分類號論文編號本科生畢業論文分類討論思想在解題中的運用姓名：院系：數學科學學院年級專業：數學與應用數學指導教師：年月目錄摘要 IAbstract II第一章 緒論 1第二章對條件是分類給出的問題進行討論 11.1運用在指數函數及對數函數的單調性的討論及定義域的判斷 11.1.1指數函數及對數函數單調性的討論 21.2集合與不等式及函數的問題 3第三章對問題的變量及參數進行分類討論 42.1幾種常見變量及參數的問題 42.1.1級數的斂散性、函數的極值最值、參數方程所表示的曲線 5第四章對圖形的位置不確定進行分類討論 73.1運用分類思想證明幾何題 73.2運用在函數與函數之間是否存在有解 10第五章結論 11參考文獻 12致謝 13摘要分類討論思想是數學重要的思想方法和解題策略、也是教學的重點和難點.在求解數學問題時、采用分類討論思想、可以有效地將數學問題解決.分類討論思想在解題過程中會出現多種情形、將這些情形進行綜合、進行歸納、最終使得整個問題得以解決.關鍵詞：分類討論思想采用數學問題AbstractClassificationdiscussionthoughtisanimportantwayofthinking,andmathematicsproblem-solvingstrategies,teachingimportantanddifficult.Insolvingmathematicalproblems,theideaofclassificationdiscussion,caneffectivelytomathematicalproblemsolving.Discussideasintheproblemsolvingprocesswillappearavarietyofsituations,thesecircumstancesmakeacomprehensive,summarized,finallymadetosolvetheproblem.Keywords:Classificationdiscussideasusingmathematicalproblems興義民族師范學院本科畢業論文緒論分類討論數學思想是一種重要的解題策略，對于培養學生的思維的嚴密性，嚴謹性和靈活性及提高學生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助.分類討論數學思想是中學數學的重要的思想，它在中學占有重要的位置，也是近幾年中考、高考考查的重點、也是考查的熱點問題之一.參數問題廣泛地存在于中學數學的各類問題中，含參數的問題可分為四種類型：首先，對數學問題的變量或參數進行分類討論（數學問題中含有參數，這些參數不同，討論的結果也隨之不同，因此要對參數進行討論）.其次，對條件是分類給出的問題進行討論.例如有些概念、定理、公式、法則本身就包含了分類.如絕對值、直線的斜率、等比數列的求和公式等等.求解時，需要突破這些條件進行討論、這些范圍或條件為分類提供了理論依據.再次對求解過程不便統一表述的問題進行分類討論.（在求解過程中，由于題目的限制，統一起來表達不方便，必須進行分類討論）.最后，關于圖行的位置、類型的分類的問題.有關幾何問題中，由于圖行的位置，形狀的不確定，需要進行分類.通過對以上四種類型題目進行分類討論，我想學生在中考、高考中，遇到這樣的題目就是小菜一碟.總之，在各個教學模塊中逐步滲透用分類討論數學思想去解決問題.分類討論思想覆蓋的知識點較多，有利于考查學生的知識面，分類思想方式多種多樣，具有較高的邏輯性和較強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到確定對象的全體、明確分類的標準、分類不重復、分類不遺漏地分析討論、分級進行階段性結果，最后進行歸納，綜合得出結論.第二章對條件是分類給出的問題進行討論1.1運用在指數函數及對數函數的單調性的討論及定義域的判斷對數函數及指數函數是高考的熱點、也是高考的難點.其主要考其的定義域及單調性.這里就要討論底數的問題啦.在書本上指數函數和對數函數看上去簡單、其簡單的原因是指數函數與對數函數作為一個獨立部分.然而在高考，并沒有這么簡單、其經常和其它函數復合來一起來考，這樣不僅要考慮指數函數及對數函數自身限制條件，還要顧及其它函數自身限制條件，特別是這些函數含有參數的話，其難度系數就上升了，我們要對參數進行討論，討論時要做到在同一討論中只能按所確定的一個標準進行,分類既不重復，也不遺漏.1.1.1指數函數及對數函數單調性的討論解析：這是一道比較典型指數函數分類討論思想的題目，底數含有參數，指數部分又是二次根號，要討論指數函數，就要分底數大于1與底數大于零且小于1這兩種情況，指數部分是二次根號，顯然根號里面的數要大于等于立零，有根據指數函數的定義可知，指數不等于1（如果等于1，這個函數就沒有討論的必要了），所以還要討論指數部分大于零且小于1以及指數部分大于1.解：根據指數函數的定義：此題比較接近指數函數的定義，如果把底數換成一個代數式的話，那題目的難度又上升一個檔次，這就要把這個代數式看成一個整體，即是化整為零，積零為整，再用上述方法進行分類討論，進行歸納總結，最后的出結論.對數函數與指數函數互為反函數,它們在某些方面既有聯系也有區別，比如，指數函數恒過點而對數函數恒過.它們的聯系是指數函數的定義域是對數函數的值域，對數函數的定義域是指數函數的值域.然而要討論對數函數的單調性，則要看對數函數的底數的兩種情況，即底數大于零且小于1或者是底數大于1這兩種情況.例如求對數函數的單調區間解析：1.2集合與不等式及函數的問題在中學階段，集合是一些元素組成的的總體叫做集合，然而在近世代數里，集合不再是簡單的元素了，它們可以是我們日常生活中的具體的實物，但是在這里，我們只討論的是元素；不等式可以分為絕對值不等式和分式不等式，其中在不等式中含有參數或者是絕對值的話，我們要對參數及絕對值做討論；函數是不等式進一步的升華，其原因是吧不等式的大于或小于改成等于并添加一個因變量，其的討論和不等式的思想差不多，在這里不再著述了..1.2.1集合與不等式之間的解集例如；已知集合，求分別滿足下列條件的的取值范圍：集合是集合的真子集集合與集合的交集是空集解：因為=恒成立所以=；即是=若m，則又因為集合是集合的真子集，所以解得所以若，則集合是空集，滿足集合是集合的真子集所以，則，要使集合與集合的交集是空集，則只需要或者，解得這與相矛盾.若，則集合是空集，滿足集合與集合的交集是空集所以總結對于此題，我們必須對討論，比且還要考慮集合是空集的時候，不然會出現分類遺漏.例如:,求滿足的值組成的集合.解：由集合，又因為所以，即可能是若，則，即，所以；若，則，解得；若，則，方程組無解.若，則，解得綜上所述：實數的取值集合.總結，在遇到求子集，真子集的個數，或兩個集合之間的關系問題時，一定要優先考慮空集以免分類遺漏而導致錯誤.第三章對問題的變量及參數進行分類討論2.1幾種常見變量及參數的問題變量及參數問題廣泛存在數學中，它們以各種各樣的方式出現，其難易程度有各自的側重點，但不管怎么樣，它們大多數都以函數的方式出現.例如，級數的斂散性、求含有參數極值、最值得問題以及討論含有參數方程所表示的曲線，像這樣的問題，它們會隨變量或者參數取值的大小不同，它們的結果隨之而改變，所以我們在做這些題目時，一定要注意分類的合理性、科學性、、明確分類的標準、分級進行分類、最后進行歸納，綜合得出結論.2.1.1級數的斂散性、函數的極值最值、參數方程所表示的曲線（款的標題）級數是指給定一個數列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式叫做常數項無窮級數或數項級數，也簡稱級數，其中稱為數項級數的通項或一般項.數項級數的前和，記為=.然而極值、最值問題，要涉及導數，在求極值、最值，導數是有效的工具，但也有其它的辦法來求，那就要看針對什么樣的題目了，比如，在求二次函數的最值時，有些題目可以用均值不等式來做等等.我們也可以根據二次函數的性質來求.參數所表示的曲線，那就看參數取值的范圍了，這里就不再論述了.下面會以例題來講解.2.1.1.1級數的斂散性（項的標題）若數項級數的部分和數列收斂于則稱數項級數收斂，稱是為數項級數的和.記作=，若數項級數發散的，則稱數項級數發散.在這里順便提一下幾個級數；等比級數、調和級數（是發散的）.例題，討論幾何級數的斂散性（其中）解：當時，級數的第個部分和，因此，當時，，此時級數收斂，其和為當時，，所以級數發散時，級數發散.綜上所述，當時，，此時級數收斂當時，此時級數收斂2.1.1.2函數的極值、最值函數的極值、最值是高考的熱點，也是難點，高考一般把這一題放在最后，我們一般把這一題叫做壓軸題，此題很少有同學得滿分，因為此題考的知識面很廣，涉及的知識點有多.下面來看一個例題例題，已知求的單調區間；若在上遞增函數，求的取值范圍.分析：要求函數的單調區間，我們第一要想到是，確定函數的定義域，馬上進行求導，找出極值點，最后判斷單調性，然而此題含有參數，求導之后我們要對參數進行討論.解：由題可知，函數的定義域是一切實數.所以的導數為a,當時，函數在是增函數:b,當時，函數在是增函數，函數在是減函數.有（1）可知在是增函數，所以，即是，所以我例如，討論所表示的曲線.解：這是以為參數的曲線，給不同值，可以得到不同的二次曲線.當時，=0，即是，當時，，即是，當時，原方程可以化為；如果時，則曲線是以焦點為的橢圓.如果時，則曲線是以焦點為的雙曲線.第四章對圖形的位置不確定進行分類討論（標題）3.1運用分類思想證明幾何題運用分類思想證明幾何體是比較常見的，但是又是同學們很少想到的，這里要強調的是只要是數學，其在一定程度上都會用到分類思想.比如某個人把撒落在地上，問你怎樣找才能把針全部撿完，這個問題其實在我們日常生活中隨時遇到，只是我們把它們忽視罷了，這個題目有效的方法就是把地面分成若干個小區域，依次把小區域里的針找完就可以了，其實這就是運用了分類思想解決實際生活中的問題了.例如，證明：五點中必有四點是一個凸四邊形的四個頂點.證明：我們可以按五點的凸包分三種情況：五點的凸包為凸五邊形，顯然，必有四點是四邊形的頂點；五點的凸包為凸四邊形，顯然，也必有四點是一個凸四變形的四個頂點；對于情況三，因為任意三點不共線，直線DE必與三角形的線段相交而與第三邊永不相交.設直線DE與線段BC不相交，則四邊形EDBC為凸四邊形.所以，原命題成立.AABCDE注意：對于同一個較復雜的問題，如果取用的分類標準不同，那么解決問題的繁簡程度上往往差別很大.如上述例題中，我們以其中三點為頂點作一個三角形，再按其余兩點關于這個三角形的位置的不同的情況分類進行討論就顯得異常的復雜，大大增加解題的難度，因此，進行分類、討論之前，應當對題目先作一番深入的分析，并將幾種分類標準作適當比較，選擇適當的分類標準，盡量簡化分類過繁的現象.其次，對某些數學問題，如果先利用已知的條件，限制題目中涉及的量的范圍，再進行分類討論，常常能是問題簡化.例如，平面外有兩點A,B,它們到平面的距離分別為a，b，線段AB上有一點P，已知AP/PB=0.5，求點P到平面M的距離 .解：（1）當點A,B在平面M的同側時（如圖1），設則，所以.若平行平面，則，此時，.當點A,B在平面M的異側時，若點位于點的同側(如圖2)，則則，從而，若點位于點的同一側（如圖3），則，從而，。圖1圖2圖33.2運用在函數與函數之間是否存在有解求函數的零點的個數.分析：此題我們可以構造兩個函數與，再利用導數來解決，因為現在這兩個函數圖像我們是不知道，我們可以導函數函數的單調區間大致畫出原函數的圖形，再用這個函數的圖像去與其相交的交點的個數即可.解：令，所以，令，即是或者，再令，所以當或者時，函數是增函數，當時，函數是減函數，函數在處取得極大值，函數在處取得極小值.當時，函數與函數有兩個交點；當時，函數與函數有兩個交點；當時，函數與函數有一個交點；當時，函數與函數有一個交點；當時，函數與函數有三個交點第五章結論運用分類討論思想能夠有效的指導我們的學習，操作程序是化整為零，積零為整，把對總體的探究轉到對討論各個個體，這兩者的效果是一樣的分類討論思想的精髓是分類既不重復，也不遺漏、漸進性分類，不要越級、在同一討論中只能按所確定的一個標準進行.分類討論思想的優勢，表現在可以迅速的找出解決問題的切入點，以解決開頭難的問題，使我們的數學探究活動有一個良好的開局.注意，分類討論某個數學問題，必須在同一個標準下進行，切記用兩個或兩個以上的標準對數學對象實施進行分類，這和我們平時的為人處世也是一樣的對他人和自己，無論從哪個角度來評價，不可采用多從標準，分類討論也是如此.參考文獻主要參考資料：[1]歐陽維誠編著.初等數學思想方法選講[M].長沙市：湖南教育出版社,2000.[2]陸書環，馮振舉編著.初中數學方程[M].北京市：金盾出版社,2004.04[3]沈文選著.中學數學思想方法[M].長沙市：湖南師范大學出版