等式性質與不等式性質常考題型比較大小（證明不等式）不等式性質等式性質題型一：不等式性質的應用題型二：比較數（式）的大小與證明不等式考法1等式性質與不等式性質常考題型比較大小（證明不等式）不等式性質等式性質題型一：不等式性質的應用題型二：比較數（式）的大小與證明不等式考法1：利用不等式性質比較大小考法2：利用不等式性質求取值范圍考法3：不等式的實際應用知識點一：知識點一：等式性質1.等式的基本性質（1）如果a＝b，那么b＝a.（對稱性）（2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.（傳遞性）（3）如果a＝b，那么a±c＝b±c.（同加（減）性）（4）如果a＝b，那么ac＝bc.（同乘性）（5）如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).（同除性）知識點二、不等式性質知識點二、不等式性質性質別名性質內容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點三：比較大小（證明不等式）知識點三：比較大小（證明不等式）（1）作差比較法①理論依據：②一般步驟：ⅰ）作差，ⅱ）變形，ⅲ）判號，ⅳ）作結論。③作差變形的常用方法：ⅰ）將差式因式分解；ⅱ）將差式根式有理化；ⅲ）將差式配方。（2）作商比較法①理論依據：設。②一般步驟：ⅰ）考查兩個數是否為正；ⅱ）作商；ⅲ）變形；ⅳ）與1比較大小；ⅴ)作結論。③當時，也可以用作商比較法，但結論相反（3）介值比較法①理論依據：若，其中是的中介值②介值比較法的關鍵是通過不等式的恰當放縮，找出一個適當的中介值。（4）平方比較法①理論依據：若③平方比較法通常應用于無理式的大小比較，且多與作差比較法連用即平法過后作差。題型一：不等式性質的應用考法1：利用不等式性質比較大小解題思路：利用不等式性質比較大小方法（1）判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．（2）充分利用基本初等函數性質進行判斷．（3）小題可以用特殊值法做快速判斷．例1．下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例2．若a、b、c為實數，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例3．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若，則下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若，則C．若且，則D．若，則例4．下列結論不正確的有（

）個①若，則

②若，則③若，，則

④若，則A．1 B．2 C．3 D．4變式訓練5．已知，則（

）A． B． C． D．6．若a，b，c為實數，且，則下列命題中正確的是（

）A． B． C． D．7．（多選題）對于實數，正確的命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則， D．若，，則8．（多選題）如果，則下列選項不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．（多選題）實數，，，滿足：，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．考法2：利用不等式性質求取值范圍解題思路：利用不等式的性質求取值范圍的方法(1)已知x，y的范圍，求F(x，y)的范圍．可利用不等式的性質直接求解．(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范圍，求F(x，y)的范圍．可利用待定系數法解決，即設F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質求得F(x，y)的取值范圍．例1．（多選題）已知，，則下列正確的有（

）A． B．C． D．例2．已知函數，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例3．（多選題）已知，，則下列說法正確的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為變式訓練4．（多選題）已知，則（

）A．的取值范圍為（－5，0） B．的取值范圍為（4，7）C．的取值范圍為（2，5） D．的取值范圍為（－6，－1）5．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知，則的取值范圍為_________7．（多選題）已知實數x，y滿足，，則（

）A． B．C． D．8．已知實數滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．考法3：不等式的實際應用解題思路：(1）根據實際情況列出不等式，注意各元的取值范圍，在利用不等式性質求解例1．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了，下面能符合這一事實的不等式為（

）A． B． C． D．例2．某位同學經常會和爸爸媽媽一起去加油，經過觀察他發現了一個有趣的現象：爸爸和媽媽的加油習慣是不同的.爸爸每次加油都說：“師傅，給我加250元的油”，而媽媽則說“師傅幫我把油箱加滿”.這位同學若有所思，如果爸爸?媽媽都加油兩次，兩次的加油價格不同，媽媽每次加滿油箱；爸爸每次加250元的油，我們規定誰的平均單價低誰就合算，那么請問爸爸?媽媽誰更合算呢？（

）A．媽媽 B．爸爸 C．一樣 D．不確定變式訓練3．一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于10%，而且這個比值越大，采光效果越好．設某所公寓的窗戶面積為，地板面積為，(1)若這所公寓窗戶面積與地板面積的總和為，則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米？(2)若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，設增加的面積為，則公寓的采光效果是變好了還是變壞了？請說明理由．4．一般的人，下半身長x與全身長y的比在0.57~0.6之間，這個比值越接近黃金分割值0.618就越美，為了追求這個比值，女土們穿高跟鞋，而芭蕾舞演員在表演時腳尖立起以美的享受，用來解釋這種現象的數學關系式為.5．甲乙兩車主約定好同時到同一加油站為自己的小車加同一標號的汽油，受國際油價影響，汽油的價格是變化的（不是常數），而他們的加油方式又不一樣，甲車主每次總是加200元的油，乙車主每次加30升汽油，則甲乙兩種加油方式相比更合算的是（

）A．甲 B．乙 C．一樣 D．不能確定題型二：比較數（式）的大小與證明不等式解題思路：比較或者證明兩個數或代數式的大小的三種方法（1）作差比較法①理論依據：②一般步驟：ⅰ）作差，ⅱ）變形，ⅲ）判號，ⅳ）作結論。③作差變形的常用方法：ⅰ）將差式因式分解；ⅱ）將差式根式有理化；ⅲ）將差式配方。（2）作商比較法①理論依據：設。②一般步驟：ⅰ）考查兩個數是否為正；ⅱ）作商；ⅲ）變形；ⅳ）與1比較大小；ⅴ)作結論。③當時，也可以用作商比較法，但結論相反（3）介值比較法①理論依據：若，其中是的中介值②介值比較法的關鍵是通過不等式的恰當放縮，找出一個適當的中介值。（4）平方比較法①理論依據：若③平方比較法通常應用于無理式的大小比較，且多與作差比較法連用即平法過后作差。例1．設，，則有（

）A． B．C． D．例2．，，，下列選項正確的是（

）A． B． C． D．的大小無法確定例3．（1）比較與的大小；（2）已知，求證：．變式訓練4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．比較下列各組中兩個代數式，滿足的是（

）A．與B．與C．當時與D．與6．（1）求證：；（2）求證：.一、單選題1．若a，b，c為實數，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．為了加強家校聯系，王老師組建了一個由學生?家長和教師組成的QQ群.已知該群中男學生人數多于女學生人數，女學生人數多于家長人數，家長人數多于教師人數，教師人數的兩倍多于男學生人數.則該QQ群人數的最小值為（

）A．20 B．22 C．26 D．284．已知實數x，y滿足，，則y的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知實數，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．若，且a≠b，則中的最大值是（

）A． B． C． D．7．已知實數x，y分別是方程的解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．已知，則（

）A． B． C． D．的大小無法確定二、多選題10．下列說法中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則11．已知實數x，y滿足，，則（

）A． B． C． D．12．若實數a，b滿足，則下列說法正確的有（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是三、解答題13．“綠水青山就是金山銀山”．隨著經濟的發展，我國更加重視對生態環境的保護，2018年起，政府對環保不達標的養雞場進行限期整改或勒令關閉．一段時間內，