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文檔簡介
幾何圖形中的函數
考點解讀
1.運用數形結合的思想,構建數學模型,建立幾何變量間的函數關系式,確定幾何變量
的取值范圍。
2.以幾何為背景,函數為主線,既考查函數知識、幾何知識,又能考查綜合分析問題和
解決問題的能力,是中考常見的題型。
考題解析
1.如圖,點M(-3,4),點P從。點出發,沿射線0M方向1個單位/秒勻速
運動,運動的過程中以P為對稱中心,。為一個頂點作正方形OABC,當正方形
面積為128時,點A坐標是()
A.(y,普)B.(小,11)C.(2,2何)D.(烏,乎)
55
【考點】FI:一次函數綜合題.
【分析】作AD,x軸于D,CE_Lx軸于E,根據M的坐標求得直線0M的斜率-
進一步得出直線AC的斜率為,,通過證得△COE之ZSOAD,得出CE=OD,
OE=AD,所以設A(a,b),則C(-b,a),然后根據待定系數法求得直線AC
的斜率為白,從而得出母=3,整理得b=7a,然后在RTZXAOD中,根據勾股
a+ba+b4
定理得出(7a)2+a2=128,解得a=《,b=^-.
55
【解答】解:作ADLx軸于D,CE,x軸于E,
設直線0M的解析式為y=kx,
?.?點M(-3,4),
.*.4=-3k,
4
3
??,四邊形ABC。是正方形,
,直線AC_L直線0M,
,直線AC的斜率為日,
?四邊形ABC。是正方形,
AOA=OC,ZAOC=90°,
工ZAOD+ZCOE=90°,
VZAOD+ZOAD=90°
/.ZCOE=ZOAD,
在△COE和△OAD中,
zZC0E=Z0AD
<ZCE0=Z0DA=90o
0C=0A
/.△COE^AOAD(AAS),
,CE=OD,OE=AD,
設A(a,b),則C(-b,a),
設直線AC的解析式為y=mx+n,
.faiirl-n=b(l)
I-birrf-n=a(2)
解得m=-^
a+b
.b-a3
整理得,b=7a,
?.?正方形面積為128,
/.OA2=128,
在RTVXAOD中,AD2+OD2=OA2,即(7a)2+a2=128,
解得,a咯,
b
.卜7V856
??b=7a=7X—=--
55
?'A嚕,多,
故選D.
2.在直角坐標系中,。為原點,A(0,4),點B在直線y=kx+6(k>0)上,若
以0、A、B為頂點所作的直角三角形有且只有三個時,k的值為()
A.近B.*C.3D.1
【考點】FI:一次函數綜合題.
【分析】當使AAOB為直角三角形的點B有且只有三個時可知直線y=kx+6與以
0A為直徑的圓相切,利用銳角三角函數可求得k值.
【解答】解:以點A,0,B為頂點的三角形是直角三角形,
當直角頂點是A和0時,直線y=kx+6上各存在一個點B滿足條件,
要以0、A、B為頂點所作的直角三角形有且只有三個時,直角頂點是B的aAOB
只需存在一個,
所以,以0A為直徑的圓C與直線y=kx+6相切,
如圖,
設切點為B,直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點&、D,連接CB,
在y=kx+6中令y=0,得x=6,
.*.0D=6,且0C==0A=2,
,CD=4,
在RtZ\CDB中,BC=2,CD=4,
.,.sinZBDC=—=4-,
CD2
.,.ZODB'=30",
在RtaOB'D中,ZODB'=30°,0D=6,
.,.tanZODB'=^^,
OD
???+tan3oOno=—OB6'I,
.*.OB'=6tan30°=2V3,
Vk>0,
AB'(-2、/5,0),
將點B'(-2/5,0)代入y=kx+6中,得,-2月<+6=0,
??k=^3'
故選A.
3.如圖,四邊形ABCD的頂點都在坐標軸上,若AB〃CD,4ABD與4ACD的面
積分別為10和20,若雙曲線y=K恰好經過BC的中點E,則k的值為()
【考點】GB:反比例函數綜合題.
【分析】方法一:根據AB〃CD,得出SMCD=SAACD=20,利用4ABD與4ACD的面
積分別為10和20,得:AO:OC=BO:OD=1:2,進而得出答案;
方法二:根據AB〃CD,設黑=g-m;手=舞|1,得出OC=mn?OB,OD=n?OB,
BO0D0A0B
進而表示出4ABD與4ACD的面積,表示出E點坐標,進而得出k的值.
【解答】解:方法一:?..AB〃CD,
?SABCD=SAACD=20,
VAABD與aACD的面積分別為10和20,
.,.△ABD和4BCD面積比為1:2,
,根據同底得:AO:OC=BO:OD=1:2,
?c_lc_20
OD
2k=-^,
3
?T
J
故選:A.
方法二因為AB//CD,設需需m;f喘嘰
得到:OA=mOB,OC=n>OA=n<m>OB=mn<OB,OD=n*OB,
△ABD與AACD的面積分別為10和20,
△ABD的面積*(OA?BD)=梟人?(OB+OD)=《(m?0B)?(OB+n*OB)=[m?
(n+1)*OB2=10,
△ACD的面積卷(AC?OD)=/0D?(OA+OC)=y(n*OB)?(m*OB+mn*OB)
=-^-m*n*(n+1)*OB2=20,
兩個等式相除,得到n=2,代入得到m?0B2=等,
BC的中點E點坐標為:(-~10B,-yOC),
k=x?y=-%B?(-±0C)=?oB?4m?n?OB==X'X2Xm?OB2==X?=£.
222222233
故選:A.
4.如圖,在^ABC中,ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,點P從點A沿AC向點C
以lcm/s的速度運動,同時點Q從點C沿CB向點B以2cm/s的速度運動(點Q
運動到點B停止),在運動過程中,四邊形PABQ的面積最小值為()
A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2
【考點】H7:二次函數的最值.
【分析】在RtAABC中,利用勾股定理可得出AC=6cm,設運動時間為t(OWt
W4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,利用分割圖形求面積法可得出S四硼PABQ卡
-6t+24,利用配方法即可求出四邊形PABQ的面積最小值,此題得解.
【解答】解:在R3ABC中,ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,
AC=<7AB2-BC2=6CIT,-
設運動時間為t(0WtW4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,
2
??S四邊形PABQ=SAABCSACPQ=—AC?BC--PC*CQ=—X6X8--6-t)X2t=t-
2222
6t+24=(t-3)2+15,
...當t=3時,四邊形PABQ的面積取最小值,最小值為15.
故選C.
在平面直角坐標系中,正方形、按圖所
5.xOyAiBiCiOA2B2C2B1,A3B3C3B2,
示的方式放置.點A]、Az、A3,...和點Bi、B2、B3,...分別在直線y=kx+b和x軸
上.已知Ci(1,-1),C2(1?,—則點A3的坐標是(~^~,看),
【考點】Fl:一次函數綜合題.
【分析】根據正方形的軸對稱性,由Ci、C2的坐標可求A1、A2的坐標,將Ax、
A2的坐標代入y=kx+b中,得到關于k與b的方程組,求出方程組的解得到k與
b的值,從而求直線解析式,由正方形的性質求出OBi,OB2的長,設B2G=A3G=3
表示出A3的坐標,代入直線方程中列出關于b的方程,求出方程的解得到b的
值,確定出A3的坐標.
【解答】解:連接AiJ,A2c2,A3C3,分別交x軸于點E、F、G,
?.?正方形A1B1C1O、A2B2c2B1、A3B3C3B2,
,Ai與Ci關于x軸對稱,A?與C2關于x軸對稱,A3與C3關于x軸對稱,
*.,Ci(1,-1),C2(5,-
22
Ai(1,1),A](,—>>
,OBi=2OE=2,OB2=OBI+2BF=2+2*(y-2)=5,
'k+b=l
將A1與A的坐標代入y=kx+b中得:-73,
2|7k+b=2l
k4
解得:,
噸
直線解析式為y=+4,
D□
設B2G=A3G=t,則有A3坐標為(5+t,t),
代入直線解析式得:b=1(5+t)+1,
解得:
4
...A?坐標為(§",弓).
故答案是:(普,!).
6.如圖,。。的半徑為5,P為。。上一點,P(4,3),PC、PD為。。的弦,
分別交y軸正半軸于E、F,且PE=PF,連CD,設直線CD為y=kx+b,則k=_£_.
【考點】FI:一次函數綜合題.
【分析】取點P關于y軸的對稱點Q,由條件可證得Q為a的中點,連接0Q,
則可知OQLCD,可求得直線0Q的解析式,由互相垂直的兩條直線的關系可求
得CD的解析式的k.
【解答】解:
如圖,取點P關于y軸的對稱點Q,
VP(4,3),
:.Q.(-4,3),連接PQ,
.,.PCUy軸,
VPE=PF,
,NCPE=NDPE,
...點Q為百的中點,
連接0Q,則。CUDC,
設直線0Q解析式的y=mx,
把Q點坐標代入可得3=-4m,解得m=-日,
直線0Q解析式為丫=-*,
/.直線CD解析式為y[x+b,
?'?kJ,
3
故答案為:.
7.如圖,在邊長為6cm的正方形ABCD中,點E、F、G、H分別從點A、B、C、
D同時出發,均以lcm/s的速度向點B、C、D、A勻速運動,當點E到達點B時,
四個點同時停止運動,在運動過程中,當運動時間為3s時,四邊形EFGH的
面積最小,其最小值是18err?.
【考點】H7:二次函數的最值;LE:正方形的性質.
【分析】設運動時間為t(0Wt<6),則AE=t,AH=6-t,由四邊形EFGH的面積
=正方形ABCD的面積-4個aAEH的面積,即可得出S四母形EFGH關于t的函數關系
式,配方后即可得出結論.
【解答】解:設運動時間為t(0WtW6),則AE=t,AH=6-t,
根據題意得:S四邊J8EFGH=S正方形ABCD-4sAAEH=6X6_4X-^-t(6-t)=2t2-12t+36=2
(t-3)2+18,
.?.當t=3時,四邊形EFGH的面積取最小值,最小值為18.
故答案為:3;18
8.如圖,正方形EFGH的頂點在邊長為2的正方形的邊上.若設AE=x,正方形
EFGH的面積為y,則V與x的函數關系為y=2x?-4x+4.
【考點】HD:根據實際問題列二次函數關系式;LE:正方形的性質
【分析】由AAS證明AAHE絲ABEF,得出AE=BF=x,AH=BE=2-x,再根據勾股
定理,求出E*,即可得到y與x之間的函數關系式.
【解答】解:如圖所示:
???四邊形ABCD是邊長為2的正方形,
,NA=NB=90°,AB=2.
AZl+Z2=90°,
???四邊形EFGH為正方形,
.?.ZHEF=90°,EH=EF.
.,.Zl+Z3=90°,
,/2=N3,
在AAHE與ABEF中,
'NA=/B
N2=/3,
EH=FE
/.△AHE^ABEF(AAS),
,AE=BF=x,AH=BE=2-x,
在Rt/XAHE中,由勾股定理得:
EH2=AE2+AH2=X2+(2-x)2=2X2-4x+4;
即y=2x2-4x+4(0<x<2),
故答案為:y=2x2-4x+4.
9.在一空曠場地上設計一落地為矩形ABCD的小屋,AB+BC=10m,拴住小狗的
10m長的繩子一端固定在B點處,小狗在不能進入小屋內的條件下活動,其可以
活動的區域面積為S(m2)
(1)如圖1,若BC=4m,則S=88nrr?.
(2)如圖2,現考慮在(1)中矩形ABCD小屋的右側以CD為邊拓展一正aCDE
區域,使之變成落地為五邊形ABCED的小屋,其他條件不變,則在BC的變化過
程中,當S取得最小值時,邊BC的長為m.
-2~
ADAD
圖1圖2
【考點】HE:二次函數的應用;KM:等邊三角形的判定與性質;LB:矩形的性
質.
【分析】(1)小狗活動的區域面積為以B為圓心、10為半徑的日圓,以C為圓
4
心、6為半徑的二圓和以A為圓心、4為半徑的二圓的面積和,據此列式求解可
44
得;
(2)此時小狗活動的區域面積為以B為圓心、10為半徑的日圓,以A為圓心、
x為半徑的;圓、以C為圓心、10-x為半徑的券圓的面積和,列出函數解析式,
4360
由二次函數的性質解答即可.
【解答】解:(1)如圖1,拴住小狗的10m長的繩子一端固定在B點處,小狗
可以活動的區域如圖所示:
卻
由圖可知,小狗活動的區域面積為以B為圓心、10為半徑的日圓,以C為圓心、
4
6為半徑的]圓和以A為圓心、4為半徑的二圓的面積和,
44
...S=—Xn*102+—?n*42=88n,
444
故答案為:88A;
(2)如圖2,
圖2
設BC=x,則AB=10-x,
/.102-^-?n*x2+-^-*R*(10-x)2
44360
71/2x
=—(x2-10x+250)
JT
=-y(x2-5x+250),
當*=*|?時,S取得最小值,
故答案為:~
10.如圖,矩形AOCB的頂點A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上,線段OA、
OC的長度滿足方程|x-15|+后痣=0(OA>OC),直線y=kx+b分別與x軸、y
軸交于M、N兩點,將ABCN沿直線BN折疊,點C恰好落在直線MN上的點D
處,且tan/CBD=g
(1)求點B的坐標;
(2)求直線BN的解析式;
(3)將直線BN以每秒1個單位長度的速度沿y軸向下平移,求直線BN掃過矩
形AOCB的面積S關于運動的時間t(0VtW13)的函數關系式.
【考點】FI:一次函數綜合題.
【分析】(1)由非負數的性質可求得x、y的值,則可求得B點坐標;
(2)過D作EFLOA于點E,交CB于點F,由條件可求得D點坐標,且可求得黑
UN
=弓,結合DE〃ON,利用平行線分線段成比例可求得OM和ON的長,則可求得
N點坐標,利用待定系數法可求得直線BN的解析式;
(3)設直線BN平移后交y軸于點N,,交AB于點夕,當點W在x軸上方時,可
知S即為團BNNB的面積,當N,在y軸的負半軸上時,可用t表示出直線BN的解
析式,設交x軸于點G,可用t表示出G點坐標,由S=S四邊形BNN?-SAOGN"可分
別得到S與t的函數關系式.
【解答】解:
(1)x-15|+Vy-13=0,
?*.x=15,y=13,
0A=BC=15,AB=0C=13,
,B(15,13);
(2)如圖1,過D作EF_LOA于點E,交CB于點F,
由折疊的性質可知BD=BC=15,ZBDN=ZBCN=90°,
■
VtanZCBD=4,
4
KBF2+DF2=BD2=152,解得BF=12,DF=9,
BF4
.,.CF=0E=15-12=3,DE=EF-DF=13-9=4,
,/ZCND+ZCBD=360°-90°-90°=180°,且/ONM+NCND=180°,
,NONM=NCBD,
.0M_3
,,oiT7,
VDE/7ON,
.MEOH3RC-
??c二且OE=3,
DEON4
.?.更日,解得OM=6,
44
,ON=8,即N(0,8),
把N、B的坐標代入y=kx+b可得,解得[及吉,
115k+b=13]b=g
二直線BN的解析式為y=}x+8;
(3)設直線BN平移后交y軸于點N,,交AB于點夕,
當點N,在x軸上方,即0Vt<8時,如圖2,
由題意可知四邊形BNNB為平行四邊形,且NN,=t,
.?.S=NN'?0A=15t;
VNN=t,
.,.可設直線BN解析式為y[x+8-t,
令y=0,可得x=3t-24,
,OG=24,
VON=8,NN'=t,
.?.ON'=t-8,
?'?S=S四邊形BNNE-SAOGN=15t-£(t-8)(3t-24)=--^-t2+39t-96;
,15t(0<t<8)
綜上可知與的函數關系式為
StS=^t2+39t.96(8<t<13).
2
11.如圖1,已知團ABCD,AB〃x軸,AB=6,點A的坐標為(1,-4),點D的
坐標為(-3,4),點B在第四象限,點P是回ABCD邊上的一個動點.
(1)若點P在邊BC上,PD=CD,求點P的坐標.
(2)若點P在邊AB,AD上,點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y=x-l上,
求點P的坐標.
(3)若點P在邊AB,AD,CD上,點G是AD與y軸的交點,如圖2,過點P
作y軸的平行線PM,過點G作x軸的平行線GM,它們相交于點M,將△PGM
沿直線PG翻折,當點M的對應點落在坐標軸上時,求點P的坐標.(直接寫出
答案)
DCD\PC
圖1圖2
【考點】FI:一次函數綜合題.
【分析】(1)由題意點P與點C重合,可得點P坐標為(3,4);
(2)分兩種情形①當點P在邊AD上時,②當點P在邊AB上時,分別列出方程
即可解決問題;
(3)分三種情形①如圖1中,當點P在線段CD上時.②如圖2中,當點P在
AB上時.③如圖3中,當點P在線段AD上時.分別求解即可;
【解答】解:(1)VCD=6,
二點P與點C重合,
.?.點P坐標為(3,4).
(2)①當點P在邊AD上時,
?.?直線AD的解析式為y=-2x-2,
設P(a,-2a-2),且-3WaWl,
若點P關于x軸的對稱點Qi(a,2a+2)在直線y=x-l上,
/.2a+2=a-1,
解得a=-3,
此時P(-3,4).
若點P關于y軸的對稱點Cb(-a,-2a-2)在直線y=x-1上時,
-2a-2=-a-1,解得a=-1,此時P(-1,0)
②當點P在邊AB上時,設P(a,-4)且l〈aW7,
若等P關于x軸的對稱點Q(a,4)在直線y=x-l上,
.*.4=a-1,解得a=5,此時P(5,-4),
若點P關于y軸的對稱點①(-a,-4)在直線y=x-1上,
,-4=-a-1,
解得a=3,此時P(3,-4),
綜上所述,點P的坐標為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).
P2-PN2=2VS>
在Rt^OGM,中,VOG2+OM,2=GM,2,
/.22+(2遍-m)2=m2,
解得m=-等,
...P(-4)
根據對稱性可知,P(唔,4)也滿足條件.
②如圖2中,當點P在AB上時,易知四邊形PMGM,是正方形,邊長為2,此時
P(2,-4).
③如圖3中,當點P在線段AD上時,設AD交x軸于R.易證NM,RG=N!VrGR,
在Rt^OGM,中,有X2=2?+(x-1)2,解得x=£,
.?.P(-1.3).
-4)或(-微,3)或(-岑3,4)或(耳、4).
點P坐標為(2,
12.如圖,在直角坐標系中,Rt^ABC的直角邊AC在x軸上,NACB=90。,AC=1,
反比例函數y=k(k>0)的圖象經過BC邊的中點D(3,1)
X
(1)求這個反比例函數的表達式;
(2)若aABC與aEFG成中心對稱,且4EFG的邊FG在y軸的正半軸上,點E
在這個函數的圖象上.
①求OF的長;
【考點】GB:反比例函數綜合題.
【分析】(1)由D點坐標可求得k的值,可求得反比例函數的表達式;
(2)①由中心對稱的性質可知AABC絲ZSEFG,由D點坐標可求得B點坐標,從
而可求得BC和AC的長,由全等三角形的性質可求得GE和GF,則可求得E點
坐標,從而可求得OF的長;②由條件可證得△AOFgAFGE,則可證得AF=EF=AB,
且NEFA=NFAB=90°,則可證得四邊形ABEF為正方形.
【解答】解:
(1)???反比例函數y=K(k>0)的圖象經過點D(3,1),
X
/.k=3Xl=3,
反比例函數表達式為y=2;
(2)①?;口為BC的中點,
,BC=2,
VAABC與4EFG成中心對稱,
.,.△ABC^AEFG,
.*.GF=BC=2,GE=AC=1,
?.?點E在反比例函數的圖象上,
AE(1,3),即0G=3,
.\OF=OG-GF=1;
②如圖,連接AF、BE,
,0A=GF=2,
在△AOF和AFGE中
'A0=FG
<ZA0F=ZFGE
0F=GE
.,.△AOF^AFGE(SAS),
AZGFE=ZFAO=ZABC,
二ZGFE+ZAFO=ZFAO+ZBAC=90°,
;.EF〃AB,且EF=AB,
???四邊形ABEF為平行四邊形,
/.AF=EF,
二四邊形ABEF為菱形,
VAF1EF,
四邊形ABEF為正方形.
13.直線y=kx+b與反比例函數丫=g(x>0)的圖象分別交于點A(m,3)和點
X
B(6,n),與坐標軸分別交于點C和點D.
(1)求直線AB的解析式;
(2)若點P是x軸上一動點,當48口與4ADP相似時,求點P的坐標.
【考點】GB:反比例函數綜合題.
【分析】(1)首先確定A、B兩點坐標,再利用待定系數法即可解決問題;
(2)分兩種情形討論求解即可.
【解答】解:(1)???y=kx+b與反比例函數y=g(x>0)的圖象分別交于點A(m,
X
3)和點B(6,n),
m=2,n=l,
.\A(2,3),B(6,1),
2k+b=3
則有
6k+b=l'
解得
b=4
直線AB的解析式為y=-;x+4
(2)如圖①當PALOD時,VPA/7OC,
.,.△ADP^ACDO,
此時p(2,0).
②當APUCD時,易知△P,DAs/\CD0,
?.,直線AB的解析式為y=-yx+4,
二直線PZA的解析式為y=2x-1,
令y=0,解得x=4,
:.P'(-i-,0),
2
綜上所述,滿足條件的點P坐標為(2,0)或號,0).
14.如圖,已知,A(0,4),B(-3,0),C(2,0),D為B點關于AC的對稱
點,反比例函數y=K的圖象經過D點.
X
(1)證明四邊形ABCD為菱形;
(2)求此反比例函數的解析式;
(3)已知在y=K的圖象(x>0)上一點N,y軸正半軸上一點M,且四邊形ABMN
X
【分析】(1)由A(0,4),B(-3,0),C(2,0),利用勾股定理可求得AB=5=BC,
又由D為B點關于AC的對稱點,可得AB=AD,BC=DC,即可證得AB=AD=CD=CB,
繼而證得四邊形ABCD為菱形;
(2)由四邊形ABCD為菱形,可求得點D的坐標,然后利用待定系數法,即可
求得此反比例函數的解析式;
(3)由四邊形ABMN是平行四邊形,根據平移的性質,可求得點N的橫坐標,
代入反比例函數解析式,即可求得點N的坐標,繼而求得M點的坐標.
【解答】解:(1)VA(0,4),B(-3,0),C(2,0),
AOA=4,OB=3,OC=2,
2
.?.AB=^QA+OB2=5,BC=5,
,AB=BC,
?「D為B點關于AC的對稱點,
,AB=AD,CB=CD,
;.AB=AD=CD=CB,
四邊形ABCD為菱形;
(2)?.?四邊形ABCD為菱形,
??.D點的坐標為(5,4),反比例函數丫上■的圖象經過D點,
X
.Ak
5
Jk=20,
...反比例函數的解析式為:y圖;
X
(3)???四邊形ABMN是平行四邊形,
;.AN〃BM,AN=BM,
AAN是BM經過平移得到的,
???首先BM向右平移了3個單位長度,
,N點的橫坐標為3,
代入y=號,
得哼
,M點的縱坐標為:
;.M點的坐標為:(0,1).
15.如圖,直線AB經過x軸上的點M,與反比例函數y=K(x>0)的圖象相交
X
于點A(1,8)和B(m,n),其中m>l,AC_Lx軸于點C,BD_Ly軸于點D,
AC與BD交于點P.
(1)求k的值;
(2)若AB=2BM,求aABD的面積;
(3)若四邊形ABCD為菱形,求直線AB的函數解析式.
【考點】GB:反比例函數綜合題.
【分析】(1)把A點坐標代入反比例函數解析式可求得k的值;
(2)由平行線分線段成比例可求得AP與AC的比例,從而可求得B點的坐標,
則可求得BD的長,利用三角形面積公式可求得aABD的面積;
(3)由菱形的性質可用B點坐標表示出P點坐標,再結合PA=PC可求得m、n
的值,即可求得B點坐標,利用待定系數法可求得直線AB的解析式.
【解答】解:
(1)把A(1,8)代入y=K,可得k=8;
x
(2)VA(1,8),B(m,n),
.*.AP=8-n,AC=8,
VAB=2BM,
.AB2
,?市萬’
?.?AC,x軸,BD,y軸,
;.BP〃CM,
?AP_AB_2gn8-n_2解得8^
,,AC-AI_3,即8一3‘解得
把B(m,4)代入反比例函數解析式可得m=3,
ABD=3,
?0ABDVBD?AP[X3X(8-得)=8;
(3)?.?四邊形ABCD為菱形,
;.BP=DP,
二點P坐標為(/71,n),
VPA=PC,
:.P(1,4),
?n=4,
??m=2,n=4,
AB(2,4),
設直線AB解析式為y=sx+b,
k=-4
(4=2k+b解得
I8=k+bb=12
直線AB的解析式為y=-4x+12.
16.如圖,矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上,點D為對角線
0B的中點,點E(4,m)在邊AB上,反比例函數y=K(kWO)在第一象限內的
X
圖象經過點D、E,且cosNBOA=5.
5
(1)求邊AB的長;
(2)求反比例函數的解析式和m的值;
(3)若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F,點G、H分別是y軸、x軸
上的點,當△OGH絲AFGH時,求線段0G的長.
【考點】GB:反比例函數綜合題.
【分析】(1)由矩形的性質可求得0A,由三角函數定義可求得0B,則可求得
AB的長;
(2)由條件可求得D點坐標,代入反比例函數解析式,可求得其解析式,把E
點坐標代入解析式可求得m的值;
(3)由反比例函數解析式可求得F點坐標,則可求得CF的長,設OG=x,利用
三角形全等的性質可表示出CG和FG,在RQCGF中利用勾股定理可得到方程,
可求得0G的長.
【解答】解:
(1)?.?點E(4,m)在邊AB上,
A0A=4,
在RtAAOB中,
4
VcosZBOA=-^,
5
AOB=5,
?'-AB=7OP-OA^=3:
(2)由(1),可得點B的坐標為(4,3),
?.?點D為0B的中點,
.,.點D(2,1.5).
?.?點D在反比例函數尸工(kWO)的圖象上,
X
k=3,
...反比例函數解析式為尸之,
X
又點E(4,n)在反比例函數圖象上,
.3
??吟;
(3)設點F(a,3),
?反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F,
??3—1,
ACF=1,
設OG=x,
VAOGH^AFGH,
OG=FG=x,CG=3-x,
在RtACGF中,
由勾股定理可得GF2=CF2+CG2,
BPx2=(3-x)2+l2,
解得x=|,
J
4
??OG=W.
3
17.如圖,Rt^AOB的直角邊OA在x軸上,0A=2,AB=1,將Rt^AOB繞點0
逆時針旋轉90。得到RtACOD,拋物線y=--|x2+bx+c經過B、D兩點.
O
(1)求二次函數的解析式;
(2)連接BD,點P是拋物線上一點,直線0P把ABOD的周長分成相等的兩部
分,求點P的坐標.
【考點】H8;待定系數法求二次函數解析式;H5:二次函數圖象上點的坐標特
征;R7:坐標與圖形變化-旋轉.
【分析】(1)由旋轉性質可得CD=AB=1、OA=OC=2,從而得出點B、D坐標,代
入解析式即可得出答案;
(2)由直線0P把aBOD的周長分成相等的兩部分且OB=OD,知DQ=BQ,即點
Q為BD的中點,從而得出點Q坐標,求得直線0P解析式,代入拋物線解析式
可得點P坐標.
【解答】解:(1)?.?RSA0B繞點。逆時針旋轉90。得到RSC0D,
,CD=AB=1、OA=OC=2,
則點B(2,1)、D(-1,2),代入解析式,得:
-y+2b+c=l
<,
W-b+c=2
6
10
c-
3
.,.二次函數的解析式為y=-與2+&(+普";
623
(2)如圖,
?.?直線0P把aBOD的周長分成相等的兩部分,且OB=OD,
,DQ=BQ,即點Q為BD的中點,
???點Q坐標為號,"I"),
設直線0P解析式為丫=1^,
將點Q坐標代入,得:4k=4,
22
解得:k=3,
,直線0P的解析式為y=3x,
代入y=-32+當+冬,得:--|-X2+-^-X+4^3X,
623623
解得:x=l或x=-4,
當x=l時,y=3,
當x=-4時,y=-12,
.?.點P坐標為(1,3)或(-4,-12).
18.如圖,^AOB的頂點A、B分別在x軸,y軸上,ZBAO=45°,且aAOB的面
積為8.
(1)直接寫出A、B兩點的坐標;
(2)過點A、B的拋物線G與x軸的另一個交點為點C.
①若AABC是以BC為腰的等腰三角形,求此時拋物線的解析式;
②將拋物線G向下平移4個單位后,恰好與直線AB只有一個交點N,求點N的
坐標.
y,
oAx
【考點】HA:拋物線與x軸的交點;H6:二次函數圖象與幾何變換;KH:等腰
三角形的性質.
【分析】(1)首先證明OA=OB,利用三角形的面積公式,列出方程即可求出0A、
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