九年級上學期期末【易錯60題考點專練】

選擇題(共18小題)

1.(2021秋?中牟縣期末)一元二次方程f-6x+4=0的二次項系數和一次項系數分別是()

A.1和6B.0和-6C.1和4D.1和-6

【分析】根據單項式的系數和多項式的項的定義得出答案即可.

【解答】解：關于x的一元二次方程7-6x+4=0的二次項系數和一次項系數分別1和-6,

故選：D.

【點評】本題考查了整式和一元二次方程的一般形式，注意：找多項式的各項系數時帶著前面的符號.

2.(2021秋?平頂山期末)下列方程是一元二次方程的是()

A.%2-3—%3B.27+3x-6=0

C.5孫-x+2=0D.(x+1)(x-2)

【分析】根據一元二次方程的定義判斷即可.

【解答】解：4未知數的最高次數是3,不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B.是一元二次方程，故本選項符合題意；

C.該方程是二元二次方程，故本選項不合題意；

D.該方程(x+1)(x-2)=/化簡后得，x+2=0是一元一次方程，故本選項不合題意.

故選:B.

【點評】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫

一元二次方程.

3.(2021秋?丹東期末)某超市一月份的營業額為5萬元，第一季度的營業額共60萬元，如果平均每月增

長率為x,則所列方程為()

A.5(1+x)2=60B.5(1+2%)2=60

C.5(1+2%)=60D.5[1+(1+x)+(1+x)2]=60

【分析】設2、3兩月的營業額的月平均增長率為x,根據計劃第季一度的總營業額達到60萬元，即可得出

關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設2、3兩月的營業額的月平均增長率為x,

依題意，得：5+5(1+x)+5(1+x)2=60.

即：5[1+(1+x)+(1+x)2]=60,

故選：D.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關

鍵.

4.（2021秋?平輿縣期末）若外>0,則一次函數y=ox-6與反比例函數y=也在同一坐標系中的大致圖

【分析】根據仍>0,可得〃、方同號，結合一次函數及反比例函數的特點進行判斷即可.

【解答】解：A、根據一次函數可判斷a>0,b<0,即必<0,故不符合題意，

B、根據一次函數可判斷a<0,b>0,BPab<0,故不符合題意，

C、根據一次函數可判斷a<0,b<0,即必>0,根據反比例函數可判斷外>0,故符合題意，

。、根據反比例函數可判斷燦<0,故不符合題意；

故選：c.

【點評】本題考查了反比例函數的圖象性質和一次函數函數的圖象性質，要掌握它們的性質是解決問題的

關鍵.

5.（2022春?吳中區校級期末）下列結論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質是（）

A.對角線相等B.對角線互相平分

C.對角線互相垂直D.對邊相等且平行

【分析】根據矩形的性質和菱形的性質逐一進行判斷即可.

【解答】解：A.因為矩形的對角線相等，所以A選項不符合題意；

B.因為矩形和菱形的對角線都互相平分，所以B選項不符合題意；

C.因為菱形對角線互相垂直，所以C選項符合題意；

D.因為矩形和菱形的對邊都相等且平行，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的性質、菱形的性質，解決本題的關鍵是掌握矩形的性質、菱形的性質.

6.（2021秋?青浦區期末）如圖，點。、E分別在△A8C的邊AB、BC上，下列條件中一定能判定OE〃AC

的是（）

AADBERBDBErADCEnBDDE

DBCEADECABBEBAAC

【分析】根據平行線分線段成比例判斷即可.

【解答】解：4因為包?=￡,所以。E〃AC,故A不符合題意；

DBBE

B.因為膽=些，所以力E〃4C,故B符合題意；

ADCE

C.因為包_=要，所以。E〃AC,故C不符合題意；

ABBC

D.因為毀=理，所以OE〃AC,故。不符合題意；

ABBC

故選：B.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，根據題目的已知并結合圖形去分析是解題的關鍵.

7.（2021秋?太原期末）如圖，矩形ABC。的對稱軸分別交AB于點E,交CD于點F.若矩形AEFQ與矩

形D4BC相似，則A8：BC的值為（）

A.2B.&C."D.」

22

【分析】根據相似多邊形的對應邊成比例進行計算即可解答.

【解答】解：???四邊形A8CO是矩形，

：.AD=BC,

?矩形ABCD的對稱軸分別交AB于點E,交CD于點F,

：.AE=^AB,

2

,矩形AEFD與矩形DABC相似，

.AB=AD

"BCAE'

.AB_BC

..f

:.XAB2=BC2,

2

：.AB2=2BC2,

:.AB=MBC,

：.AB：BC=近,

故選：B.

【點評】本題考查了矩形的性質，相似多邊形的性質，軸對稱的性質，熟練掌握相似多邊形的對應邊成比

例是解題的關鍵.

8.（2021秋?高郵市期末）如圖，在下列四個條件：①?ZADB^ZAEC,③AO：AC^AE：AB,

@PE：PD=PB：PC中，隨機抽取一個能使△BPEs/XCPC的概率是（）

A.0.25B,0.5C.0.75D.1

【分析】根據相似三角形的判定方法判斷即可.

【解答】解：由題意得：

NDPC=NEPB,

①NB=NC,根據兩角相等的兩個三角形相似可得：ABPESACPD,

②：ZADB=ZAEC,

：.4PDC=NPEB,

所以，根據兩角相等的兩個三角形相似可得：ABPEsACPD,

@'：AD：AC=AE：AB,=

/\ADB和△AEC不相似，

故③不能使aBPEs△CPD,

@PE：PD=PB：PC,根據兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似可得：XBPEsXCPD,

，在上列四個條件中，隨機抽取一個能使△BPES/\CP￡＞的概率是：0.75,

故選：C.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，概率公式，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

9.（2021秋?常寧市期末）如圖，△ABC中，NA=60°,8M_LAC于點M,CN_LAB于點N,BM,CN交

于點O，連接MN.下列結論：①NAMN=NA8C；②圖中共有8對相似三角形；③BC=2MN.其中正確

的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

【分析】依據△ABMs/XACM即可得出△4MNS/X4BC,進而得到乙4MN=NA8C；依據△月BA/S^ACN

s[\OBNs[\OCM,叢AMNsXABC,/\BCO^/\NMO,可得圖中共有8對相似三角形；依據AN=」AC,

2

△AMNS^ABC,即可得到典卅?二，即BC=2MN.

BCAC2

【解答】解：；BM_LAC,CNLAB,

，NANC=NAMB=90°,

又,:乙4=/A,

△4BMS/\4CM

.AN_AC即AN.AM

,?而F'、AC'AB'

又：ZA=ZA,

：./\AMNsXABC,

NAMN=Z4BC,故①正確；

由題可得，XABMsXACNsXOBNs[\OCM,/\AMN^/\ABC,ABCO^AWO,

；.圖中共有8對相似三角形，故②正確；

[Rt/XACN中,ZA=60°,

.,.乙4CN=30°,

：.AN=^AC,

2

又：AAMNsAABC,

.MNAN1

??---------二---，

BCAC2

即BC=2MN,故③正確.

故選：C.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性

質的綜合運用，仔細分析圖形并熟練掌握性質是解題的關鍵.在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形

中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用.

10.(2021秋?青島期末)如圖，△ABC的頂點都是正方形網格中的格點，則sin/BAC=()

「Vio

B.1

535。?唔

【分析】要求sin/BAC的值，想到把NBAC放在直角三角形中，所以連接CO,然后在RtZ\ACD中，進行

計算即可.

由圖可得：CO_LA3,

由題意得：CD=、]2+]2=^^,

AC=Q+42=2/7^,

在RtZXACD中，sinNBAC=C5_=1=YS

AC27510

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

11.（2021秋?海陵區期末）在△A8C中，AB=4,BC=5,sinB=3,則△ABC的面積等于（）

4

A.15B.—C.6D.—

22

【分析】根據題目的已知條件畫出圖形，然后再利用銳角三角函數的定義進行計算即可.

【解答】解：過點A作ADLBC,垂足為。，

4

：.AD=ABsinB=4X^-=3,

4

二/XABC的面積=」8c

2

=AX5X3

2

_15

2

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形，三角形的面積，根據題目的已知條件畫出圖形是解題的關鍵.

12.（2021秋?泗水縣期末）如圖，在RtZ\ABC中，C。是斜邊上的高，NAW45°,則下列比值中不等

于cosB的是（）

CD以CD

A.B.

ACCBCBD謂

【分析】根據已知可得NB=NACD,然后利用銳角三角函數的定義判斷即可.

【解答】解：A.

：.ZCDB=ZADB=90°,

AZB+ZBC￡>=90°,

VZACB=90°,

AZACD+ZBCD=90°,

：.ZB=ZACD,

在RtA^ACO中，cosZACD=—.

AC

COSB=-^5.,

AC

故A不符合題意；

B.在RtZsOBC中，cosB=—,故B不符合題意；

BC

C.在RtZXQBC中，cosNBC￡>=空，

BC

VZA^45°,

.'.ZB^ZBCD,

cosBr^",

BC

故C符合題意；

D.在RtZSABC中，cosB=—,故。不符合題意；

AB

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的正弦，余弦，正切是解題的關鍵.

13.（2021秋?濂溪區校級期末）如圖所示的幾何體是由6個形狀，大小完全相同的小正方體組成，若移動

正方體①，使得左視圖不改變，則有（）種移動的方法.

A.6B.5C.3D.2

【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：若移動正方體①，使得左視圖不改變，則有6種移動的方法（如圖所示）,

【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是理解三視圖的定義，屬于中考常考題型.

14.（2021秋?漳州期末）如圖，菱形A8CQ的對角線AC,BD交于點P,且AC過原點O,AB〃x軸，點C

的坐標為（6,3）,反比例函數y=K的圖象經過A,尸兩點，則k的值是（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據菱形的性質可得對角線BO與AC互相垂直且平分,再根據反比例函數的對稱性可得點P坐標,

進而求得上的值，再利用一次函數性質即可求解.

【解答】解：：在菱形ABCZ）中，對角線8。與AC互相垂直且平分，

J.PA^PC,

「AC經過原點O,且反比例函數），=乂的圖象恰好經過A,P兩點，

X

，由反比例函數y=K圖象的對稱性知：

X

0A=0P=—AP=—CP,

22

OP=—OC.

3

過點尸和點C作x軸的垂線，垂足為E和凡

：.X0PEs/\0CF,

：.0P：OC=OE：OF=PE：CF=1：3,

:點C的坐標為（6,3）,

/.0F=6,CF=3,

：.0E=2,PE=\,

.?.點P的坐標為（2,1）,

.3=2X1=2.

故選：C.

【點評】本題考查了反比例函數與幾何綜合，解決本題的關鍵是綜合利用相似三角形的判定和性質、反比

例函數的圖象和性質、菱形的性質等.

15.（2021秋?郵陽區期末）如圖，點A是雙曲線），=旦是在第一象限上的一動點，連接A。并延長交另一分

x

支于點B,以A8為斜邊作等腰RtZ\ABC,點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，

但始終在一函數圖象上運動，則這個函數的解析式為（）

A.y=B.y=—C.y=D.y=迄

3x6x

【分析】連接OC,作。￡）上》軸于。，AELx軸于E,利用反比例函數的性質和等腰直角三角形的性質，根

據“44S”可判定△COO絲△O4E,設A點坐標為（a,旦），得出0D=AE=2CD=OE=a,最后根據

aa

反比例函數圖象上點C的坐標特征確定函數解析式.

【解答】解：如圖，連接OC,作CDLx軸于￡>,AELx軸于E,

???A點、B點是正比例函數圖象與雙曲線》=旦的交點,

???點A與點3關于原點對稱,

：.OA=OB,

???△ABC為等腰直角三角形，

/.OC=OA9OC_LOA,

：.ZDOC+ZAOE=90°,

VZ￡>OC4-ZDCO=90°,

：?NDCO=NAOE,

：./\COD^AOAE(AAS),

設A點坐標為(a,—得出0Q=AE=2,CD=OE=a,

aa

???C點坐標為(-2，a),

a

??

?--6*.a=-z-6,

a

.?.點C在反比例函數y=-2(x<0)圖象上.

x

故選：D.

【點評】本題主要考查了用待定系數法求反比例函數的解析式，解題時需要綜合運用反比例函數圖象上點

的坐標特征、等腰直角三角形的性質.判定三角形全等是解決問題的關鍵環節.

16.(2021秋?榮昌區期末)在平面直角坐標系中，C(0,4),點A在x軸上，以AC為對角線構造平行四

邊形ABCD,8點在第三象限，BC與x軸交于點F,延長BC至點E,使得EF=5BF,BC=EC,連結對角

線8。與4c交于點G,連結EG、CD交于點H,若。、E在反比例函數y』上，SaHG=4,則k的值為

()

A.30B.24C.20D.15

【分析】由C(0,4),點4在x軸上，EF=5BF,BC=EC,可得BE=68凡CF=2BF,設點尸(-2a,0),

則E(3a,10),B(-3a,-2),因為四邊形ABC。是平行四邊形，所以BC〃AQ,BC=AD,易得四邊形

ACED是平行四邊形，由力、E在反比例函數上，可得D(5a,6),又CG是ABDE的中位線，所以

X

AC//DE,則△CHGs^DHE,可得竺工，所以S“”G=2SADCG=6,所以S^BCG=』(XG-XB)

EDED232

?CN=—,4a*CN=2a'CN,根據點B和點。的坐標可得BQ的解析式：y=—JC+1,所以N(0,1),所以

2a

CN=3,所以2a?3=6,解得a=l,可得E(3,10),將點E(3,10)代入y上即可.

【解答】解：(0,4),點A在x軸上，EF=5BF,BC=EC,

:.BE=6BF,CF=2BF,

設點F(-2a,0),則E(3a,10),B(-3a,-2),

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC//AD,BC=AD,

*：EC=BC,

：.EC//AD,EC=AD,

：.四邊形ACED是平行四邊形，

???點D的縱坐標為6,

E在反比例函數y=K上，

X

/.30a=6M,

??xz)=5a,

:.D(5m6),

???點G為80的中點，

：.G(小2),

又丁點C為8E的中點，

J.AC//DE,

:?△CHGS^DHE,

1AC

..GC=2_1

"EDED2，

2

SN)HG=-SADCG,

3

?**SADHG=4,

S&DCG=6,

.*?SADCG=S^BCG=6,

設直線3G與y軸交于點M

設直線B。的解析式為：y=iwc+n,

.(-3a^=-2t解得，

I5am+n=6

：.y=—x+\,

a

：.N(0,1),

???C7V=3,

；?2a?3=6,解得a=1,

：.E(3,10),

將點E(3,10)代入yj,

X

???A=30.

故選:A.

【點評】本題屬于反比例函數中代數與幾何的綜合題，根據Eb=58F,8C=EC得出ERBF,BE,BC各

個線段之間的關系，表達出關鍵點的坐標是解題關鍵.

17.(2021秋?開州區期末)如圖，已知拋物線>=如2+云+。的對稱軸在y軸右側，拋物線與x軸交于點A

(-2,0)和點8,與y軸的正半軸交于點C,且O8=2OC,則下列結論：①且二旦V0；②4ac+26=-l；

C

③“=-』；④當6>1時，在x軸上方的拋物線上一定存在關于對稱軸對稱的兩點M,N(點M在點N左

4

邊)，使得AALL8M.其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】首先根據函數圖象可判斷a，b,c的符號，a<0,b>0,c>0,從而可判斷①正確；由O8=2OC

可推出點B(2c,0)代入解析式化簡即可判斷②正確；由拋物線與x軸的交點A(-2,0)和點B(2c,0),

再結合韋達定理可得(-2)X(2c)=-4c,可得〃=-工，即可判斷③正確；根據。=-1，

a44

2b+^ac=-1,可得c=2b+l,從而可得拋物線解析式為y=--^x2+hx+(2h+\),頂點坐標為(2b"2+2/?+l),

所以對稱軸為直線x=2b.要使由對稱性可知，乙4PB=90°,且點尸一定在對稱軸上，貝必”8

為等腰直角三角形，PQ=」AB=2+26,得尸(26,28+2),S.2b+2<b2+2b+\,解得6>1或6<-1,故可

2

判斷④正確.

【解答】解:VA(-2,0),OB=2OC,

：.C(0,c),B(2c,0).

由圖象可知，a<0,h>0,c>0,

?"：a<0,b>0,

：.a-b<0,

.?.2二目<0.故①正確；

c

②把8(2c,0)代入解析式，得：

2

4ac+2hc+c=0f又cWO,

/.4ac+2h+1=0,

即2>4〃c=7,故②正確；

③?.?拋物線與x軸交于點A(-2,0)和點8(2c,0),

.?.xi=-2和X2=2c為相應的一元二次方程的兩個根，

由韋達定理可得：xi*x2———(-2)X(2c)=-4c,

a

故③正確；

4

?Va=-2，2b+4ac=-1,

4

.\c=2b+\.

故原拋物線解析式為y=-工/+公+(2/?+l),頂點坐標為(2b,川+2/1).

4

???對稱軸為直線x=2b.

要使ANL8M,由對稱性可知，NAP8=90°,且點尸一定在對稱軸上，

:△APB為等腰直角三角形，。是中點，

.?.PQ=JLAB=L[46+2-(-2)]=2b+2,

22

：.PC2b,26+2),且有2%+2V/+2b+l,

整理得：b2>l,

解得：6>1或b<-l,故④正確.

綜上所述，正確的有4個，

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象與x軸的

交點與相應的一元二次方程的根的關系，解此題的關鍵在于根據函數圖象判斷出。、氏c的符號，其中第

④問有一定的難度.

18.(2021秋?蘇州期末)如圖，二次函數>=/+公+。(〃>0)的圖象經過點A(-I,0),點8(加，0),

點C(0,-m),其中2VM?<3,下列結論：?2a+b>0,②2a+c<0,③方程ar2+/?x+c=-有兩個不相等

的實數根，④不等式o?+(b-I)x<0的解集為其中正確結論的個數為()

V

A.1B.2C.3D.4

【分析】①利用點A(-1,0),點8",0)求出對稱軸，然后利用2V機V3判斷即可；

②把點A(-1,0)代入y=a/+汝+c中可得。-b+c=0,再結合①中的結論即可解答；

③利用直線產一機與二次函數產af+bx+c的圖象的交點個數判斷即可；

④先求出函數>=蘇+(/?-1)X的對稱軸，再求出與X軸的兩個交點坐標即可解答.

【解答】解：①'??二次函數(?>0)的圖象經過點A(-1,0),點、B(相，0),

???二次函數y=/+bx+c(〃>0)的圖象的對稱軸是直線：工=二巨典，

2

V2<//?<3,

AK-\+m<2,

22

z.A<_L<i,

22a

?:—^-<1?>0,

2a

/.2a+h>Q,

故①正確;

②把點A(-1,0)代入、=/+云+(?中可得：a-b+c=0f

b=ci^~Ct

由①得：一

2a2

/.a+bVO,

/?q+a+cVO,

/.2a+c<0,

故②正確；

③由圖可知：

直線y=-m與二次函數y=or2+/?+c的圖象拋物線有兩個交點，

???方程〃/+法+c=-m有兩個不相等的實數根，

故③正確；

④;二次函數>=/+紜+。(a>0)的圖象經過點A(-1,0),點、B(機，0),

.'.y=a(x+1)(x-m)=ax2-cuwc+ax-am,

.?,二次函數(〃>0)的圖象經過點C(0,

/.-am=-m,

?二。=1,

二次函數)=〃/+(b-1)x的對稱軸為直線：x=—用，

把x=0代入二次函數丁=加+(8-1)］中可得：y=0,

???二次函數了=蘇+(6-1)x的圖象與x軸的交點為：(0,0),

設二次函數y=o?+Cb-1)r的圖象與x軸的另一個交點為(小0),

?

??n+.0_—----b---1,

22a

?"=±11=1-b,

a

,不等式〃/+(6-1)xVO的解集為0〈xV〃，

J不等式ar2+(ft-1)x<0的解集為0<xV上旦，

a

??,二次函數y=ox2+bx+c(a>0)的圖象的對稱軸是直線：工=不則，

?

??—~b~__--l-+--m---,

2a2

.,.機=總±=1-b,

a

不等式〃/+(/>-1)x<0的解集為0<x<ni,

故④正確，

所以：正確結論的個數有4個，

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數與不等式組，根的判別式，二次函數圖象與系數的關系，拋物線與x軸的交

點，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

二.填空題(共21小題)

19.(2021秋?揭東區期末)如圖，正方形OABC中，A,C分別在x,y軸正半軸上，反比例函數y=區的

x

圖象與邊BC,BA分別交于點。，E,且BD=BE=M，對角線AC把△ODE分成面積相等的兩部分，則A

=_V2±l_,

【分析】先根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方得好=」，再根據CD〃AO,推△CDPs△AOF,

0DV2

推比例線段求出型=1E=返二1,設OA=m根據同一條線段的長列等式求出〃也就求出火.

0AOF1

【解答】解：?.?四邊形OABC是正方形，

.,./B=90°,NBC4=45°,

<BD=BE=M，

：.ZBDE=ZBED=45a,DE=2,

:.NBDE=NBCA,

J.DE//CA,

：./\OFG^^ODE,

S&)FG=(0F)2,

^AODE°。

.?對角線AC把△ODE分成面積相等的兩部分,

.0F_1

?麗一7T

噂=a-1，

OF

JCD//AO,

:.XCDFSXAOF,

?CD_DF_V2-1

■'OAOF-~，

設0A=a,CD—(V2

■:CD=a-弧,

：.a-A/2=(V2-1)a,

：.a=^/2+l,

即0A=BC=&+1,

CD=1,

：.D(1,&+1),

?.?點。在反比例函數上，

【點評】本題考查了反比例比例系數k的幾何意義、正方形的性質、相似三角形的性質，掌握這幾種性質

的綜合應用，由平行推相似，推比例線段是解題關鍵.

20.(2021秋?通州區期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點48分別在函數)，=2(x>0),產K(%

XX

<0)的圖象上，AB〃x軸，點C是y軸上一點，線段AC與x軸正半軸交于點。.若△ABC的面積為8,黑

=當則人的值為-4.

5-----------

【分析】利用型=3,可得出△48。的面積；連接OA,0B,利用同底等高的兩三角形面積相等得到三角

AD5

形AOB面積等于三角形ABD面積，再利用反比例函數k的幾何意義求出三角形AOP面積與三角形BOP面

積，列出方程即可求解.

【解答】解：:△ABC的面積為8,空=旦,

AD5

△ABO的面積為§X8=5,

8

如圖，連接04，0B,設AB與y軸交于點P,

「△AOB與同底等高，

S/\AOB=S/\ADB,

：AB〃x軸，

.?.A8_Ly軸，

,.'A.8分別在反比例函數丫=旦(x>0),y=K(x<0)的圖象上，

xx

|kI

，S_MOP=3,S&BOP=」_L,

2

.Iki

??Sj\ABD=Sj\AOB=SAAOP+S/\BOP=3+----=5.

2

解得A=-4,(正值舍去)

故答案為：-4.

【點評】本題考查的是反比例函數系數k的幾何意義，即在反比例函數y=K的圖象上任意一點向坐標軸作

X

垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是工固，且保持不變.也考查了三角形的面積.

2

21.(2021秋?高新區期末)如圖，平面直角坐標系xOy中，RtAABO的斜邊2。在x軸正半軸上,0B=5日

反比例函數尸?（x>0）的圖象過點A,與A8邊交于點C,且4c=3BC,則“的值為4,射線04

X

射線0C分別交反比例函數y=t（b>a>0）的圖象于點力，E,連接。E,DC,若△￡>￡（?的面積為45,

x

【分析】分別過點A,C,D,E作x軸的垂線，垂足分別為凡G,H,J,且線段。“交0E于點M；所以

AF//DH//CG//EJ,所以CG：AF=BC-AB=BG：BF,設。尸=m，則A（m,且），因為AC=3BC,可得

m

CG=二-,所以C（4相，」-）,則0G=4"?,所以FG=3機，所以。8=m+3m+機=5加，解得加=加,所

4m4m

以OF=BG=近,尸G=3&,AF=CG=—易得所以AF：BF=OF=AF,

4V2

即,：472=72：%，解得a=4；則AF=2&,CG=1,由平行線分線段成比例可得，OG：CG

V2V22

=0J：EJ=4近:亞=8：1,設0J=",則即=工"，所以E（〃，—n）,則b=2〃2,又。f：AF=OH：

2888

DH,即任2&=。“：DH=1：2,設。“=力則。”=2/,則。（f,2t）,所以2p=b=#,解得r=[

n（負值舍去），所以力（工〃，工〃），易得直線0C的解析式為：y=^x,所以M（A?,」:〃），所以。加

42-8432

=A?-由的面積為45可得，」?DW?（XE-XC）=45,即工?工！口?（/-4&）=45,

232322232

解得"=12&（負值舍去），6=」x（12&）2=36.

8

【解答】解：如圖，分別過點A,C,D,E作x軸的垂線，垂足分別為凡G,H,J,且線段0H交0E于

點M;

：.AF//DH//CG//EJf

：.CG：AF=BC：AB=BG：BF,

設OF=m,

;反比例函數y=2(x>0)的圖象過點A,C,

x

AA(〃z,—),

m

.\AF=—f

m

?.?AC=3BC,

：.BC：AB=l：4,

ACG：包=1：4=BG：BF,

m

CG=-"，

4m

：.C(4m,」-),

4m

/.0G=4m,

:?FG=3m,

:?BG=m,BF=4m,

OB=m+3m+m=5A/2>

解得，〃=&,

：.OF=BG=?尸G=3&,

：.AF=-^,CG=—

V24V2

RtZ\ABO的斜邊BO在x軸正半軸上，

ZOAC=NAFB=ZAFO=90°,

ZOAF+ZAOF^ZOAF+ZFAB=90Q,

???ZAOF=ZFAB,

/./XOAF^AABF,

：.AF：BF=OF=AF,

???4472=V2：親

V2V2

解得a=4；

?,?A尸=2&,CG=W-

TCG//EJ,

：.OGxCG=OJ：EJ=4&：亞=8：1,

2

設OJ=n,

：.EJ=^n,

8

'.E("，—n)?

8

,,.b=—n2,

8

'：AF//DH//CG//EJ,

：.0F：AF=OH：DH,即&：2a=0H：DH=1：2,

設OH=t,則DH=2t,

：.DCt,2t),

.*<2?=/>=—n2,

8

解得，（負值舍去）,

4

：.D（An,工〃），

42

設直線OC的解析式為：y=/x,

：A42k'=亨，

：.k'=工，

8

直線OC的解析式為：y=^x,

8

'.M(—/i,

432

'.DM=—n--n=-^-n

23232

「△DEC的面積為45,

：.1DM(XE-XC)=45,即上xW_n=45,

2232

解得〃=12&(負值舍去)，

：.b=^X(12&)2=36.

8

故答案為：4；36.

【點評】本題屬于反比例函數與幾何綜合，主要考查反比例函數的性質，平行線分線段成比例，三角形的

面積等內容，作出輔助線，設出點坐標，利用比例的關系表達出△口:￡的面積是解答本題的關鍵.

22.(2021秋?鹽都區期末)如圖，AB是半圓的直徑，C為半圓的中點，A(4,0),B(0,2),反比例函數

【分析】過點C作CE_LCA,垂足為E,交AB于點。，連接CF,證推空=d=①

0AAB0B

求出CO,DF,再根據CE〃BO,/XADE^/XABO,推延=地=迪=工，進而求出C點坐標.

OBABA04

【解答】解：過點C作CELCA,垂足為E,交AB于點連接CF,

/.ZCEA=90°,

為半圓的中點，

:.NCFE=90°,

VA(4,0),B(0,2),

.?Q=4,08=2,

在RtAAOB中，根據勾股定理得AB=2娓,

ZFCE+ZCDF=/BAO+NADE=90°,

NCDE=NEDA,

：./FCE=/BAO,

"：ZBOA=ZCFD,

:ABOAs叢DFC,

?CF=CD=FD

*'0AAB而’

，8=2.5,DF=",

_2

:.DA=?,

2

ZB0A=ZCEA=9Q°,

J.CE//BO,

:.XNDEs/XABO,

?理=辿=坐=』

,,0BABAO7'

：.DE=0.5AE=\,

：.OE=3,CE=3,

：.C(3,3),

?.?反比例函數的圖象經過點C,

：.k=9,

故答案為：9.

【點評】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造相似三角

形，通過比例線段求出對應點的坐標是解題關鍵.

23.(2021秋?崇川區期末)如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=—(JC>0)的圖象交矩形OABC

的邊A8于點M(1,2),交邊8c于點M若點B關于直線的對稱點B'恰好在x軸上，則OC的長為

?+1_.

【分析】過點M作MQLOC,垂足為Q,連接MB',NB',由于四邊形OA8C是矩形，且點B和點B'

關于直線MN對稱.且點8'正好落在邊OC上，可得△MB'QS2B'NC,然后M、N兩點的坐標用含“

的代數式表示出來，再由相似三角形對應邊成比例求出B'C和Q8'的長，然后利用勾股定理求出MB'

的長，進而求出0C的長.

【解答】解：過點M作MQLOC,垂足為Q,連接MB',NB',如圖所示:

:反比例函數y=K(x>0)的圖象過點M(1,2),

x

.,"=1X2=2,

x

設N(a,2),則B(a,2),

a

又???點8和點8'關于直線MN對稱，

：.MB=MB',NB=NMB'N=90°,

VZMQB1=NB'CN=90°,AMB'Q+ZNB'C=90°

又,：NNB'C+ZB'NC=90°,

：.ZMB'Q=NB'NC,

QSXB'NC,

.MB'MQQB'Pna-1_2_QB'

NB，B’CNC2BzC2

o2——

aa

解得：B'C=A,QB'=1,

a

:.MB'2=M(f+QB/2=22+l2=5,

即a-1=遙，

**?OC=a=+1.

故答案為：V5+1.

【點評】本題屬于反比例函數與幾何綜合題，涉及待定系數法求函數表達式，勾股定理，相似三角形的性

質與判定等知識，作出輔助線構造相似是解題關鍵.

24.（2021秋?太原期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCQ的頂點A,C分別在x軸的負半軸上，y

軸的正半軸上，y軸平分48邊，點A的坐標（-2,0）,AB=5.

從A,B兩題中任選一題作答.

A.過點8的反比例函數的表達式是丫=」.

【分析】A.設AB與y軸交于點E,過點8作BFLx軸，垂足為凡然后利用A字模型相似三角形進行計

算即可解答；

B.過點。作。G_Lx軸，垂足為G,利用8字型模型和一線三等角模型相似三角形進行計算即可解答.

【解答】解：若選擇4題：

過點B作軸，垂足為F,設43與了軸交于點E,

:點A的坐標(-2,0),

：.OA=2,

軸平分AB邊，AB=5,

.,.AE=BE=2A8=2.5,

2

軸，

/AOE=NAFB,NAEO=ZABF,

：.XkOEsXAEB,

.A0=_^=l

,*AFABT

：.AF=2AO=4,

：.OF=AF-0A=4-2=2,

BF=I/AB2-AF2=VB2-42=3'

：.B(2,3),

設過點B的反比例函數的表達式是＞=§■,

把8(2,3)代入y=K中得:

X

3嘮

"=6,

，過點B的反比例函數的表達式是：），=旦,

X

故答案為：）,=—;

X

若選擇8題：

過點。作DGLc軸，垂足為G,

由(1)得：△AOES/XAFB,

?膽=運=」

"ABBF'1'

2

???四邊形ABC。是矩形，

：.BC=AD,ZDAB^ZABC=90Q,

：NABC=/4OE=90°,ZAEO=NCEB,

：,/XAEOs^CEB,

?.?-O--E--_---B-E-，

AOBC

.1.5=2.5

'"~2~~BC~'

.?.BC=也，

3

：.AD=BC^—,

3

VZDAB=90°,

：.ZDAG+ZBAF=9Q°,

'：ZDGA=90°,

：.ZGDA+ZDAG=90°,

.'.ZBAF^ZGDA,

"：ZDGA=ZBFA=90°,

：./\DGA^/\AFB,

.DG=DA=GA

"AFAB而，

10

???D一G—-—3-—‘G一At

453

.?.￡>G=a,GA=2,

3

：.GO=AG+OA=4,

：.D(-4,B),

3

設過點D的反比例函數的表達式是y=史,

X

把￡）（-4,旦）代入、=如中得:

3x

8_m

1一五，

3

...過點。的反比例函數的表達式是：y=2