2024初中數學競賽八年級競賽輔導講義專題25配方法閱讀與思考把一個式子或一個式子的部分寫成完全平方式或者幾個完全平方式的和的形式，這種方法叫配方法，配方法是代數變形的重要手段，是研究相等關系，討論不等關系的常用技巧.配方法的作用在于改變式子的原有結構，是變形求解的一種手段；配方法的實質在于揭示式子的非負性，是挖掘隱含條件的有力工具.配方法解題的關鍵在于“配方”，恰當的“拆”與“添”是配方常用的技巧，常見的等式有：1、2、3、4、配方法在代數式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應用，運用配方解題的關鍵在于：(1)具有較強的配方意識，即由題設條件的平方特征或隱含的平方關系，如能聯想起配方法.(2)具有整體把握題設條件的能力，即善于將某項拆開又重新分配組合，得到完全平方式.例題與求解【例1】已知實數，，滿足，那么_____(“祖沖之杯”邀請賽試題)解題思路：對題設條件實施變形，設法確定x，y的值.【例2】若實數，，c滿足，則代數式的最大值是()A、27B、18C、15D、12(全國初中數學聯賽試題)解題思路：運用乘法公式，將原式變形為含常數項及完全平方式的形式.配方法的實質在于揭示式子的非負性，而非負數有以下重要性質；(1)非負數的最小值為零；(2)有限個非負數的和為零，則每一個非負數都為零.【例3】已知，求a+b+c的值.解題思路：題設條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式，怎樣才能確定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.復合根式的化簡，含多元的根式等式問題，常常用到配方法.【例4】證明數列49，4489，444889，44448889，…的每一項都是一個完全平方數.解題思路：，由此可猜想，只需完成從左邊到右邊的推導過程即可.幾個有趣的結論：(1)(2)這表明：只出現1個奇數或只出現1個偶數的完全平方數分別有無限多個.【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意，現在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層時，可以使得這32個人不滿意的總分達到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．(全國初中數學聯賽試題)解題思路：通過引元，把不滿意的總分用相關字母的代數式表示，解題的關鍵是對這個代數式進行恰當的配方，進而求出代數式的最小值.把代數式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數這一性質達到增加問題條件的目的，這種解題方法叫配方法.配方法的作用在于改變代數式的原有結構，是變形求解的一種手段；配方法的實質在于揭示式子的非負性，是挖掘隱含條件的有力工具.【例6】已知自然數n使得為完全平方數，求n的值.(“希望杯”邀請賽試題)解題思路：原式中n的系數為奇數，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問題.能力訓練1、計算=_________.(“希望杯”邀請賽試題)2、已知，則.3、，y為實數，且，則+y的值為__________.4、當＞2時，化簡代數式，得___________.5、已知，當=________，y=______時，的值最小.(全國通訊賽試題)6、若，則M－N的值()A、負數B、正數C、非負數D、可正可負7、計算的值為()A、1B、C、D、(全國初中數學聯賽試題)8、設，,為實數，，則x，y，z中至少有一個值()A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零(全國初中數學競賽試題)9、下列代數式表示的數一定不是某個自然數的平方(其中n為自然數)的是()A、B、C、D、E、已知實數，，c滿足，則a+b+c的值等于()A、2B、3C、4D、5(河北省競賽試題)解“存在”、“不存在”“至少存在一個”等形式的問題時，常從整體考慮并經常用到一下重要命題：設x1，x2，x3,…xn為實數.(1)若則x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一個為零；(2)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個大于零；(3)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個小于零.解方程組(蘇州市競賽試題)12、能使是完全平方數的正整數n的值為多少？(全國初中數學聯賽試題)13、已知，且，，為自然數，求，的值.(天津市競賽試題)13、設a為質數，b為正整數，且，求，的值.(全國初中數學聯賽試題)14、某賓館經市場調研發現，每周該賓館入住的房間數y與房間單價x之間存在如圖所示的一次函數關系.(1)根據圖象求y與x之間的函數關系式(0＜＜160)；(2)從經濟效益來看，你認為該賓館如何制定房間單價，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？間數（個）y間數（個）yx050100540990單價（元）例110提示：x=5-y代入z2例2A提示：原式=3例3a+b+c=20提示：將等式整理，得a-1-2即a-1-例4原式=44?44n+188?88n+1+1=44?44n+100?00n+1+88?88n+1例5已知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人，對于每個乘電梯上、的人，他所住的層數一定不小于直接上樓的人所住的層數，事實上，設住S層的人乘電梯，而住t層的人直接上樓，S＜t，交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分減少.設電梯停在第x層，在第一層有y人沒有乘電梯而直接上樓，那么不滿意總分為：====又當x=27，y=6時，.故當電梯停在第27層時，總分最小，最小值為316分.例6若為完全平方數，則也是完全平方數.設（m為自然數）配方得，∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3于是解得：故當n=9或10時是完全平方數.能力訓練2.03.64.5.-3，-2,56.B7.C8.A提示：大于0.9.B提示：取n=2和3可否定 A、C、D、E，而，，故不是完全平方數.10.B11.（x，y，z）=（0,0,0）或（1,1,1）提示：取倒數.12.提示：當n<8時，，若它是完全平方數，則n必為偶數.若n=2，則；若n=4，則；若n=6，則；若n=8，則.所以當n8時，都不是完全平方數.當n>8時，，若它是完全平方數，則為一奇數的平方，設（k為自然數），則，由于k和k+1一奇一偶，∴k=1，于是，故n=11.13.提示：設a=kb（k為正整數），則，解得14.由，得到2a+b=509k，b=509k-2a，代入原式得，，因為a為質數，故有以下情況：⑴當k=1時，，為質數，b=509k-2a=7.⑵當k=2時，a=511-18=493=17×29，不為質數，舍去.⑶當k>2且k為奇數時，為質數且k>2，則，此方程無整數解，舍去.⑷當k>2且k為偶數時，為質數，且，則511-9k=1，此方程無整數解，舍去.綜上所述，a=251，b=7.15.提示：⑴y=-9x+1440（0<x<160）.⑵每周的住宿收入是S元，則當x=80時，元.專題26相對相稱—對稱分析法閱讀與思考當代美國數學家赫爾曼·韋爾指出：對稱盡管你可以規定其含義或寬或窄，然而從古到今都是人們用來理解和創造秩序、美妙以及盡善盡美的一種思想.許多數學問題所涉及的對象具有對稱性（不僅包括幾何圖形中的對稱，而且泛指某些對象在某些方面如圖形、關系、地位等彼此相對又相稱）.對稱分析法就是在解題時，充分利用自身條件的某些對稱性輔助解題的一種分析方法，初中階段主要研究下面兩種類型的對稱：1.代數中的對稱式如果把一個多項式的任意兩個字母互換后，所得的多項式不變就稱這個多項式為對稱式，對稱式的本質反應的是多元多項式中字母地位相同，任何一個復雜的二元對稱式，都可以用最簡單對稱多項式，表示，一些對稱式的代數問題，常用最簡對稱式表示將問題解決.2.幾何圖形的對稱幾何圖形的對稱指的是軸對稱和中心對稱，一些幾何問題，如果我們作出圖形的對稱軸，或者作出已知點關于某線（某點）的對稱點，構造出軸對稱圖形、中心對稱圖形，那么就能將分散的條件集中起來，容易找到解題途徑.例題與求解【例l】如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB，BC的中點，則PM+PN的最小值是.(荊門市中考試題)解題思路：作M關于AC的對稱點，連MN交AC于點P，則PM+PN的值最小.【例2】已知，均為正數，且，求W=的最小值.（北京市競賽試題）解題思路：用代數的方法求W的最小值較繁，的幾何意義是以a，b為邊的直角三角形的斜邊長，構造圖形，運用對稱分析法求出W的最小值.【例3】已知，求證：（四川省競賽試題）解題思路：解決根式問題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是：乘方、配方、換元和引入有理化因式，引入與已知等式地位相對相稱的有理化因式，本例可獲得簡證．【例4】如圖，凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：BC＋AD＞AB＋CD.（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：解題的關鍵是將有關線段集中到同一三角形中去，以便運用三角形三邊關系定理，以AC為對稱軸，將部分圖形翻折．【例5】如圖，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一點M，N，使BM＋MN的值最小，求這個最小值.（北京市競賽試題）解題思路：要使BM＋MN的值最小，應該設法將折線BM＋MN拉直，不妨從作出B點關于AC的對稱點入手.能力訓練1.如圖，六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸.若∠AFC＋∠BCF＝，則∠AFE＋∠BCD的大小是.(武漢市中考試題)(第1題圖)（第2題圖）（第3題圖）2.如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝2，點E在BC上，且AE＝EC，若將紙片沿AE折疊，點B恰好落在AC上，則AC的長是.(濟南市中考試題)3.如圖，∠AOB＝，P是∠AOB內一點，PO＝10，Q，P分別是OA、OB上的動點，則△PQR周長最小值是.4.比大的最小整數是.（西安交通大學少年班入學試題）5.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，則PE＋PC的最小值為（）.A．B．C．D．6.觀察下列平面圖形，其中是軸對稱圖形的有().A．1個B．2個C．3個D．4個(南京市中考試題)7.如圖，一個牧童在小河南4英里處牧馬，河水向正東方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他能夠完成這件事情所走的最短距離是（）.A．英里B．16英里C．17英里D．18英里（美國中學生競賽試題）(第5題圖)（第7題圖）（第8題圖）8.如圖，等邊△ABC的邊長為2，M為AB中點，P為BC上的點，設PA＋PM的最大值和最小值分別為S和L，則等于（）A．B．C．D．9.一束光線經三塊平面鏡反射，反射的路線如圖所示，圖中字母表示相應的度數，已知=，求與的值.（江蘇省競賽試題）10.求代數式的最小值.（“希望杯”邀請賽試題）11.在一平直河岸同側有兩個村莊，到的距離分別是3km和2km，．現計劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個村莊供水．方案設計某班數學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：圖1是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中于點）；圖2是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為，且（其中點與點關于對稱，與交于點）．AABPllABPC圖1圖2lABPC圖3K觀察計算（1）在方案一中，km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，組長小宇為了計算的長，作了如圖13-3所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，km（用含的式子表示）．探索歸納（1）①當時，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；②當時，比較大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）對（當時）的所有取值情況進行分析，要使鋪設的管道長度較短，應選擇方案一還是方案二？(河北省中考試題)12．如圖，已知平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A（2，－3），B（4，－1）（1）若P（，0）是軸上的一個動點，當△PAB的周長最短時，求的值；（2）若C（，0），D（，0）是軸上的兩個動點，當四邊形ABDC的周長最短時，求a的值；（3）設M，N分別為軸和y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M（，0）、N（0，），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．13.在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點M．（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；（2）若BD＝1，CD＝2，試求四邊形AEMF的面積．(寧夏中考試題)14.閱讀下列材料：小貝遇到一個有趣的問題：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，現有一動點P按下列方式在矩形內運動：它從A點出發，沿著AB邊夾角為45的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為45的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當P點碰到BC邊，沿著BC邊夾角為45的方向作直線運動，當P點碰到CD邊，再沿著與CD邊夾角為45的方向作直線運動…如圖1所示，問P點第一次與D點重合前與邊相碰幾次，P點第一次與D點重合時所經過的路線的總長是多少？小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線CD折疊，得到矩形A1B1CD，由軸對稱的知識，發現P2P3＝P2E，P1A＝P1E．請你參考小貝的思路解決下列問題：(1)P點第一次與D點重合前與邊相碰次，P點從A點出發到第一次與D點重合時所經過的路徑的總長是cm．(2)進一步探究：改變矩形ABCD中AD、AB的長，且滿足AD＞AB，動點P從A點出發，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續兩次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上．若P點第一次與B點重合前與邊相碰7次，則AB：AD的值為．專題26相對相稱————對稱分析法例15例2提示：將b=2-a代入得，構造圖形如下圖，可得W的最小值為.例3提示：設，則，即，可得.例4證明以AC為對稱軸，將△ADO翻轉，D點必落在BO上，設為，則=AD，=OD；同理，將△BCO翻轉，C點必落在AO上，設為，則,連接、、，交于E，則，在△ABE和△中，有+②得，，即AD+BC>AB+CD.例5作B關于AC的對稱點，連，則N關于AC的對稱點在上的，這時，B到M的最小值等于的最小值,等于B到的距離，即BM+MN的最小值為BH’。連接B與AB’和DC的交點P，則cm2設AP=x，則PC=x，DP=20-x，由，得x=12.5，故cm，即BM+MN的最小值為16cm。能力訓練1．300o2．43．提示：分別作點P關于OB，OA的對稱點P1，P2，連P1P2分別交OB，OA于R，Q，則△PQR周長=PR+RQ+PQ=P1R+RQ+P2QP1P2，連OP1，OP2，則OP1=OP2=OP=10，，所以，即△PQR的周長的最小值為4．10582提示：設，，則，，5．B6．C7．C8．B提示：作點A關于BC的對稱點D，在取BD的中點，9．，10．13提示：作線段AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AC=2，DB=3，在AB上去AP=x，則BP=12-x，即在AB上求點P，使PC+PD值最小，運用對稱分析法可求。11．提示：觀察計算：（1）（a+2）（2）探究歸納：（1）①<②>（2）①當，即時，，，∴；②當，即時，，，∴；②當，即時，，，∴；綜上可知：當時，選方案二；當時，選方案一或方案二；當時，選方案一。12．（1）作B（4，-1）關于x軸的對稱點B’（4，1），連AB’，交x軸于點P，△PAB的周長最短，P（3.5，0），即x=3.5。（2）將點B（4，-1）向左平移3個單位到，再作B1關于x軸的對稱點，連AB，交x軸于點C，再將點C向右平移3個單位得到點D，得C（1.25，0），即a=1.25。（3）作點A（2，-3）關于y軸的對稱點A’（-2，-3），作點B（4，-1）關于x軸的對稱點B’（4，1），連A’B’交x軸于點M，交y軸于點N，則四邊形ABMN的周長最短，M（2.5，0），N（0，），即m=2.5，。13．（1）正方形（2）14．（1）5；（2）4：5專題27面積法閱讀與思考平面幾何學的產生源于人們測量土地面積的需要，面積關聯著幾何圖形的重要元素邊與角．所謂面積法是指借助面積有關的知識來解決一些直接或間接與面積問題有關的數學問題的一種方法．有許多數學問題，雖然題目中沒有直接涉及面積，但由于面積聯系著幾何圖形的重要元素，所以借助于有關面積的知識求解，常常簡捷明快．用面積法解題的基本思路是：對某一平面圖形面積，采用不同方法或從不同角度去計算，就可得到一個含邊或角的關系式，化簡這個面積關系式就可得到求解或求證的結果．下列情況可以考慮用面積法：（1）涉及三角形的高、垂線等問題；（2）涉及角平分線的問題．例題與求解【例1】如圖，從等邊三角形內一點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5，則這個等邊三角形的邊長為______________．解題思路：從尋求三條垂線段與等邊三角形的高的關系入手．等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離之和等于一腰上的高，那么等邊三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如圖，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的頂點C在DA上，點D在OB上，點F在AB上，如果正方形CDEF的面積是△AOB的面積的，則OC：OD等于()A．3：1B．2：1C．3：2D．5：3解題思路：由面積關系，可能想到邊、角之間的關系，這時通過設元，即可把幾何問題代數化來解決．【例3】如圖，在□ABCD中，E為AD上一點，F為AB上一點，且BE＝DF，BE與DF交于G，求證：∠BGC＝∠DGC.解題思路：要證∠BGC＝∠DGC，即證CG為∠BGD的平分線，不妨用面積法尋找證題的突破口．【例4】如圖，設P為△ABC內任意一點，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點D、E、F.求證：（1）；.解題思路：過P點作平行線，產生比例線段.【例5】如圖，在△ABC中，E，F，P分別在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一點D，且，求的值.解題思路：利用上例的結論，通過代數恒等變形求值.【例6】如圖，設點E，F，G，H分別在面積為1的四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，且（是正數），求四邊形EFGH的面積．解題思路：連對角線，把四邊形分割成三角形，將線段的比轉化為三角形的面積比．線段比與面積比的相互轉化，是解面積問題的常用技巧．轉化的基本知識有：(1)等高三角形面積比，等于它們的底之比；(2)等底三角形面積比，等于它們的高之比；(3)相似三角形面積比，等于它們相似比的平方．能力訓練1．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，E是AD的中點，BM⊥EC，垂足為M，則BM＝______.2．如圖，矩形ABCD中，P為AB上一點，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，則CE＝__________.第1題圖第2題圖第3題圖3．如圖，已知八邊形ABCDEFGH中四個正方形的面積分別為25，48，121，114，PR＝13，則該八邊形的面積為____________.在△ABC中，三邊長為，，，表示邊上的高的長，，的意義類似，則(＋＋)的值為____________.5．如圖，△ABC的邊AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別表示以AB，BC，CA為邊的正方形，則圖中三個陰影部分的面積之和的最大值是__________.6．如圖，過等邊△ABC內一點P向三邊作垂線，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，則△ABC的面積是()．A.B.C.D.第5題圖第6題圖第7題圖7．如圖，點D是△ABC的邊BC上一點，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，則AD的長是()．A．2B.C.3D.8．如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，AN，BN，DM，CM劃分四邊形所成的7個區域的面積分別為，，，，，，，那么恒成立的關系式是()．A.+=B.+=C.+=D．+=9．已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為，，，△ABC的高為．若點P在一邊BC上（如圖1），此時，可得結論：＋＋＝.請直接用上述信息解決下列問題：當點P在△ABC內（如圖2）、點P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立．請給予證明；若不成立，，，與之間又有怎樣的關系？請寫出你的猜想，不需證明．10.如圖，已知D，E，F分別是銳角△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且AD、BE、CF相交于P點，AP＝BP＝CP＝6，設PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．11.如圖，在凸五邊形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求