2021年內(nèi)蒙古烏蘭察布市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共有12小題，每小題3分，共36分.每小題只有一個正確選項，請將

答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

1.據(jù)交通運輸部報道，截至2020年底，全國共有城市新能源公交車46.61萬輛，位居全球

第一，將46.61萬用科學(xué)記數(shù)法表示為4.661X10\則”等于（）

A.6B.5C.4D.3

2.下列運算結(jié)果中，絕對值最大的是（)

A.1+(-4)B.(-1)4C.(-5)rD.1

3.已知線段48=4,在直線48上作線段8C,使得8c=2,若。是線段ZC的中點，則線

段4。的長為（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

4.柜子里有兩雙不同的鞋,如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋是同一雙的概率為（）

A.AB.AC.AD.A

3456

5.如圖，在RtzXNBC中，ZACB=90°,AB=y/s，BC=2,以點/為圓心，NC的長為半

徑畫弧，交.AB于點、D,交4C于點C,以點8為圓心，/C的長為半徑畫弧，交于點

E,交BC于點F,則圖中陰影部分的面積為（）

A.8-ITB.4-itC.2-——

4

6.若x=&+l,則代數(shù)式/-21+2的值為（）

A.7B.4C.3D.

7.定義新運算“口”，規(guī)定：aDb=a-2h,若關(guān)于x的不等式x□掰＞3的解集為-1,

則m的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

8.如圖，直線直線/3交/1于點4交/2于點3,過點8的直線/4交4于點C.若

Z3=50°,Zl+Z2+Z3=240°,則N4等于（）

9.下列命題正確的是（）

A.在函數(shù)夕=-《中，當(dāng)x>0時，y隨X的增大而減小

B.若.<0,則\+a>1-a

C.垂直于半徑的直線是圓的切線

D.各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形

10.已知二次函數(shù)（〃=0）的圖象經(jīng)過第一象限的點（1,-b）,則一次函數(shù)

y=bx-ac的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.如圖，在△ABC中，AB=AC,△O8C和△ASC關(guān)于直線8c對稱，連接4D,與BC

相交于點O,過點C作CEVCD,垂足為C,AD相交于點E,若4）=8,8C=6,則城里.

BD

的值為（）

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O48C的04邊在x軸的正半軸上，OC邊在y軸的

正半軸上，點8的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)y=2（x>0）的圖象與8c交于點。，

x

與對角線08交于點E,與AB交于點、F,連接OD,DE,EF,DF.下列結(jié)論：

?sinZDOC=cosZBOC；②0E=BE；③S&DOE=S&BEF；?0D-.DF=2：3.

其中正確的結(jié)論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題：本大題共有8小題，每小題3分，共24分.請把答案填在答題卡上對應(yīng)的橫線

上。

2

13.因式分解：—+ax+a—.

4

，2m+］）二1_

14.化簡:

'm?-42-mm+2

15.一個正數(shù)a的兩個平方根是23-1和b+4,則a+b的立方根為.

16.某人5次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為5,10,7,x,10.若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8,則這組

數(shù)據(jù)的方差為.

17.如圖，在中，ZACB=90°,過點B作BDLCB,垂足為B,且也）=3,連

接CD,與AB相交于點M,過點M作MNLCB,垂足為N.若AC=2,則MN的長

為.

18.如圖，在團(tuán)/8C。中，AD=\2,以/。為直徑的。。與8c相切于點E,連接。C.若

OC=AB,則囿488的周長為.

A,OD

19.如圖，8。是正方形/8CD的一條對角線，E是BD上一點,尸是C8延長線上一點，連

接CE,EF,AF.若DE=DC,EF=EC,則NA4尸的度數(shù)為.

20.已知拋物線-2x-3與x軸交于Z,B兩點（點A在點B的左側(cè)）與y軸交于點C,

點0（4,y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)8E+DE的值最小時，A4CE

的面積為.

三、解答題：本大題共有6小題，共60分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫

在答題卡的對應(yīng)位置。

21.（8分）為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了學(xué)黨史知識競賽.參加知識競

賽的學(xué)生分為甲乙兩組，每組學(xué)生均為20名，賽后根據(jù)競賽成績得到尚不完整的統(tǒng)計圖

表（如圖），已知競賽成績滿分為100分，統(tǒng)計表中“，滿足Z>=2〃.請根據(jù)所給信息，

解答下列問題：

甲組20名學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表

成績（分）708090100

人數(shù)3ab5

（1）求統(tǒng)計表中a,6的值；

（2）小明按以下方法計算甲組20名學(xué)生競賽成績的平均分是：（70+80+90+100）4-4=

85（分）.根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計知識判斷小明的計算是否正確，若不正確，請寫出正確的算式并

計算出結(jié)果：

（3）如果依據(jù)平均成績確定競賽結(jié)果，那么競賽成績較好的是哪個組？請說明理由.

乙組20名學(xué)生竟賽成績統(tǒng)計圖

22.（8分）某工程隊準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側(cè)選定C,D

兩個觀測點，如圖.測得/C長為2返癡，8長為3（揚(yáng)加）.，8。長為旦加，

242

/NCD=60°,NCD8=135°（/、B、C、。在同一水平面內(nèi)）.

（1）求/、。兩點之間的距離；

（2）求隧道的長度.

23.（10分）小剛家到學(xué)校的距離是1800米.某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家

中，此時離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車按原

路返回學(xué)校.已知小剛騎自行車時間比跑步時間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度

是跑步的平均速度的1.6倍.

（1）求小剛跑步的平均速度；

（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請說

明理由.

24.（10分）如圖，在銳角三角形N8C中，是8c邊上的高，以/。為直徑的。。交

于點E,交/C于點凡過點尸作廠GLN8,垂足為〃，交會于點G,交4）于點連

接NG,DE,DF.

(1)求證：ZGAD+ZEDF=\S0°；

(2)若N4CB=45°,AD=4,tanZABC=2,求〃尸的長.

25.（12分）如圖，已知△/8C是等邊三角形，P是△/5C內(nèi)部的一點，連接BP,CP.

（1）如圖1,以8C為直徑的半圓。交于點0,交/C于點心當(dāng)點尸在廟上時，

連接NP,在8c邊的下方作/尸，CD=AP,連接。P,求NCP。的度數(shù)；

（2）如圖2,E是BC邊上一點,且EC=38E,當(dāng)8P=C尸時，連接EP并延長，交4c

于點F,若用AB=4BP,求證：4EF=3AB；

（3）如圖3,M是/C邊上一點，當(dāng)/A/=2MC時，連接若NCMP=150°,AB

=6a,MP=^,△/BC的面積為Si，△BCP的面積為S2，求Si-S2的值（用含。的

代數(shù)式表示）.

26.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=--+4x經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸正半軸

交于點，，點M（機(jī)，〃）是拋物線上一動點.

（1）如圖1,當(dāng)機(jī)>0,?>0,且〃=3機(jī)時，

①求點M的坐標(biāo)；

②若點8（匹，y）在該拋物線上，連接OM,BM,C是線段8/上一動點（點C與點

4

M,8不重合），過點C作CQ〃MO,交x軸于點。，線段OD與MC是否相等？請說明

理由；

(2)如圖2,該拋物線的對稱軸交x軸于點K,點E(x,—)在對稱軸上，當(dāng)機(jī)>2,n

3

>0,且直線EN交x軸的負(fù)半軸于點尸時，過點4作x軸的垂線，交直線EM于點、N,

G為y軸上一點，點G的坐標(biāo)為(0,—),連接G凡若EF+NF=2MF,求證：射線

5

尸E平分乙4FG.

參考答案及解析

1.【解析】8

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其中"為整數(shù).

所以46.61萬=466100=4.661X105

2.【解析】A

(-4)|=|-3|=3,|(-1)4|=|1|=1,|(-5)-l\=\-l\=l,1741=121=2,

55

口V1V2<3.

5

3.【解析】C

根據(jù)題意，有兩種情況，

①如圖1所示，

,：BC=2,AB=4,

：.4C=AB-BC=2,

???〃是線段NC的中點，

-■?^=yAC=yX2=l；

②如圖2所示，

"：BC=2,AB=4,

：.AC=AB+BC=6,

是線段NC的中點，

AC=—X6=3-

22

線段力。的長為1或3.

4.【解析】/

兩雙不同的鞋用/、“、B、6表示，其中“、”表示同一雙鞋，B、。表示同一雙鞋，

畫樹狀圖如圖所示：

開始

/N/N/N/1\

aBbABbAabAaB

總共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的鞋是同一雙的結(jié)果有4種,

所以取出的鞋是同一雙的概率為生」.

123

5.【解析】。

由題意知，-=BE=BF=AD=AC=1,

設(shè)N/=〃i°,NB=n°

VZACB=90°,

，NN+N3=90°,即根+〃=90,

?'?S陰影部分=S&4BC-（s鹿形E8F+S扇形O/IC）

22

(nHXImHXl)

=yX2X1-~~360--1360

_]_(ntm)兀=[,兀

360T'

6.【解析】C

Vx=V2+l>

?'?x-1=V2?

兩邊同時平方得：(x-1)2=2,

即x2-2x+l=2,

Ax2-2x+2=3.

7.【解析】B

?：a%b=a-2bf

AxD/w-x-2nt.

VxD/w>3,

即x-2/w>3,

.\X>2/H4-3.

又???關(guān)于X的不等式x「m>3的解集是X>-1,

即2/"+3=~19

:?m=-2.

8.【解析】3

解：如圖所示,

V71/7/2,

，N1+N3=18O°,

VZ1+Z2+Z3=24O°,

.\Z2=240°-(Z1+Z3)=60°,

VZ3+Z2+Z5=180°,Z3=50°,

AZ5=180°-Z2-Z3=70°,

又l\//h9

AZ4=Z5=70o.

9.【解析】D

解：A、在函數(shù)y=中〃=-方VO,當(dāng)x>0時，y隨X的增大而增大，所以原命題

錯誤，不合題意；

若“V0,則1+aVl-a,所以原命題錯誤，不合題意；

C、垂直于半徑且經(jīng)過半徑的外端的直線是圓的切線，所以原命題錯誤，不合題意；

D、各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形，是真命題，符合題意.

10.【解析】C

解：?.?點（1,-b）在第一象限.

:.-*>0.

又,二次函數(shù)產(chǎn)―-必+c（丘0）的圖象經(jīng)過點（1,-/>）.

/.-b=a-h+c.

:.a+c=O.

又a#0.

：?ac<Q.

...一次函數(shù)y=6x-ac的圖象經(jīng)過一、二、四象限.

11.【解析】D

解：?.?△O5C和A45C關(guān)于直線5c對稱，

：.AB=BD,AC=CD,

'：AB=AC,

：.AB=CD=AC=BD,

四邊形是菱形，

：.ADA.BC,ZACO=ZDCO,AO=DO=4,BO=CO=3,

??BD=-\/I)O2+BO2=V9+16=5,

7CELCD,

:.NDCO+NECO=NCAO+NACOWO。,

:.NCAO=NECO,

.，.tanNECO=^=里，

COAO

?.?"E-O1=3,

34

：.E0=^~,

4

：.AE=—,

4

.2OE+AE_2X_4+4_5

BD-57'

12.【解析】N

解：①在矩形048C中，

?：B(4,2),

.\OA=4,OC=2,

由勾股定理得：OB=d+42=2^/"^，

當(dāng)『=2時，即2=2,

x

，x=L

：.D(1,2),

：.CD=\,

由勾股定理得：OD=^22+12=A/5,

：.sinZDOC=^-=-^=^-,

ODV55

cosNBOC=—?==運，

2代5

:*sinZDOC=cosZBOC,

①正確；

②設(shè)08的解析式為：y=kx(AWO),

把(4,2)代入得：4A=2,

?\A=—,

2

即y=-^x,

當(dāng)上*=2時，x=±2,

2x

：.E(2,1),

.?.￡是05的中點，

：.OE=BE,

②正確；

③當(dāng)X=4時，

.?.尸(4,A),

2

：.BF=2-工=3,

22

：.S^BEF=—X—(4-2)=2，

222

^△DO￡=^-X2X4-yXlX2-yX3X1

_3

----9

2

S&DOE=SABEF,

③正確；

④由勾股定理得：Z)F=J32+(1)2=3^5,

?：OD=C

.OD^

"DF"3V5'

2

即OD：DF=2t3.

④正確；

所以其中正確的結(jié)論有①②③④，共4個.

13.【解析】匕0+2)2

4

2

解：—+ov+a

4

=—?(X2+4X+4)

4

=—a(JH-2)2.

4

14.【解析】1

解:,2m*］］二］

'2-42~mm+2

=2m-(m+2),(w+2)

(m+2)(nr2)

_m-2

m-2

=1.

15.【解析】2

解：???一個正數(shù)a的兩個平方根是2。-1和b+4,

工2b-1+什4=0,

，升4=3,

，。=9.

:?a+b=9+(-1)=8,

：.a+h的立方根為2.

16.【解析】3.6

解：依題意，數(shù)據(jù)5,10,7,x,10的中位數(shù)為8,

即x=8,

所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(5+10+7+8+10)=8,

5

這組數(shù)據(jù)的方差W=/[5-8)2+(10-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=3.6.

17.【解析】5

5

解：'：BDA.CD,MNA.CB,NNCS=90°,

J.AC//BD//MN,NCNM=NCBD,

:.NAMC=NMBD,ZMCA=NMDB=NCMN,

:AMACSMBD,ACMNSCDB,

.MC_AC2HN_CM

"ND"BD"?'BD'CD'

?.?—CM“2,

CD5

.MN2

35

:.MN=殳.

5

18.【解析】24+6旄

解：如圖所示，連接OE,過點C作CF_L4O交40于點尸，

V四邊形ABCD1平行四邊形，

：.AD//BC,AB=CD,AD=BC,

，NEO0+NOEC=18O°,

?.?00與5c相切于點E,

：.OEVBC,

即NOEC=90°

NEOO=90°,

'：CFVAD,

：.ZCFO=90°,

J.四邊形OEb簸形，

：.FC=OE,

是。。的直徑，AD=12,

：.FC=OE=OD=^AD=f>,

2

'：OC=AB,CF1.AD,

：.OF=^OD=3,

2

在Rt△。廠C中，由勾股定理得，

OC2=OF2+FC2=32+62=45,

：.^ABCD的周長為12+12+3遙+3旄=24+6&.

19.【解析】22.5°

解：如右圖所示，連接ZE,

,：BD為正方形ABCD的對角線，

AZBZ)C=45°,

"：AD=DE=DC,

：.Z.DEC=ZDCE=A^P__=675?,

2

VZDCB=90°,

；.NBCE=90°-ZDC￡=90°-67.5°=22.5°,

,:EF=EC,

AZ￡FC=180°-ZEFC-ZECF=i80°-22.5°-22.5°=135

'：ZBEC=iS00-ND￡C=180°-67.5°=112.5°,

：.ZBEF=135°-112.5°=22.5°,

,：ZADE=45°,AD=DE,

.?.NZED=180°—45。=67.5。,

2

AZBEF+ZAED=22.50+67.5°=90°,

.?.N4E尸=180°-90°=90°,

在△/〃￡'和△EDC中，

'AD=DE

<ZADE=ZEDC.

DE=DC

:.AADE義AEDC(SZS),

：.AE=EC,AE=EF,

即△XEF為等腰直角三角形，

ZAFE=45°,

AZAFB=ZAFE+ZBFE=45°+22.5°=67.5°,

VZ/4BF=90",

AZBAF=9f>°-ZAFB=9Q0-67.5°=22.5°.

20.【解析】4

解：依題意，當(dāng)y=0時，x1-2x-3=0,解得xi=-1,X2=3,則N(-1,0),B(3

0),

.?.拋物線的對稱軸為直線x=L

當(dāng)x=0時，y=--2x-3=-3,則C(0,-3),

當(dāng)x=4時，J=X2-2X-3=5,則。(4,5),

連接ZO交直線x=l于點E,交y軸于點尸，如圖所示，

VBE+DE=EA+DE=AD,

即BE+DE的值取得最小值，

設(shè)直線AD的解析式為

把4(-1,0),D(4,5)代入得［"+b=0,解得［k=l,

I4k+b=5Ib=l

二直線AD的解析式為j=x+l,

當(dāng)x=l時，y=x+\=2,則E(1,2),

當(dāng)x=0時，y=x+l=l,則尸（0,1）,

/.S^ACE=S^ACf^-S^ECF=—X4X1+—X4X1=4.

21.【解析】

解：（1）因為每組學(xué)生均為20名，

所以“+6=20-3-5=12（名），

又因為b—2a,

即Q=4,Z>=8；

（2）小明的計算不正確，

正確的計算為：7°X3+8°x4+9°x8+1°°x5=87.5（分）；

20

（3）競賽成績較好的是甲組，

理由：乙組20名學(xué)生競賽成績的平均分為:100X360-90-90-144+90x_90_+8ox

360360360

+70X10+22.5+20+28=80.5（分），

360

因為80.5<87.5,

所以競賽成績較好的是甲組.

22.【解析】

解：（1）過點力作ZE_LCD于點E,如圖:

則NZ￡C=N/E0=9O°,

,：ZACD=60°,

：.ZCAE=900-60°=30°,

：.CE=^AC=^-y/2（km）,AE=4^CE=3娓（幻"），

244

:.DE=CD-CE=&（V2+V6）-3&=3疵（幻"），

444

??AE=DEf

即△//）后是等腰直角三角形，

揚(yáng)E=&x3依=2^1（km）；

42

（2）由（1）知：△/!〃￡是等腰直角三角形，

：.AD=42AE=^^-（A/M）,ZADE=45°,

又,.,NC〃5=135°,

；.NADB=135°-45°=90°,

由勾股定理得，N8={AD2+BD2=J（年產(chǎn)+^^=3（癡）,

即隧道48的長度為3A，”.

23.【解析】

解：（1）設(shè)小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車的平均速度為1.6x米/分,

依題意，得儂_+4,5=儂?，

1.6xx

解得：x=150,

經(jīng)檢驗，x=150是方程的根，

所以小剛跑步的平均速度為150米/分.

（2）由（1）知小剛跑步的平均速度為150米/分，

則小剛跑步所用時間為18004-150=12（分），

騎自行車所用時間為12-4.5=7.5（分），

因為小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，

所以小剛從開始跑步回家到趕回學(xué)校需要12+7.5+3=22.5（分）.

又因為22.5>20,

所以小剛不能在上課前趕回學(xué)校.

24.【解析】

（1）證明：根據(jù)題意知NNG尸=N4O尸（同弧所對的圓周角相等）,

,：GFA.AB,Z0為圓的直徑，

：.ZADF+ZFAD=90°,ZAGF+ZGAE=90°,

：.ZGAE=ZFAD,

：.ZGAE+ZDAE=ZFAD+ZDAE,

V四邊形AEDF是圓的內(nèi)接四邊形，

：.ZEAF+ZEDF=\80",

...NG4O+NE"=180°.

（2）解：如圖所示，連接。尸，

是圓的直徑，且40是△Z5C的高，GF±AB,

：.ZAED=NADB=NAHM=N/尸0=90°,

:.叢AHMsAADB,

.AH=AD

?項麗’

,.?tanN/5C=歿=2,

BD

.?.妲=2,

HM

VZACB=45°,

:.ZDAC=ZADF=NAFO=45°,

：.ZAOF=90°,

\?在與Rt△尸。必中，

NAMH=NFMO（對頂角），

:.△AHMsRFOM,

.FO=AH=2

,'ON而

'：AD=4,

：.OF=OA=2,

；.I0-=2,解得OM=1,AM=OA-OM=\,

OM

設(shè)/Mf=x,則/〃=2x,

在“HM中：AH2+HM2=AM2,

即（2x）2+^=1,解得xi=Y5,X2=-Y5（舍）,

_55

；.AH=^-,

5

'：OF=OA=2,

:.AF=2版,

在RtZkZ”尸中：AH2+HF2=AF2,

即（型5）2+HF2=（2我）2,

5

解得〃尸=殳區(qū)，或〃尸=-曳5（舍），

55

所以“尸的長為$Z5.

5

25.【解析】

解：（1）如圖1所示，連接5D,

???△N5C是等邊三角形，

：.ZABC=M°,AB=BC,

在△歷1尸和△BCD中，

'AB=BC

<ZBAP=ZBCD?

AP=CD

:.△BAPmABCD(.SAS},

:.NABP=NCBD,BP=BD,

；N4BP+NPBC=60°,

ZCBD+ZPBC=60°,

即NP5Z)=60°,

.??△5CP是等邊三角形，

:.NBPD=60°,

「Be是。。的直徑，

AZBPC=90",

:.NCPD=NBPC-N"PD=90°-60°=30°；

(2)如圖2所示，連接4P交5c于點O,

?.?△Z5C是等邊三角形，

：.ZABC=ZACB=6f>°,AB=AC=BC,

?；BP=CP,

：.AD1.BC,BD=CD=工BC=L&

22

：.AD=AB*%\n^ABC=AB*%mM°=2L±AB,

2

，:5AB=4BP,

J?

：.BP=y~LAB,

4________________

???PC=、BP2_BD2=J(華研)2-0|如)2=坐/5,

：.PD=^AD,即點尸是的中點，

2

；EC=3BE,

：.BE=—BC,BC=4BE,

4

'：BD=—BC,

2

;.BE=LBD,即點E是8。的中點，

2

:.EP是AABD的中位線,

：.EF//AB,

:ACEFSACBA,

.EF_CE_3BE_3

"ABCB宣T

：.4EF=3AB；

(3)如圖3所示，過點?!作5c于點D,過點尸作尸及L6C于點E,交/C于點F,

作P//_LNC于點〃，

由(2)知：40=亨N5=3心，N4C5=60°,BC=AC=AB=6a,

VZCMP=150",

AZP;WF=180°-ZCAfP=180°-150°=30°,

,：ZCHP=90°,

APH=PM-sinZPMF=\[^a?sin30°=^-?,

MH=PM-cosZPMF=A/3?*co?30-=-|-a,

'.'EFIBC,

.?.NCE尸=90°,

：.ZCFE=9f>°-ZACB=90°-60°=30°,

:.NCFE=NPMF,

:.PF=PM=Q,

'：AM=2MC,

CM=—AC——X6a—2a>

33

'CF=CM++MH+HF=5a,

：.EF=CF*sinZACB=5(fsin60°=^^-a,

_2

：.PE=EF-尸尸=芻返。-五=心旦”，

22

二51-S2=