幾何圖形中的函數(shù)

考點(diǎn)解讀

1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，建立幾何變量間的函數(shù)關(guān)系式，確定幾何變量

的取值范圍。

2.以幾何為背景，函數(shù)為主線，既考查函數(shù)知識(shí)、幾何知識(shí)，又能考查綜合分析問題和

解決問題的能力，是中考常見的題型。

考題解析

1.如圖，點(diǎn)M(-3,4),點(diǎn)P從。點(diǎn)出發(fā)，沿射線0M方向1個(gè)單位/秒勻速

運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的過程中以P為對(duì)稱中心，。為一個(gè)頂點(diǎn)作正方形OABC,當(dāng)正方形

面積為128時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)是(）

A.（y,普）B.（小,11）C.（2,2何）D.（烏，乎）

55

【考點(diǎn)】FI：一次函數(shù)綜合題.

【分析】作AD，x軸于D,CE_Lx軸于E,根據(jù)M的坐標(biāo)求得直線0M的斜率-

進(jìn)一步得出直線AC的斜率為,，通過證得△COE之ZSOAD,得出CE=OD,

OE=AD,所以設(shè)A(a,b),則C(-b,a),然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC

的斜率為白，從而得出母=3，整理得b=7a,然后在RTZXAOD中，根據(jù)勾股

a+ba+b4

定理得出(7a)2+a2=128,解得a=《，b=^-.

55

【解答】解：作ADLx軸于D,CE，x軸于E,

設(shè)直線0M的解析式為y=kx,

?.?點(diǎn)M(-3,4),

.*.4=-3k,

4

3

??,四邊形ABC。是正方形,

，直線AC_L直線0M,

，直線AC的斜率為日，

?四邊形ABC。是正方形,

AOA=OC,ZAOC=90°,

工ZAOD+ZCOE=90°,

VZAOD+ZOAD=90°

/.ZCOE=ZOAD,

在△COE和△OAD中，

zZC0E=Z0AD

<ZCE0=Z0DA=90o

0C=0A

/.△COE^AOAD(AAS),

，CE=OD,OE=AD,

設(shè)A(a,b),則C(-b,a),

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,

.faiirl-n=b(l)

I-birrf-n=a(2)

解得m=-^

a+b

.b-a3

整理得，b=7a,

?.?正方形面積為128,

/.OA2=128,

在RTVXAOD中，AD2+OD2=OA2,即(7a)2+a2=128,

解得，a咯，

b

.卜7V856

??b=7a=7X—=--

55

?'A嚕，多，

故選D.

2.在直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，A(0,4),點(diǎn)B在直線y=kx+6(k>0)上，若

以0、A、B為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，k的值為()

A.近B.*C.3D.1

【考點(diǎn)】FI：一次函數(shù)綜合題.

【分析】當(dāng)使AAOB為直角三角形的點(diǎn)B有且只有三個(gè)時(shí)可知直線y=kx+6與以

0A為直徑的圓相切，利用銳角三角函數(shù)可求得k值.

【解答】解：以點(diǎn)A,0,B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，

當(dāng)直角頂點(diǎn)是A和0時(shí)，直線y=kx+6上各存在一個(gè)點(diǎn)B滿足條件，

要以0、A、B為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，直角頂點(diǎn)是B的aAOB

只需存在一個(gè)，

所以，以0A為直徑的圓C與直線y=kx+6相切，

如圖，

設(shè)切點(diǎn)為B,直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)&、D,連接CB,

在y=kx+6中令y=0,得x=6,

.*.0D=6,且0C==0A=2,

，CD=4,

在RtZ\CDB中，BC=2,CD=4,

.,.sinZBDC=—=4-，

CD2

.,.ZODB'=30",

在RtaOB'D中，ZODB'=30°,0D=6,

.,.tanZODB'=^^,

OD

???+tan3oOno=—OB6'I,

.*.OB'=6tan30°=2V3,

Vk>0,

AB'（-2、/5，0）,

將點(diǎn)B'（-2/5，0）代入y=kx+6中，得，-2月＜+6=0,

??k=^3'

故選A.

3.如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，若AB〃CD,4ABD與4ACD的面

積分別為10和20,若雙曲線y=K恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn)E,則k的值為（）

【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【分析】方法一：根據(jù)AB〃CD,得出SMCD=SAACD=20,利用4ABD與4ACD的面

積分別為10和20,得：AO：OC=BO：OD=1：2,進(jìn)而得出答案；

方法二：根據(jù)AB〃CD,設(shè)黑=g-m；手=舞|1,得出OC=mn?OB,OD=n?OB,

BO0D0A0B

進(jìn)而表示出4ABD與4ACD的面積，表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出k的值.

【解答】解：方法一：?..AB〃CD,

?SABCD=SAACD=20,

VAABD與aACD的面積分別為10和20,

.,.△ABD和4BCD面積比為1：2,

，根據(jù)同底得：AO：OC=BO：OD=1：2,

?c_lc_20

OD

2k=-^,

3

?T

J

故選：A.

方法二因?yàn)锳B//CD,設(shè)需需m；f喘嘰

得到：OA=mOB,OC=n>OA=n<m>OB=mn<OB,OD=n*OB,

△ABD與AACD的面積分別為10和20,

△ABD的面積*(OA?BD)=梟人?(OB+OD)=《(m?0B)?(OB+n*OB)=[m?

(n+1)*OB2=10,

△ACD的面積卷(AC?OD)=/0D?(OA+OC)=y(n*OB)?(m*OB+mn*OB)

=-^-m*n*(n+1)*OB2=20,

兩個(gè)等式相除，得到n=2,代入得到m?0B2=等，

BC的中點(diǎn)E點(diǎn)坐標(biāo)為：(-~10B,-yOC),

k=x?y=-%B?(-±0C)=?oB?4m?n?OB==X'X2Xm?OB2==X?=￡.

222222233

故選：A.

4.如圖，在^ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C

以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)Q

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止)，在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形PABQ的面積最小值為()

A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2

【考點(diǎn)】H7：二次函數(shù)的最值.

【分析】在RtAABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(OWt

W4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,利用分割圖形求面積法可得出S四硼PABQ卡

-6t+24,利用配方法即可求出四邊形PABQ的面積最小值，此題得解.

【解答】解：在R3ABC中,ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,

AC=<7AB2-BC2=6CIT,-

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0WtW4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,

2

??S四邊形PABQ=SAABCSACPQ=—AC?BC--PC*CQ=—X6X8--6-t)X2t=t-

2222

6t+24=(t-3)2+15,

...當(dāng)t=3時(shí)，四邊形PABQ的面積取最小值，最小值為15.

故選C.

在平面直角坐標(biāo)系中，正方形、按圖所

5.xOyAiBiCiOA2B2C2B1，A3B3C3B2,

示的方式放置.點(diǎn)A］、Az、A3,...和點(diǎn)Bi、B2、B3,...分別在直線y=kx+b和x軸

上.已知Ci(1,-1),C2(1?,—?jiǎng)t點(diǎn)A3的坐標(biāo)是(~^~，看),

【考點(diǎn)】Fl：一次函數(shù)綜合題.

【分析】根據(jù)正方形的軸對(duì)稱性，由Ci、C2的坐標(biāo)可求A1、A2的坐標(biāo)，將Ax、

A2的坐標(biāo)代入y=kx+b中，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與

b的值，從而求直線解析式，由正方形的性質(zhì)求出OBi，OB2的長，設(shè)B2G=A3G=3

表示出A3的坐標(biāo)，代入直線方程中列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的

值，確定出A3的坐標(biāo).

【解答】解：連接AiJ,A2c2，A3C3,分別交x軸于點(diǎn)E、F、G,

?.?正方形A1B1C1O、A2B2c2B1、A3B3C3B2，

，Ai與Ci關(guān)于x軸對(duì)稱，A?與C2關(guān)于x軸對(duì)稱，A3與C3關(guān)于x軸對(duì)稱，

*.,Ci(1,-1),C2(5，-

22

Ai(1,1),A](,—>>

，OBi=2OE=2,OB2=OBI+2BF=2+2*(y-2)=5,

'k+b=l

將A1與A的坐標(biāo)代入y=kx+b中得：-73，

2|7k+b=2l

k4

解得：，

噸

直線解析式為y=+4，

D□

設(shè)B2G=A3G=t,則有A3坐標(biāo)為(5+t,t),

代入直線解析式得：b=1(5+t)+1,

解得：

4

...A?坐標(biāo)為(§"，弓).

故答案是：(普，!).

6.如圖，。。的半徑為5,P為。。上一點(diǎn)，P(4,3),PC、PD為。。的弦,

分別交y軸正半軸于E、F,且PE=PF,連CD,設(shè)直線CD為y=kx+b,則k=_￡_.

【考點(diǎn)】FI：一次函數(shù)綜合題.

【分析】取點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q,由條件可證得Q為a的中點(diǎn)，連接0Q,

則可知OQLCD,可求得直線0Q的解析式，由互相垂直的兩條直線的關(guān)系可求

得CD的解析式的k.

【解答】解：

如圖，取點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q,

VP(4,3),

：.Q.(-4,3),連接PQ,

.,.PCUy軸，

VPE=PF,

，NCPE=NDPE,

...點(diǎn)Q為百的中點(diǎn)，

連接0Q,則。CUDC,

設(shè)直線0Q解析式的y=mx,

把Q點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3=-4m,解得m=-日，

直線0Q解析式為丫=-*,

/.直線CD解析式為y[x+b,

?'?kJ，

3

故答案為：.

7.如圖，在邊長為6cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別從點(diǎn)A、B、C、

D同時(shí)出發(fā)，均以lcm/s的速度向點(diǎn)B、C、D、A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí),

四個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3s時(shí),四邊形EFGH的

面積最小，其最小值是18err?.

【考點(diǎn)】H7：二次函數(shù)的最值；LE：正方形的性質(zhì).

【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0Wt<6),則AE=t,AH=6-t,由四邊形EFGH的面積

=正方形ABCD的面積-4個(gè)aAEH的面積，即可得出S四母形EFGH關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系

式，配方后即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0WtW6),則AE=t,AH=6-t,

根據(jù)題意得：S四邊J8EFGH=S正方形ABCD-4sAAEH=6X6_4X-^-t(6-t)=2t2-12t+36=2

(t-3)2+18,

.?.當(dāng)t=3時(shí)，四邊形EFGH的面積取最小值，最小值為18.

故答案為：3；18

8.如圖，正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長為2的正方形的邊上.若設(shè)AE=x,正方形

EFGH的面積為y,則V與x的函數(shù)關(guān)系為y=2x?-4x+4.

【考點(diǎn)】HD：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；LE：正方形的性質(zhì)

【分析】由AAS證明AAHE絲ABEF,得出AE=BF=x,AH=BE=2-x,再根據(jù)勾股

定理，求出E*,即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解:如圖所示:

???四邊形ABCD是邊長為2的正方形,

，NA=NB=90°,AB=2.

AZl+Z2=90°,

???四邊形EFGH為正方形,

.?.ZHEF=90°,EH=EF.

.,.Zl+Z3=90°,

，/2=N3,

在AAHE與ABEF中，

'NA=/B

N2=/3,

EH=FE

/.△AHE^ABEF(AAS),

，AE=BF=x,AH=BE=2-x,

在Rt/XAHE中，由勾股定理得：

EH2=AE2+AH2=X2+(2-x)2=2X2-4x+4；

即y=2x2-4x+4(0<x<2),

故答案為：y=2x2-4x+4.

9.在一空曠場地上設(shè)計(jì)一落地為矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m,拴住小狗的

10m長的繩子一端固定在B點(diǎn)處，小狗在不能進(jìn)入小屋內(nèi)的條件下活動(dòng)，其可以

活動(dòng)的區(qū)域面積為S(m2)

(1)如圖1,若BC=4m,則S=88nrr?.

(2)如圖2,現(xiàn)考慮在(1)中矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正aCDE

區(qū)域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC的變化過

程中，當(dāng)S取得最小值時(shí)，邊BC的長為m.

-2~

ADAD

圖1圖2

【考點(diǎn)】HE：二次函數(shù)的應(yīng)用；KM：等邊三角形的判定與性質(zhì)；LB：矩形的性

質(zhì).

【分析】(1)小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的日?qǐng)A，以C為圓

4

心、6為半徑的二圓和以A為圓心、4為半徑的二圓的面積和，據(jù)此列式求解可

44

得；

(2)此時(shí)小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的日?qǐng)A，以A為圓心、

x為半徑的;圓、以C為圓心、10-x為半徑的券圓的面積和，列出函數(shù)解析式,

4360

由二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：(1)如圖1,拴住小狗的10m長的繩子一端固定在B點(diǎn)處，小狗

可以活動(dòng)的區(qū)域如圖所示：

卻

由圖可知，小狗活動(dòng)的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的日?qǐng)A，以C為圓心、

4

6為半徑的］圓和以A為圓心、4為半徑的二圓的面積和，

44

...S=—Xn*102+—?n*42=88n,

444

故答案為：88A；

(2)如圖2,

圖2

設(shè)BC=x,則AB=10-x,

/.102-^-?n*x2+-^-*R*(10-x)2

44360

71/2x

=—(x2-10x+250)

JT

=-y(x2-5x+250),

當(dāng)*=*|?時(shí)，S取得最小值，

故答案為：~

10.如圖，矩形AOCB的頂點(diǎn)A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上，線段OA、

OC的長度滿足方程|x-15|+后痣=0(OA>OC),直線y=kx+b分別與x軸、y

軸交于M、N兩點(diǎn)，將ABCN沿直線BN折疊，點(diǎn)C恰好落在直線MN上的點(diǎn)D

處，且tan/CBD=g

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求直線BN的解析式；

(3)將直線BN以每秒1個(gè)單位長度的速度沿y軸向下平移，求直線BN掃過矩

形AOCB的面積S關(guān)于運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(0VtW13)的函數(shù)關(guān)系式.

【考點(diǎn)】FI：一次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得x、y的值，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過D作EFLOA于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F,由條件可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，且可求得黑

UN

=弓，結(jié)合DE〃ON,利用平行線分線段成比例可求得OM和ON的長，則可求得

N點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BN的解析式；

(3)設(shè)直線BN平移后交y軸于點(diǎn)N，，交AB于點(diǎn)夕，當(dāng)點(diǎn)W在x軸上方時(shí)，可

知S即為團(tuán)BNNB的面積，當(dāng)N，在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，可用t表示出直線BN的解

析式，設(shè)交x軸于點(diǎn)G,可用t表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，由S=S四邊形BNN?-SAOGN"可分

別得到S與t的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解：

(1)x-15|+Vy-13=0,

?*.x=15,y=13,

0A=BC=15,AB=0C=13,

，B(15,13)；

(2)如圖1,過D作EF_LOA于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F,

由折疊的性質(zhì)可知BD=BC=15,ZBDN=ZBCN=90°,

■

VtanZCBD=4，

4

KBF2+DF2=BD2=152,解得BF=12,DF=9,

BF4

.,.CF=0E=15-12=3,DE=EF-DF=13-9=4,

,/ZCND+ZCBD=360°-90°-90°=180°,且/ONM+NCND=180°,

，NONM=NCBD,

.0M_3

,,oiT7,

VDE/7ON,

.MEOH3RC-

??c二且OE=3,

DEON4

.?.更日，解得OM=6,

44

，ON=8,即N(0,8),

把N、B的坐標(biāo)代入y=kx+b可得,解得[及吉，

115k+b=13]b=g

二直線BN的解析式為y=}x+8；

(3)設(shè)直線BN平移后交y軸于點(diǎn)N，，交AB于點(diǎn)夕，

當(dāng)點(diǎn)N，在x軸上方，即0Vt<8時(shí)，如圖2,

由題意可知四邊形BNNB為平行四邊形，且NN，=t,

.?.S=NN'?0A=15t；

VNN=t,

.,.可設(shè)直線BN解析式為y[x+8-t,

令y=0,可得x=3t-24,

，OG=24,

VON=8,NN'=t,

.?.ON'=t-8,

?'?S=S四邊形BNNE-SAOGN=15t-￡(t-8)(3t-24)=--^-t2+39t-96；

，15t(0<t<8)

綜上可知與的函數(shù)關(guān)系式為

StS=^t2+39t.96(8<t<13).

2

11.如圖1,已知團(tuán)ABCD,AB〃x軸，AB=6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-4),點(diǎn)D的

坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn)P是回ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P在邊BC上，PD=CD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）若點(diǎn)P在邊AB,AD上，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q落在直線y=x-l上，

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）若點(diǎn)P在邊AB,AD,CD上，點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn)，如圖2,過點(diǎn)P

作y軸的平行線PM,過點(diǎn)G作x軸的平行線GM,它們相交于點(diǎn)M,將△PGM

沿直線PG翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（直接寫出

答案）

DCD\PC

圖1圖2

【考點(diǎn)】FI：一次函數(shù)綜合題.

【分析】（1）由題意點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（3,4）；

（2）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，分別列出方程

即可解決問題；

（3）分三種情形①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí).②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在

AB上時(shí).③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí).分別求解即可；

【解答】解：（1）VCD=6,

二點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

.?.點(diǎn)P坐標(biāo)為（3,4）.

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，

?.?直線AD的解析式為y=-2x-2,

設(shè)P（a,-2a-2）,且-3WaWl,

若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Qi（a,2a+2）在直線y=x-l上，

/.2a+2=a-1,

解得a=-3,

此時(shí)P（-3,4）.

若點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Cb（-a,-2a-2）在直線y=x-1上時(shí)，

-2a-2=-a-1,解得a=-1,此時(shí)P(-1,0)

②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，設(shè)P(a,-4)且l〈aW7,

若等P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(a,4)在直線y=x-l上，

.*.4=a-1,解得a=5,此時(shí)P(5,-4),

若點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)①(-a,-4)在直線y=x-1上，

,-4=-a-1,

解得a=3,此時(shí)P(3,-4),

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).

P2-PN2=2VS>

在Rt^OGM，中，VOG2+OM,2=GM,2,

/.22+(2遍-m)2=m2,

解得m=-等，

...P(-4)

根據(jù)對(duì)稱性可知，P(唔，4)也滿足條件.

②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，易知四邊形PMGM，是正方形，邊長為2,此時(shí)

P(2,-4).

③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，設(shè)AD交x軸于R.易證NM，RG=N!VrGR,

在Rt^OGM，中，有X2=2?+(x-1)2,解得x=￡,

.?.P(-1.3).

-4）或（-微，3）或（-岑3，4）或（耳、4）.

點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,

12.如圖，在直角坐標(biāo)系中，Rt^ABC的直角邊AC在x軸上，NACB=90。，AC=1,

反比例函數(shù)y=k（k>0）的圖象經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)D（3,1）

X

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若aABC與aEFG成中心對(duì)稱，且4EFG的邊FG在y軸的正半軸上，點(diǎn)E

在這個(gè)函數(shù)的圖象上.

①求OF的長；

【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由D點(diǎn)坐標(biāo)可求得k的值，可求得反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)①由中心對(duì)稱的性質(zhì)可知AABC絲ZSEFG,由D點(diǎn)坐標(biāo)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，從

而可求得BC和AC的長，由全等三角形的性質(zhì)可求得GE和GF,則可求得E點(diǎn)

坐標(biāo)，從而可求得OF的長；②由條件可證得△AOFgAFGE,則可證得AF=EF=AB,

且NEFA=NFAB=90°,則可證得四邊形ABEF為正方形.

【解答】解：

(1)???反比例函數(shù)y=K(k>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(3,1),

X

/.k=3Xl=3,

反比例函數(shù)表達(dá)式為y=2；

(2)①?；口為BC的中點(diǎn)，

，BC=2,

VAABC與4EFG成中心對(duì)稱，

.,.△ABC^AEFG,

.*.GF=BC=2,GE=AC=1,

?.?點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上,

AE(1,3),即0G=3,

.\OF=OG-GF=1；

②如圖，連接AF、BE,

，0A=GF=2,

在△AOF和AFGE中

'A0=FG

<ZA0F=ZFGE

0F=GE

.,.△AOF^AFGE(SAS),

AZGFE=ZFAO=ZABC,

二ZGFE+ZAFO=ZFAO+ZBAC=90°,

；.EF〃AB,且EF=AB,

???四邊形ABEF為平行四邊形，

/.AF=EF,

二四邊形ABEF為菱形，

VAF1EF,

四邊形ABEF為正方形.

13.直線y=kx+b與反比例函數(shù)丫=g(x>0)的圖象分別交于點(diǎn)A(m,3)和點(diǎn)

X

B(6,n),與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D.

(1)求直線AB的解析式；

(2)若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)48口與4ADP相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【分析】(1)首先確定A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)分兩種情形討論求解即可.

【解答】解：(1)???y=kx+b與反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象分別交于點(diǎn)A(m,

X

3)和點(diǎn)B(6,n),

m=2,n=l,

.\A(2,3),B(6,1),

2k+b=3

則有

6k+b=l'

解得

b=4

直線AB的解析式為y=-；x+4

(2)如圖①當(dāng)PALOD時(shí)，VPA/7OC,

.,.△ADP^ACDO,

此時(shí)p(2,0).

②當(dāng)APUCD時(shí)，易知△P，DAs/\CD0,

?.,直線AB的解析式為y=-yx+4,

二直線PZA的解析式為y=2x-1,

令y=0,解得x=4,

：.P'(-i-,0),

2

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,0)或號(hào),0).

14.如圖，已知，A(0,4),B(-3,0),C(2,0),D為B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱

點(diǎn)，反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過D點(diǎn).

X

(1)證明四邊形ABCD為菱形；

(2)求此反比例函數(shù)的解析式；

(3)已知在y=K的圖象(x>0)上一點(diǎn)N,y軸正半軸上一點(diǎn)M,且四邊形ABMN

X

【分析】(1)由A(0,4),B(-3,0),C(2,0),利用勾股定理可求得AB=5=BC,

又由D為B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，可得AB=AD,BC=DC,即可證得AB=AD=CD=CB,

繼而證得四邊形ABCD為菱形；

(2)由四邊形ABCD為菱形，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可

求得此反比例函數(shù)的解析式；

(3)由四邊形ABMN是平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)，可求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，

代入反比例函數(shù)解析式，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，繼而求得M點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：(1)VA(0,4),B(-3,0),C(2,0),

AOA=4,OB=3,OC=2,

2

.?.AB=^QA+OB2=5,BC=5,

，AB=BC,

?「D為B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，

，AB=AD,CB=CD,

；.AB=AD=CD=CB,

四邊形ABCD為菱形；

(2)?.?四邊形ABCD為菱形，

??.D點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,4),反比例函數(shù)丫上■的圖象經(jīng)過D點(diǎn)，

X

.Ak

5

Jk=20,

...反比例函數(shù)的解析式為：y圖；

X

(3)???四邊形ABMN是平行四邊形，

；.AN〃BM,AN=BM,

AAN是BM經(jīng)過平移得到的，

???首先BM向右平移了3個(gè)單位長度，

，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

代入y=號(hào)，

得哼

，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

；.M點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0,1).

15.如圖，直線AB經(jīng)過x軸上的點(diǎn)M,與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象相交

X

于點(diǎn)A(1,8)和B(m,n),其中m>l,AC_Lx軸于點(diǎn)C,BD_Ly軸于點(diǎn)D,

AC與BD交于點(diǎn)P.

(1)求k的值；

(2)若AB=2BM,求aABD的面積；

(3)若四邊形ABCD為菱形，求直線AB的函數(shù)解析式.

【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【分析】(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值；

(2)由平行線分線段成比例可求得AP與AC的比例，從而可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，

則可求得BD的長，利用三角形面積公式可求得aABD的面積；

(3)由菱形的性質(zhì)可用B點(diǎn)坐標(biāo)表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合PA=PC可求得m、n

的值，即可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式.

【解答】解：

(1)把A(1,8)代入y=K,可得k=8；

x

(2)VA(1,8),B(m,n),

.*.AP=8-n,AC=8,

VAB=2BM,

.AB2

,?市萬’

?.?AC，x軸，BD，y軸，

；.BP〃CM,

?AP_AB_2gn8-n_2解得8^

,，AC-AI_3,即8一3‘解得

把B(m,4)代入反比例函數(shù)解析式可得m=3,

ABD=3,

?0ABDVBD?AP[X3X(8-得)=8；

(3)?.?四邊形ABCD為菱形，

；.BP=DP,

二點(diǎn)P坐標(biāo)為(/71，n),

VPA=PC,

：.P(1,4),

?n=4,

??m=2,n=4,

AB(2,4),

設(shè)直線AB解析式為y=sx+b,

k=-4

(4=2k+b解得

I8=k+bb=12

直線AB的解析式為y=-4x+12.

16.如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線

0B的中點(diǎn)，點(diǎn)E（4,m）在邊AB上，反比例函數(shù)y=K（kWO）在第一象限內(nèi)的

X

圖象經(jīng)過點(diǎn)D、E,且cosNBOA=5.

5

（1）求邊AB的長；

（2）求反比例函數(shù)的解析式和m的值；

（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,點(diǎn)G、H分別是y軸、x軸

上的點(diǎn)，當(dāng)△OGH絲AFGH時(shí)，求線段0G的長.

【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可求得0A,由三角函數(shù)定義可求得0B,則可求得

AB的長；

（2）由條件可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，可求得其解析式，把E

點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求得m的值；

（3）由反比例函數(shù)解析式可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得CF的長，設(shè)OG=x,利用

三角形全等的性質(zhì)可表示出CG和FG,在RQCGF中利用勾股定理可得到方程,

可求得0G的長.

【解答】解:

(1)?.?點(diǎn)E(4,m)在邊AB上，

A0A=4,

在RtAAOB中，

4

VcosZBOA=-^,

5

AOB=5,

?'-AB=7OP-OA^=3：

(2)由(1),可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3),

?.?點(diǎn)D為0B的中點(diǎn)，

.,.點(diǎn)D(2,1.5).

?.?點(diǎn)D在反比例函數(shù)尸工(kWO)的圖象上，

X

k=3,

...反比例函數(shù)解析式為尸之，

X

又點(diǎn)E(4,n)在反比例函數(shù)圖象上，

.3

??吟；

(3)設(shè)點(diǎn)F(a,3),

?反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,

??3—1,

ACF=1,

設(shè)OG=x,

VAOGH^AFGH,

OG=FG=x,CG=3-x,

在RtACGF中，

由勾股定理可得GF2=CF2+CG2,

BPx2=(3-x)2+l2,

解得x=|,

J

4

??OG=W.

3

17.如圖，Rt^AOB的直角邊OA在x軸上，0A=2,AB=1,將Rt^AOB繞點(diǎn)0

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到RtACOD,拋物線y=--|x2+bx+c經(jīng)過B、D兩點(diǎn).

O

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)連接BD,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，直線0P把ABOD的周長分成相等的兩部

分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】H8；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征；R7：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得CD=AB=1、OA=OC=2,從而得出點(diǎn)B、D坐標(biāo)，代

入解析式即可得出答案；

(2)由直線0P把a(bǔ)BOD的周長分成相等的兩部分且OB=OD,知DQ=BQ,即點(diǎn)

Q為BD的中點(diǎn)，從而得出點(diǎn)Q坐標(biāo)，求得直線0P解析式，代入拋物線解析式

可得點(diǎn)P坐標(biāo).

【解答】解：(1)?.?RSA0B繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到RSC0D,

，CD=AB=1、OA=OC=2,

則點(diǎn)B(2,1)、D(-1,2),代入解析式，得：

-y+2b+c=l

<,

W-b+c=2

6

10

c-

3

.,.二次函數(shù)的解析式為y=-與2+&（+普"；

623

（2）如圖,

?.?直線0P把a(bǔ)BOD的周長分成相等的兩部分，且OB=OD,

，DQ=BQ,即點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn)，

???點(diǎn)Q坐標(biāo)為號(hào),"I"）,

設(shè)直線0P解析式為丫=1^,

將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入，得：4k=4，

22

解得:k=3,

，直線0P的解析式為y=3x,

代入y=-32+當(dāng)+冬，得：--|-X2+-^-X+4^3X,

623623

解得：x=l或x=-4,

當(dāng)x=l時(shí),y=3,

當(dāng)x=-4時(shí)，y=-12,

.?.點(diǎn)P坐標(biāo)為（1,3）或（-4,-12）.

18.如圖，^AOB的頂點(diǎn)A、B分別在x軸，y軸上，ZBAO=45°,且aAOB的面

積為8.

（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A、B的拋物線G與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C.

①若AABC是以BC為腰的等腰三角形，求此時(shí)拋物線的解析式；

②將拋物線G向下平移4個(gè)單位后，恰好與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)N,求點(diǎn)N的

坐標(biāo).

y,

oAx

【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn)；H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換；KH：等腰

三角形的性質(zhì).

【分析】(1)首先證明OA=OB,利用三角形的面積公式，列出方程即可求出0A、