.4B.-C.—D.2

29

7.若兩數(shù)的等差中項(xiàng)為6,等比中項(xiàng)為5,則以這兩數(shù)為兩根的一元二次方程為（）

A.%2—6x+25=0B.x2+12x+25=0C.x2+6x—25=0D.x2—12x+25=0

8.某工廠去年總產(chǎn)a,計(jì)劃今后5年內(nèi)每一年比上一年增長10%,這5年的最后一年該廠的總產(chǎn)值

是（）

A.1.14aB.1.15aC.1.1baD.（l+l.l5）a

9.已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前5項(xiàng)之和為3,前15項(xiàng)之和為39,則該數(shù)列的前10項(xiàng)之和為（）

A.372B.3A/13C.