幾何圖形中的函數

考點解讀

1.運用數形結合的思想，構建數學模型，建立幾何變量間的函數關系式，確定幾何變量

的取值范圍。

2.以幾何為背景，函數為主線，既考查函數知識、幾何知識，又能考查綜合分析問題和

解決問題的能力，是中考常見的題型。

考題解析

1.如圖，點M(-3,4),點P從。點出發，沿射線0M方向1個單位/秒勻速

運動，運動的過程中以P為對稱中心，。為一個頂點作正方形OABC,當正方形

面積為128時，點A坐標是(）

A.（y,普）B.（小,11）C.（2,2何）D.（烏，乎）

55

【考點】FI：一次函數綜合題.

【分析】作AD，x軸于D,CE_Lx軸于E,根據M的坐標求得直線0M的斜率-

進一步得出直線AC的斜率為,，通過證得△COE之ZSOAD,得出CE=OD,

OE=AD,所以設A(a,b),則C(-b,a),然后根據待定系數法求得直線AC

的斜率為白，從而得出母=3，整理得b=7a,然后在RTZXAOD中，根據勾股

a+ba+b4

定理得出(7a)2+a2=128,解得a=《，b=^-.

55

【解答】解：作ADLx軸于D,CE，x軸于E,

設直線0M的解析式為y=kx,

?.?點M(-3,4),

.*.4=-3k,

4

3

??,四邊形ABC。是正方形,

，直線AC_L直線0M,

，直線AC的斜率為日，

?四邊形ABC。是正方形,

AOA=OC,ZAOC=90°,

工ZAOD+ZCOE=90°,

VZAOD+ZOAD=90°

/.ZCOE=ZOAD,

在△COE和△OAD中，

zZC0E=Z0AD

<ZCE0=Z0DA=90o

0C=0A

/.△COE^AOAD(AAS),

，CE=OD,OE=AD,

設A(a,b),則C(-b,a),

設直線AC的解析式為y=mx+n,

.faiirl-n=b(l)

I-birrf-n=a(2)

解得m=-^

a+b

.b-a3

整理得，b=7a,

?.?正方形面積為128,

/.OA2=128,

在RTVXAOD中，AD2+OD2=OA2,即(7a)2+a2=128,

解得，a咯，

b

.卜7V856

??b=7a=7X—=--

55

?'A嚕，多，

故選D.

2.在直角坐標系中，。為原點，A(0,4),點B在直線y=kx+6(k>0)上，若

以0、A、B為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，k的值為()

A.近B.*C.3D.1

【考點】FI：一次函數綜合題.

【分析】當使AAOB為直角三角形的點B有且只有三個時可知直線y=kx+6與以

0A為直徑的圓相切，利用銳角三角函數可求得k值.

【解答】解：以點A,0,B為頂點的三角形是直角三角形，

當直角頂點是A和0時，直線y=kx+6上各存在一個點B滿足條件，

要以0、A、B為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，直角頂點是B的aAOB

只需存在一個，

所以，以0A為直徑的圓C與直線y=kx+6相切，

如圖，

設切點為B,直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點&、D,連接CB,

在y=kx+6中令y=0,得x=6,

.*.0D=6,且0C==0A=2,

，CD=4,

在RtZ\CDB中，BC=2,CD=4,

.,.sinZBDC=—=4-，

CD2

.,.ZODB'=30",

在RtaOB'D中，ZODB'=30°,0D=6,

.,.tanZODB'=^^,

OD

???+tan3oOno=—OB6'I,

.*.OB'=6tan30°=2V3,

Vk>0,

AB'（-2、/5，0）,

將點B'（-2/5，0）代入y=kx+6中，得，-2月＜+6=0,

??k=^3'

故選A.

3.如圖，四邊形ABCD的頂點都在坐標軸上，若AB〃CD,4ABD與4ACD的面

積分別為10和20,若雙曲線y=K恰好經過BC的中點E,則k的值為（）

【考點】GB：反比例函數綜合題.

【分析】方法一：根據AB〃CD,得出SMCD=SAACD=20,利用4ABD與4ACD的面

積分別為10和20,得：AO：OC=BO：OD=1：2,進而得出答案；

方法二：根據AB〃CD,設黑=g-m；手=舞|1,得出OC=mn?OB,OD=n?OB,

BO0D0A0B

進而表示出4ABD與4ACD的面積，表示出E點坐標，進而得出k的值.

【解答】解：方法一：?..AB〃CD,

?SABCD=SAACD=20,

VAABD與aACD的面積分別為10和20,

.,.△ABD和4BCD面積比為1：2,

，根據同底得：AO：OC=BO：OD=1：2,

?c_lc_20

OD

2k=-^,

3

?T

J

故選：A.

方法二因為AB//CD,設需需m；f喘嘰

得到：OA=mOB,OC=n>OA=n<m>OB=mn<OB,OD=n*OB,

△ABD與AACD的面積分別為10和20,

△ABD的面積*(OA?BD)=梟人?(OB+OD)=《(m?0B)?(OB+n*OB)=[m?

(n+1)*OB2=10,

△ACD的面積卷(AC?OD)=/0D?(OA+OC)=y(n*OB)?(m*OB+mn*OB)

=-^-m*n*(n+1)*OB2=20,

兩個等式相除，得到n=2,代入得到m?0B2=等，

BC的中點E點坐標為：(-~10B,-yOC),

k=x?y=-%B?(-±0C)=?oB?4m?n?OB==X'X2Xm?OB2==X?=￡.

222222233

故選：A.

4.如圖，在^ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,點P從點A沿AC向點C

以lcm/s的速度運動，同時點Q從點C沿CB向點B以2cm/s的速度運動(點Q

運動到點B停止)，在運動過程中，四邊形PABQ的面積最小值為()

A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2

【考點】H7：二次函數的最值.

【分析】在RtAABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm,設運動時間為t(OWt

W4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,利用分割圖形求面積法可得出S四硼PABQ卡

-6t+24,利用配方法即可求出四邊形PABQ的面積最小值，此題得解.

【解答】解：在R3ABC中,ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,

AC=<7AB2-BC2=6CIT,-

設運動時間為t(0WtW4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,

2

??S四邊形PABQ=SAABCSACPQ=—AC?BC--PC*CQ=—X6X8--6-t)X2t=t-

2222

6t+24=(t-3)2+15,

...當t=3時，四邊形PABQ的面積取最小值，最小值為15.

故選C.

在平面直角坐標系中，正方形、按圖所

5.xOyAiBiCiOA2B2C2B1，A3B3C3B2,

示的方式放置.點A］、Az、A3,...和點Bi、B2、B3,...分別在直線y=kx+b和x軸

上.已知Ci(1,-1),C2(1?,—則點A3的坐標是(~^~，看),

【考點】Fl：一次函數綜合題.

【分析】根據正方形的軸對稱性，由Ci、C2的坐標可求A1、A2的坐標，將Ax、

A2的坐標代入y=kx+b中，得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與

b的值，從而求直線解析式，由正方形的性質求出OBi，OB2的長，設B2G=A3G=3

表示出A3的坐標，代入直線方程中列出關于b的方程，求出方程的解得到b的

值，確定出A3的坐標.

【解答】解：連接AiJ,A2c2，A3C3,分別交x軸于點E、F、G,

?.?正方形A1B1C1O、A2B2c2B1、A3B3C3B2，

，Ai與Ci關于x軸對稱，A?與C2關于x軸對稱，A3與C3關于x軸對稱，

*.,Ci(1,-1),C2(5，-

22

Ai(1,1),A](,—>>

，OBi=2OE=2,OB2=OBI+2BF=2+2*(y-2)=5,

'k+b=l

將A1與A的坐標代入y=kx+b中得：-73，

2|7k+b=2l

k4

解得：，

噸

直線解析式為y=+4，

D□

設B2G=A3G=t,則有A3坐標為(5+t,t),

代入直線解析式得：b=1(5+t)+1,

解得：

4

...A?坐標為(§"，弓).

故答案是：(普，!).

6.如圖，。。的半徑為5,P為。。上一點，P(4,3),PC、PD為。。的弦,

分別交y軸正半軸于E、F,且PE=PF,連CD,設直線CD為y=kx+b,則k=_￡_.

【考點】FI：一次函數綜合題.

【分析】取點P關于y軸的對稱點Q,由條件可證得Q為a的中點，連接0Q,

則可知OQLCD,可求得直線0Q的解析式，由互相垂直的兩條直線的關系可求

得CD的解析式的k.

【解答】解：

如圖，取點P關于y軸的對稱點Q,

VP(4,3),

：.Q.(-4,3),連接PQ,

.,.PCUy軸，

VPE=PF,

，NCPE=NDPE,

...點Q為百的中點，

連接0Q,則。CUDC,

設直線0Q解析式的y=mx,

把Q點坐標代入可得3=-4m,解得m=-日，

直線0Q解析式為丫=-*,

/.直線CD解析式為y[x+b,

?'?kJ，

3

故答案為：.

7.如圖，在邊長為6cm的正方形ABCD中，點E、F、G、H分別從點A、B、C、

D同時出發，均以lcm/s的速度向點B、C、D、A勻速運動，當點E到達點B時,

四個點同時停止運動，在運動過程中，當運動時間為3s時,四邊形EFGH的

面積最小，其最小值是18err?.

【考點】H7：二次函數的最值；LE：正方形的性質.

【分析】設運動時間為t(0Wt<6),則AE=t,AH=6-t,由四邊形EFGH的面積

=正方形ABCD的面積-4個aAEH的面積，即可得出S四母形EFGH關于t的函數關系

式，配方后即可得出結論.

【解答】解：設運動時間為t(0WtW6),則AE=t,AH=6-t,

根據題意得：S四邊J8EFGH=S正方形ABCD-4sAAEH=6X6_4X-^-t(6-t)=2t2-12t+36=2

(t-3)2+18,

.?.當t=3時，四邊形EFGH的面積取最小值，最小值為18.

故答案為：3；18

8.如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為2的正方形的邊上.若設AE=x,正方形

EFGH的面積為y,則V與x的函數關系為y=2x?-4x+4.

【考點】HD：根據實際問題列二次函數關系式；LE：正方形的性質

【分析】由AAS證明AAHE絲ABEF,得出AE=BF=x,AH=BE=2-x,再根據勾股

定理，求出E*,即可得到y與x之間的函數關系式.

【解答】解:如圖所示:

???四邊形ABCD是邊長為2的正方形,

，NA=NB=90°,AB=2.

AZl+Z2=90°,

???四邊形EFGH為正方形,

.?.ZHEF=90°,EH=EF.

.,.Zl+Z3=90°,

，/2=N3,

在AAHE與ABEF中，

'NA=/B

N2=/3,

EH=FE

/.△AHE^ABEF(AAS),

，AE=BF=x,AH=BE=2-x,

在Rt/XAHE中，由勾股定理得：

EH2=AE2+AH2=X2+(2-x)2=2X2-4x+4；

即y=2x2-4x+4(0<x<2),

故答案為：y=2x2-4x+4.

9.在一空曠場地上設計一落地為矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m,拴住小狗的

10m長的繩子一端固定在B點處，小狗在不能進入小屋內的條件下活動，其可以

活動的區域面積為S(m2)

(1)如圖1,若BC=4m,則S=88nrr?.

(2)如圖2,現考慮在(1)中矩形ABCD小屋的右側以CD為邊拓展一正aCDE

區域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC的變化過

程中，當S取得最小值時，邊BC的長為m.

-2~

ADAD

圖1圖2

【考點】HE：二次函數的應用；KM：等邊三角形的判定與性質；LB：矩形的性

質.

【分析】(1)小狗活動的區域面積為以B為圓心、10為半徑的日圓，以C為圓

4

心、6為半徑的二圓和以A為圓心、4為半徑的二圓的面積和，據此列式求解可

44

得；

(2)此時小狗活動的區域面積為以B為圓心、10為半徑的日圓，以A為圓心、

x為半徑的;圓、以C為圓心、10-x為半徑的券圓的面積和，列出函數解析式,

4360

由二次函數的性質解答即可.

【解答】解：(1)如圖1,拴住小狗的10m長的繩子一端固定在B點處，小狗

可以活動的區域如圖所示：

卻

由圖可知，小狗活動的區域面積為以B為圓心、10為半徑的日圓，以C為圓心、

4

6為半徑的］圓和以A為圓心、4為半徑的二圓的面積和，

44

...S=—Xn*102+—?n*42=88n,

444

故答案為：88A；

(2)如圖2,

圖2

設BC=x,則AB=10-x,

/.102-^-?n*x2+-^-*R*(10-x)2

44360

71/2x

=—(x2-10x+250)

JT

=-y(x2-5x+250),

當*=*|?時，S取得最小值，

故答案為：~

10.如圖，矩形AOCB的頂點A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上，線段OA、

OC的長度滿足方程|x-15|+后痣=0(OA>OC),直線y=kx+b分別與x軸、y

軸交于M、N兩點，將ABCN沿直線BN折疊，點C恰好落在直線MN上的點D

處，且tan/CBD=g

(1)求點B的坐標；

(2)求直線BN的解析式；

(3)將直線BN以每秒1個單位長度的速度沿y軸向下平移，求直線BN掃過矩

形AOCB的面積S關于運動的時間t(0VtW13)的函數關系式.

【考點】FI：一次函數綜合題.

【分析】(1)由非負數的性質可求得x、y的值，則可求得B點坐標；

(2)過D作EFLOA于點E,交CB于點F,由條件可求得D點坐標，且可求得黑

UN

=弓，結合DE〃ON,利用平行線分線段成比例可求得OM和ON的長，則可求得

N點坐標，利用待定系數法可求得直線BN的解析式；

(3)設直線BN平移后交y軸于點N，，交AB于點夕，當點W在x軸上方時，可

知S即為團BNNB的面積，當N，在y軸的負半軸上時，可用t表示出直線BN的解

析式，設交x軸于點G,可用t表示出G點坐標，由S=S四邊形BNN?-SAOGN"可分

別得到S與t的函數關系式.

【解答】解：

(1)x-15|+Vy-13=0,

?*.x=15,y=13,

0A=BC=15,AB=0C=13,

，B(15,13)；

(2)如圖1,過D作EF_LOA于點E,交CB于點F,

由折疊的性質可知BD=BC=15,ZBDN=ZBCN=90°,

■

VtanZCBD=4，

4

KBF2+DF2=BD2=152,解得BF=12,DF=9,

BF4

.,.CF=0E=15-12=3,DE=EF-DF=13-9=4,

,/ZCND+ZCBD=360°-90°-90°=180°,且/ONM+NCND=180°,

，NONM=NCBD,

.0M_3

,,oiT7,

VDE/7ON,

.MEOH3RC-

??c二且OE=3,

DEON4

.?.更日，解得OM=6,

44

，ON=8,即N(0,8),

把N、B的坐標代入y=kx+b可得,解得[及吉，

115k+b=13]b=g

二直線BN的解析式為y=}x+8；

(3)設直線BN平移后交y軸于點N，，交AB于點夕，

當點N，在x軸上方，即0Vt<8時，如圖2,

由題意可知四邊形BNNB為平行四邊形，且NN，=t,

.?.S=NN'?0A=15t；

VNN=t,

.,.可設直線BN解析式為y[x+8-t,

令y=0,可得x=3t-24,

，OG=24,

VON=8,NN'=t,

.?.ON'=t-8,

?'?S=S四邊形BNNE-SAOGN=15t-￡(t-8)(3t-24)=--^-t2+39t-96；

，15t(0<t<8)

綜上可知與的函數關系式為

StS=^t2+39t.96(8<t<13).

2

11.如圖1,已知團ABCD,AB〃x軸，AB=6,點A的坐標為(1,-4),點D的

坐標為(-3,4),點B在第四象限，點P是回ABCD邊上的一個動點.

（1）若點P在邊BC上，PD=CD,求點P的坐標.

（2）若點P在邊AB,AD上，點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y=x-l上，

求點P的坐標.

（3）若點P在邊AB,AD,CD上，點G是AD與y軸的交點，如圖2,過點P

作y軸的平行線PM,過點G作x軸的平行線GM,它們相交于點M,將△PGM

沿直線PG翻折，當點M的對應點落在坐標軸上時，求點P的坐標.（直接寫出

答案）

DCD\PC

圖1圖2

【考點】FI：一次函數綜合題.

【分析】（1）由題意點P與點C重合，可得點P坐標為（3,4）；

（2）分兩種情形①當點P在邊AD上時，②當點P在邊AB上時，分別列出方程

即可解決問題；

（3）分三種情形①如圖1中，當點P在線段CD上時.②如圖2中，當點P在

AB上時.③如圖3中，當點P在線段AD上時.分別求解即可；

【解答】解：（1）VCD=6,

二點P與點C重合，

.?.點P坐標為（3,4）.

（2）①當點P在邊AD上時，

?.?直線AD的解析式為y=-2x-2,

設P（a,-2a-2）,且-3WaWl,

若點P關于x軸的對稱點Qi（a,2a+2）在直線y=x-l上，

/.2a+2=a-1,

解得a=-3,

此時P（-3,4）.

若點P關于y軸的對稱點Cb（-a,-2a-2）在直線y=x-1上時，

-2a-2=-a-1,解得a=-1,此時P(-1,0)

②當點P在邊AB上時，設P(a,-4)且l〈aW7,

若等P關于x軸的對稱點Q(a,4)在直線y=x-l上，

.*.4=a-1,解得a=5,此時P(5,-4),

若點P關于y軸的對稱點①(-a,-4)在直線y=x-1上，

,-4=-a-1,

解得a=3,此時P(3,-4),

綜上所述，點P的坐標為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).

P2-PN2=2VS>

在Rt^OGM，中，VOG2+OM,2=GM,2,

/.22+(2遍-m)2=m2,

解得m=-等，

...P(-4)

根據對稱性可知，P(唔，4)也滿足條件.

②如圖2中，當點P在AB上時，易知四邊形PMGM，是正方形，邊長為2,此時

P(2,-4).

③如圖3中，當點P在線段AD上時，設AD交x軸于R.易證NM，RG=N!VrGR,

在Rt^OGM，中，有X2=2?+(x-1)2,解得x=￡,

.?.P(-1.3).

-4）或（-微，3）或（-岑3，4）或（耳、4）.

點P坐標為(2,

12.如圖，在直角坐標系中，Rt^ABC的直角邊AC在x軸上，NACB=90。，AC=1,

反比例函數y=k（k>0）的圖象經過BC邊的中點D（3,1）

X

(1)求這個反比例函數的表達式；

(2)若aABC與aEFG成中心對稱，且4EFG的邊FG在y軸的正半軸上，點E

在這個函數的圖象上.

①求OF的長；

【考點】GB：反比例函數綜合題.

【分析】(1)由D點坐標可求得k的值，可求得反比例函數的表達式；

(2)①由中心對稱的性質可知AABC絲ZSEFG,由D點坐標可求得B點坐標，從

而可求得BC和AC的長，由全等三角形的性質可求得GE和GF,則可求得E點

坐標，從而可求得OF的長；②由條件可證得△AOFgAFGE,則可證得AF=EF=AB,

且NEFA=NFAB=90°,則可證得四邊形ABEF為正方形.

【解答】解：

(1)???反比例函數y=K(k>0)的圖象經過點D(3,1),

X

/.k=3Xl=3,

反比例函數表達式為y=2；

(2)①?；口為BC的中點，

，BC=2,

VAABC與4EFG成中心對稱，

.,.△ABC^AEFG,

.*.GF=BC=2,GE=AC=1,

?.?點E在反比例函數的圖象上,

AE(1,3),即0G=3,

.\OF=OG-GF=1；

②如圖，連接AF、BE,

，0A=GF=2,

在△AOF和AFGE中

'A0=FG

<ZA0F=ZFGE

0F=GE

.,.△AOF^AFGE(SAS),

AZGFE=ZFAO=ZABC,

二ZGFE+ZAFO=ZFAO+ZBAC=90°,

；.EF〃AB,且EF=AB,

???四邊形ABEF為平行四邊形，

/.AF=EF,

二四邊形ABEF為菱形，

VAF1EF,

四邊形ABEF為正方形.

13.直線y=kx+b與反比例函數丫=g(x>0)的圖象分別交于點A(m,3)和點

X

B(6,n),與坐標軸分別交于點C和點D.

(1)求直線AB的解析式；

(2)若點P是x軸上一動點，當48口與4ADP相似時，求點P的坐標.

【考點】GB：反比例函數綜合題.

【分析】(1)首先確定A、B兩點坐標，再利用待定系數法即可解決問題；

(2)分兩種情形討論求解即可.

【解答】解：(1)???y=kx+b與反比例函數y=g(x>0)的圖象分別交于點A(m,

X

3)和點B(6,n),

m=2,n=l,

.\A(2,3),B(6,1),

2k+b=3

則有

6k+b=l'

解得

b=4

直線AB的解析式為y=-；x+4

(2)如圖①當PALOD時，VPA/7OC,

.,.△ADP^ACDO,

此時p(2,0).

②當APUCD時，易知△P，DAs/\CD0,

?.,直線AB的解析式為y=-yx+4,

二直線PZA的解析式為y=2x-1,

令y=0,解得x=4,

：.P'(-i-,0),

2

綜上所述，滿足條件的點P坐標為(2,0)或號,0).

14.如圖，已知，A(0,4),B(-3,0),C(2,0),D為B點關于AC的對稱

點，反比例函數y=K的圖象經過D點.

X

(1)證明四邊形ABCD為菱形；

(2)求此反比例函數的解析式；

(3)已知在y=K的圖象(x>0)上一點N,y軸正半軸上一點M,且四邊形ABMN

X

【分析】(1)由A(0,4),B(-3,0),C(2,0),利用勾股定理可求得AB=5=BC,

又由D為B點關于AC的對稱點，可得AB=AD,BC=DC,即可證得AB=AD=CD=CB,

繼而證得四邊形ABCD為菱形；

(2)由四邊形ABCD為菱形，可求得點D的坐標，然后利用待定系數法，即可

求得此反比例函數的解析式；

(3)由四邊形ABMN是平行四邊形，根據平移的性質，可求得點N的橫坐標，

代入反比例函數解析式，即可求得點N的坐標，繼而求得M點的坐標.

【解答】解：(1)VA(0,4),B(-3,0),C(2,0),

AOA=4,OB=3,OC=2,

2

.?.AB=^QA+OB2=5,BC=5,

，AB=BC,

?「D為B點關于AC的對稱點，

，AB=AD,CB=CD,

；.AB=AD=CD=CB,

四邊形ABCD為菱形；

(2)?.?四邊形ABCD為菱形，

??.D點的坐標為(5,4),反比例函數丫上■的圖象經過D點，

X

.Ak

5

Jk=20,

...反比例函數的解析式為：y圖；

X

(3)???四邊形ABMN是平行四邊形，

；.AN〃BM,AN=BM,

AAN是BM經過平移得到的，

???首先BM向右平移了3個單位長度，

，N點的橫坐標為3,

代入y=號，

得哼

，M點的縱坐標為：

；.M點的坐標為：(0,1).

15.如圖，直線AB經過x軸上的點M,與反比例函數y=K(x>0)的圖象相交

X

于點A(1,8)和B(m,n),其中m>l,AC_Lx軸于點C,BD_Ly軸于點D,

AC與BD交于點P.

(1)求k的值；

(2)若AB=2BM,求aABD的面積；

(3)若四邊形ABCD為菱形，求直線AB的函數解析式.

【考點】GB：反比例函數綜合題.

【分析】(1)把A點坐標代入反比例函數解析式可求得k的值；

(2)由平行線分線段成比例可求得AP與AC的比例，從而可求得B點的坐標，

則可求得BD的長，利用三角形面積公式可求得aABD的面積；

(3)由菱形的性質可用B點坐標表示出P點坐標，再結合PA=PC可求得m、n

的值，即可求得B點坐標，利用待定系數法可求得直線AB的解析式.

【解答】解：

(1)把A(1,8)代入y=K,可得k=8；

x

(2)VA(1,8),B(m,n),

.*.AP=8-n,AC=8,

VAB=2BM,

.AB2

,?市萬’

?.?AC，x軸，BD，y軸，

；.BP〃CM,

?AP_AB_2gn8-n_2解得8^

,，AC-AI_3,即8一3‘解得

把B(m,4)代入反比例函數解析式可得m=3,

ABD=3,

?0ABDVBD?AP[X3X(8-得)=8；

(3)?.?四邊形ABCD為菱形，

；.BP=DP,

二點P坐標為(/71，n),

VPA=PC,

：.P(1,4),

?n=4,

??m=2,n=4,

AB(2,4),

設直線AB解析式為y=sx+b,

k=-4

(4=2k+b解得

I8=k+bb=12

直線AB的解析式為y=-4x+12.

16.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線

0B的中點，點E（4,m）在邊AB上，反比例函數y=K（kWO）在第一象限內的

X

圖象經過點D、E,且cosNBOA=5.

5

（1）求邊AB的長；

（2）求反比例函數的解析式和m的值；

（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F,點G、H分別是y軸、x軸

上的點，當△OGH絲AFGH時，求線段0G的長.

【考點】GB：反比例函數綜合題.

【分析】（1）由矩形的性質可求得0A,由三角函數定義可求得0B,則可求得

AB的長；

（2）由條件可求得D點坐標，代入反比例函數解析式，可求得其解析式，把E

點坐標代入解析式可求得m的值；

（3）由反比例函數解析式可求得F點坐標，則可求得CF的長，設OG=x,利用

三角形全等的性質可表示出CG和FG,在RQCGF中利用勾股定理可得到方程,

可求得0G的長.

【解答】解:

(1)?.?點E(4,m)在邊AB上，

A0A=4,

在RtAAOB中，

4

VcosZBOA=-^,

5

AOB=5,

?'-AB=7OP-OA^=3：

(2)由(1),可得點B的坐標為(4,3),

?.?點D為0B的中點，

.,.點D(2,1.5).

?.?點D在反比例函數尸工(kWO)的圖象上，

X

k=3,

...反比例函數解析式為尸之，

X

又點E(4,n)在反比例函數圖象上，

.3

??吟；

(3)設點F(a,3),

?反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F,

??3—1,

ACF=1,

設OG=x,

VAOGH^AFGH,

OG=FG=x,CG=3-x,

在RtACGF中，

由勾股定理可得GF2=CF2+CG2,

BPx2=(3-x)2+l2,

解得x=|,

J

4

??OG=W.

3

17.如圖，Rt^AOB的直角邊OA在x軸上，0A=2,AB=1,將Rt^AOB繞點0

逆時針旋轉90。得到RtACOD,拋物線y=--|x2+bx+c經過B、D兩點.

O

(1)求二次函數的解析式；

(2)連接BD,點P是拋物線上一點，直線0P把ABOD的周長分成相等的兩部

分，求點P的坐標.

【考點】H8；待定系數法求二次函數解析式；H5：二次函數圖象上點的坐標特

征；R7：坐標與圖形變化-旋轉.

【分析】(1)由旋轉性質可得CD=AB=1、OA=OC=2,從而得出點B、D坐標，代

入解析式即可得出答案；

(2)由直線0P把aBOD的周長分成相等的兩部分且OB=OD,知DQ=BQ,即點

Q為BD的中點，從而得出點Q坐標，求得直線0P解析式，代入拋物線解析式

可得點P坐標.

【解答】解：(1)?.?RSA0B繞點。逆時針旋轉90。得到RSC0D,

，CD=AB=1、OA=OC=2,

則點B(2,1)、D(-1,2),代入解析式，得：

-y+2b+c=l

<,

W-b+c=2

6

10

c-

3

.,.二次函數的解析式為y=-與2+&（+普"；

623

（2）如圖,

?.?直線0P把aBOD的周長分成相等的兩部分，且OB=OD,

，DQ=BQ,即點Q為BD的中點，

???點Q坐標為號,"I"）,

設直線0P解析式為丫=1^,

將點Q坐標代入，得：4k=4，

22

解得:k=3,

，直線0P的解析式為y=3x,

代入y=-32+當+冬，得：--|-X2+-^-X+4^3X,

623623

解得：x=l或x=-4,

當x=l時,y=3,

當x=-4時，y=-12,

.?.點P坐標為（1,3）或（-4,-12）.

18.如圖，^AOB的頂點A、B分別在x軸，y軸上，ZBAO=45°,且aAOB的面

積為8.

（1）直接寫出A、B兩點的坐標；

（2）過點A、B的拋物線G與x軸的另一個交點為點C.

①若AABC是以BC為腰的等腰三角形，求此時拋物線的解析式；

②將拋物線G向下平移4個單位后，恰好與直線AB只有一個交點N,求點N的

坐標.

y,

oAx

【考點】HA：拋物線與x軸的交點；H6：二次函數圖象與幾何變換；KH：等腰

三角形的性質.

【分析】(1)首先證明OA=OB,利用三角形的面積公式，列出方程即可求出0A、