第8章函數應用

8.1二分法與求方程近似解

函數的零點

教學設計

一、教學目標

1.理解函數零點的概念；

2.會求簡單函數的零點.

二、教學重難點

1.教學重點

函數零點的概念.

2.教學難點

會求簡單函數的零點.

三、教學過程

(-)新課導入

預習課本內容，思考以下問題：

1.函數與方程有什么關系？

2.如何運用函數的知識研究方程的解？

(-)探索新知

使二次函數y=ox2+6x+c(a,6,ceR,。*。)的值為0的實數尤稱為二次函數

y=依2+&v+c的零點.因止匕二次函數y=依2+法+。的零點就是關于x的一元二次方程

以2+6x+c=0的實數解，也是二次函數>=依2+灰+。的圖象與無軸交點的橫坐標.

一般地，把使函數y=/(x)的值為0的實數x稱為函數y=/(x)的零點.

因此，函數y=/(x)的零點就是方程/Xx)=O的實數解.從圖象上看，函數y=/(x)的零

點，就是它的圖象與x軸交點的橫坐標.

對于函數/。)=尤2-2》-1在區間(2,3)上是否存在零點這個問題，可以通過解方程或

觀察函數圖象的方法來解決.

如圖，因為/(2)=-1<0,/(3)=2>0,而二次函數/(尤)=/-2主-1在區間［2,3］上的

圖象是不間斷的，這表明此函數圖象在區間(2,3)上一定穿過x軸，即函數在區間(2,3)上

存在零點.

一般地，若函數y=/(x)在區間m，句上的圖象是一條不間斷的曲線，且/■(a)/S)<0,

則函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點.

例1證明：函數〃x)=川+尤2+1在區間(_2,-1)上存在零點.

證明：因為八-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0,

/(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0,

且函數/(x)在區間［-2,-1］上的圖象是不間斷的，所以函數/(尤)在區間(-2,-1)上存

在零點.

例2求證：函數八》=2'2元-3有零點.

證明：因為/(0)=2°+2x0-3=-2<0,

/(1)=21+2xl-3=l>0,

且函數/(x)在區間［0,1］上的圖象是不間斷的，所以函數十》=2工+2尤-3在區間(0,1)

上有零點，從而函數八》=2'2元-3有零點.

(三)課堂練習

1.函數y=Y+6尤+8的零點是()

A.2,4B.-2,-4C.(-2,0),?0)D.(-2,-4)

答案：B

解析：令y=f+6x+8=0,即(尤+2)(x+4)=0,

解得玉=—2,%2=—4,

故函數的零點為-2,-4,故選B.

2.方程logs尤+x=3的根所在的區間為()

A.(0,2)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案：C

2

解析：^/(x)=log3x+x-3,則/(2)=log32+2-3=log3§<0,/(3)=log33+3-3=l>0,

所以方程log3尤+元=3的根所在的區間為(2,3).故選C.

3.設/(x)是區間［-1,1］上的增函數，且則方程/(尤)=0在區間［一1,1］內

()

A.可能有3個實數根

B.可能有2個實數根

C.有唯一的實數根

D.沒有實數根

答案：C

解析：因為小)在區間［-I」上是增函數，且/所以人》)在區間a

上有唯一的零點.所以方程/(%)=0在區間［-:1,1］內有唯一的實數根.故選C.

4.求下列函數的零點：

(1)f(x)=—x2+2x+3；

,、(2x-4,x>0,

(2)f(x)=2

［2x2+5x+2,x<0.

答案：(1)令-爐+2*+3=0,得x=-l或x=3,因此函數的零點為-1,3.

(2)當xNO時，由2x—4=0得x=2；

當x<0時，由2x2+5x+2=0得彳=-2或尤=」.所以函數的零點為-2,,2.

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5.求證：方程5--7》-1=0的一個根在區間(-1,0)上，另一個根在區間(1,2)上.

答案：由題意得方程5x2-7x-l=0的判別式A=69>0,故方程共有兩個不等實數根.

設f(x)=5尤2-7x-l,

則f(-l)=5+7_l=ll,/(0)=-1,/(1)=5-7-1=-3,/(2)=20-14-1=5.

?.-/(-1)-/(0)=-11<0,，⑴"⑵=一15<0,且/(X)=5/一7無一1的圖象在R上是連續不

斷的，

f(x)在(-1,0)和(1,2)上分別有零點,

即方程-7x-1=0的一個根在區間(-1,0)上，另一個根在區間(1,2)上.

(四)小結作業

小結：函數零點的概念及求法.

作業：

四、板書設計

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