二項式定理的練習及答案二項式定理的練習及答案基礎知識訓練（一）選擇題1．展開式中常數項是（）A.第4項B.C.D.22．(x－1)11展開式中x的偶次項系數之和是（）A.-2048B.-1023C.-1024D.10243．展開式中有理項的項數是（）A.4B.5C.6D.74．若與同時有最大值，則m等于（）A.4或5B.5或6C.3或4D.55．設(2x-3)4=，則a0+a1+a2+a3的值為（）A.1B.16C.-15D.156．展開式中的中間兩項為（）A.B.C.D.（二）填空題7．在展開式中，x5y2的系數是8．9.的展開式中的有理項是展開式的第項10．(2x-1)5展開式中各項系數絕對值之和是11．展開式中系數最大的項是12．0.9915精確到0.01的近似值是（三）解答題13．求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數15．已知(1-2x)5展開式中第2項大于第1項而不小于第3，求x的取值范圍16．若展開式中，x的系數為21，問m、n為何值時，x2的系數最小？17．自然數n為偶數時，求證：18．求被9除的余數19．已知的展開式中，第五項與第三項的二項式系數之比為14；3，求展開式的常數項20．在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數21．求(2x+1)12展開式中系數最大的項參考解答：1．通項，由，常數項是，選（B）2．設f(x)=(x-1)11,偶次項系數之和是，選（C）3．通項，當r=0，2，4，6時，均為有理項，故有理項的項數為4個，選（A）4．要使最大，因為17為奇數，則或或n=9，若n=8，要使最大，則m==4，若n=9，要使最大，則或或m=5，綜上知，m=4或m=5，故選（A）5.C6.C7.;8.4n;9.3,9,15,2110．(2x-1)5展開式中各項系數系數絕對值之和實為(2x+1)5展開式系數之和，故令x=1，則所求和為3511．(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此題中的系數就是二項式系數，系數最大的項是T16=.12.0.9915=(1-0.009)5=13．,要得到含x4的項，必須第一個因式中的1與(1-x)9展開式中的項作積，第一個因式中的－x3與(1-x)9展開式中的項作積，故x4的系數是14．=，原式中x3實為這分子中的x4，則所求系數為15．由16．由條件得m+n=21，x2的項為，則因n∈N，故當n=10或11時上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11時，x2的系數最小17．原式=18.,∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余819．依題意∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10設第r+1項為常數項，又令，此所求常數項為18020．在(x+1)5展開式中，常數項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數項為25=32，含x的項為∴展開式中含x的項為，此展開式中x的系數為24021．設Tr+1的系數最大，則Tr+1的系數不小于Tr與Tr+2的系數，即有∴展開式中系數最大項為第5項，T5=三.拓展性例題分析例1在二項式的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中所有有理項．分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數及有理項，可以通過抓通項公式解決．解：二項式的展開式的通項公式為：前三項的得系數為：，由已知：，∴通項公式為為有理項，故是4的倍數，∴依次得到有理項為．說明：本題通過抓特定項滿足的條件，利用通項公式求出了r的取值，得到了有理項．類似地，的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有17頁 系數和為．例2（1）求展開式中的系數；（2）求展開式中的常數項．分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉化為二項式展開的問題，（1）可以視為兩個二項展開式相乘；（2）可以經過代數式變形轉化為二項式．解：（1）展開式中的可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：用展開式中的常數項乘以展開式中的項，可以得到；用展開式中的一次項乘以展開式中的項可得到；用中的乘以展開式中的可得到；用中的項乘以展開式中的項可得到，合并同類項得項為：．（2）．由展開式的通項公式，可得展開式的常數項為．說明：問題（2）中將非二項式通過因式分解轉化為二項式解決．這時我們還可以通過合并項轉化為二項式展開的問題來解決．例3求展開式中的系數．分析：不是二項式，我們可以通過或把它看成二項式展開．解：方法一：其中含的項為．含項的系數為6．方法二：其中含的項為．∴項的系數為6．方法3：本題還可通過把看成6個相乘，每個因式各取一項相乘可得到乘積的一項，項可由下列幾種可能得到．5個因式中取x，一個取1得到．3個因式中取x，一個取，兩個取1得到．1個因式中取x，兩個取，三個取1得到．合并同類項為，項的系數為6．例4求證：（1）；（2）．分析：二項式系數的性質實際上是組合數的性質，我們可以用二項式系數的性質來證明一些組合數的等式或者求一些組合數式子的值．解決這兩個小題的關鍵是通過組合數公式將等式左邊各項變化的等數固定下來，從而使用二項式系數性質．解：（1）∴左邊右邊．（2）．∴左邊右邊．說明：本題的兩個小題都是通過變換轉化成二項式系數之和，再用二項式系數的性質求解．此外，有些組合數的式子可以直接作為某個二項式的展開式，但這需要逆用二項式定理才能完成，所以需仔細觀察，我們可以看下面的例子：例5：求的結果．仔細觀察可以發現該組合數的式與的展開式接近，但要注意：從而可以得到：．例6利用二項式定理證明：是64的倍數．分析：64是8的平方，問題相當于證明是的倍數，為了使問題向二項式定理貼近，變形，將其展開后各項含有，與的倍數聯系起來．解：∵是64的倍數．說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些復雜的指數式除以一個數的余數．例7展開．分析1：用二項式定理展開式．解法1：．這時，由于“和”中各項的指數各不相同，因此再將各個二項式展開，不同的乘積（）展開后，都不會出現同類項．下面，再分別考慮每一個乘積（）．其中每一個乘積展開后的項數由決定，而且各項中和的指數都不相同，也不會出