第2章一元一次不等式與一元一次不等式組知識點01：不等式1.不等式：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.易錯指導：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．2.不等式的性質：不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知識點02：一元一次不等式1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經過化簡后只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式．易錯指導：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標準形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.

易錯指導：不等式解集的表示：在數軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點，二是定方向，三是定空實.3.應用：列不等式解應用題的基本步驟與列方程解應用題的步驟相類似，即：（1）審：認真審題，分清已知量、未知量；（2）設：設出適當的未知數；（3）找：找出題中的不等關系，要抓住題中的關鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關鍵詞的含義；（4）列：根據題中的不等關系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.易錯指導：列一元一次不等式解應用題時，經常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關系的關鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關鍵.知識點03：一元一次不等式組

關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組．

易錯指導：（1）不等式組的解集：不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數軸上，取所有解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應用：①根據題意構建不等式組，解這個不等式組；②由不等式組的解集及實際意義確定問題的答案．知識點04：一次函數與一元一次方程、一元一次不等式（組）方程（組）、不等式問題函數問題從“數”的角度看從“形”的角度看求關于、的一元一次方程＝0（≠0）的解為何值時，函數的值為0？確定直線與軸（即直線＝0）交點的橫坐標.求關于、的二元一次方程組的解．為何值時，函數與函數的值相等？確定直線與直線的交點的坐標.求關于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集為何值時，函數的值大于0？確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021春?武侯區校級期中）靜怡準備用70元在文具店買A，B兩種筆記本共7本，A種筆記本每本10元，B種筆記本每本8元，如果至少要買4本A種筆記本，請問靜怡購買的方案有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種解：設靜怡準備買A種筆記本x本，則購買B種筆記本（7﹣x）本，根據題意可知，10x+8（7﹣x）≤70，7﹣x＞0，解得，x＜7，∵x≥4，∴4≤x＜7，∴x可取4，5，6，∴共三有種方案．故選：B．2．（2分）（2022春?思明區校級期末）已知a＜b，下列不等式成立的是（）A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2解：A、不等式的兩邊都減1，不等號的方向不變，故A錯誤；B、不等式的兩邊都乘以同一個負數，不等號的方向改變，B選項沒有乘以同一個負數，故B錯誤；C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b∴m﹣a＞m﹣b，故C正確；D、∵m2≥0，a＜b∴am2≤bm2，故D錯誤；故選：C．3．（2分）（2022春?增城區期末）如圖，已知：函數y＝3x+b和y＝ax﹣3的圖象交于點P（﹣2，﹣5），則根據圖象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2解：∵函數y＝3x+b和y＝ax﹣3的圖象交于點P（﹣2，﹣5），則根據圖象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故選：B．4．（2分）（2020?南京二模）若不等式組有解，則k的取值范圍是（）A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2解：因為不等式組有解，k＜2．故選：A．5．（2分）（2018春?唐河縣期中）如圖，已知直線y＝ax+b與直線y＝x+c的交點的橫坐標為1，根據圖象有下列四個結論：①a＜0；②c＞0；③對于直線y＝x+c上任意兩點A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，則yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，其中正確的結論是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④解：∵直線y＝ax+b，y隨x的增大而減小，∴a＜0，①正確；∵直線y＝x+c與y軸交于負半軸，∴c＜0，②錯誤；直線y＝x+c中，k＝1＞0，∴y隨x的增大而增大，∴xA＜xB，則yA＜yB，③錯誤；x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，④正確；故選：C．6．（2分）（2020?長安區校級模擬）已知關于x的不等式組恰有3個整數解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．解：由于不等式組有解，則，必定有整數解0，∵，∴三個整數解不可能是﹣2，﹣1，0．若三個整數解為﹣1，0，1，則不等式組無解；若三個整數解為0，1，2，則；解得．故選：B．7．（2分）（2023春?香坊區校級期中）如圖，在數軸上表示不等式3x﹣6＞0的解集，正確的是（）A． B． C． D．解：3x﹣6＞0，3x＞6，x＞2，在數軸上表示為，故選：B．8．（2分）（2023春?新民市期中）已知關于x的不等式組的最小整數解是2，則實數m的取值范圍是（）A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2解：解不等式≥2，得：x≥4+m，解不等式x﹣4≤3（x﹣2），得：x≥1，∵不等式組的最小整數解是2，∴1＜4+m≤2，解得﹣3＜m≤﹣2，故選：B．9．（2分）（2023春?羅湖區期中）某學校舉行“創新杯”籃球比賽，比賽方案規定：每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場積2分，負1場積1分，每只球隊在全部8場比賽中積分不少于12分，才能獲獎．小明所在球隊參加了比賽并計劃獲獎，設這個球隊在全部比賽中勝x場，則x應滿足的關系式是（）A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12 C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x＞12解：由題意，勝一場得2x分，負一場得（8﹣x）分，則得不等式：2x+（8﹣x）≥12，故答案為：A．10．（2分）（2018?巴彥淖爾）若關于x，y的方程組的解滿足x﹣y＞﹣，則m的最小整數解為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0解：，①﹣②得：x﹣y＝3m+2，∵關于x，y的方程組的解滿足x﹣y＞﹣，∴3m+2＞﹣，解得：m＞﹣，∴m的最小整數解為﹣1，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?城中區模擬）如圖所示，函數y2＝ax+b和y1＝|x|的圖象相交于（﹣1，1），（2，2）兩點．當y1＞y2時，x的取值范圍是x＜﹣1或x＞2．解：∵函數y＝ax+b和y＝|x|的圖象相交于（﹣1，1），（2，2）兩點，∴根據圖象可以看出，當y1＞y2時，x的取值范圍是x＞2或x＜﹣1，故答案為：x＜﹣1或x＞2．12．（2分）（2020春?潤州區期末）已知實數x、y滿足2x﹣3y＝4，且x＞﹣1，y≤2，設k＝x﹣y，則k的取值范圍是1＜k≤3．解：∵2x﹣3y＝4，∴y＝（2x﹣4），∵y≤2，∴（2x﹣4）≤2，解得x≤5，又∵x＞﹣1，∴﹣1＜x≤5，∵k＝x﹣（2x﹣4）＝x+，當x＝﹣1時，k＝×（﹣1）+＝1；當x＝5時，k＝×5+＝3，∴1＜k≤3．故答案為：1＜k≤3．13．（2分）（2018春?義安區期末）如圖，已知一次函數y1＝﹣x+b的圖象與y軸交于點A（0，6），y2＝kx﹣2的圖象與x軸交于點B（2，0），那么使y1＞y2成立的自變量x的取值范圍是x＜4．解：將點A（0，6）代入一次函數y1＝﹣x+b，得0+b＝6，解得b＝6，故函數解析式為y1＝﹣x+6；將點B（2，0）代入y2＝kx﹣2，得2k﹣2＝0，解得k＝1，故函數解析式為y2＝x﹣2，解方程組，解得，∴兩函數圖象交點坐標為（4，2），∴使y1＞y2成立的自變量x的取值范圍是x＜4．故答案為：x＜4．14．（2分）（2023?洛陽三模）不等式組的所有整數解的和是5．解：，由①得：x＞，由②得：x≤3，∴不等式組的解集為＜x≤3，則所有整數解為2，3，之和為2+3＝5．故答案為：5．15．（2分）（2023春?江北區期中）如果關于x的不等式組有且只有3個奇數解，且關于y的方程3y+6a＝22﹣y的解為非負整數，則符合條件的所有整數a的積為﹣3．解：由，得x≤5，由3x+6＞a+4，得x＞，∵關于x的不等式組有且只有3個奇數解，∴這三個奇數解是1，3，5，∴﹣1≤＜1，解得﹣1≤a＜5，由方程3y+6a＝22﹣y，可得y＝，∵方程3y+6a＝22﹣y的解為非負整數，∴≥0且為整數，解得a≤且為整數，∴﹣1≤a≤且為整數，∴滿足條件的整數a的值為﹣1，1，3，∵﹣1×1×3＝﹣3，∴符合條件的所有整數a的積為﹣3，故答案為：﹣3．16．（2分）（2023春?沙坪壩區校級期中）若關于x的一元一次不等式組有解，且關于y的分式方程的解為整數，則符合條件的所有整數a的和為﹣4．解：由一元一次不等式組得：x≤1且x，∵一元一次不等式組有解，∴，解得：a≤1，解分式方程得：y＝，∵分式方程的解是整數，y≠1，∴當a+1＝1時，a＝0；當a+1＝2時，a＝1；當a+1＝4時，a＝3，不符合題意；當a+1＝﹣1時，a＝﹣2；當a+1＝﹣2時，a＝﹣3；當a+1＝﹣4時，a＝﹣5，y＝1，不符合題意；∴符合條件的所有整數a的和為：0+1﹣2﹣3＝﹣4．故答案為：﹣4．17．（2分）（2023春?龍泉驛區期中）若整數m使關于x的不等式組有解，且使關于x的分式方程＝﹣1有整數解，則整數m的值為6．解：解不等式組得，∵不等式組有解，∴3m+2＞﹣2m+17，解得m＞3，分式方程＝﹣1兩邊同乘（x+2）（x﹣2），得：mx﹣x2﹣2x＝﹣x2+4，∴x＝，∵方程有整數解，m＞3，且≠±2，∴m＝6．故答案為：6．18．（2分）（2022春?辛集市期末）一個工程隊規定要在6天內完成300土方的工程，第一天完成了60土方，現在要比原計劃至少提前兩天完成任務，請列出以后幾天平均每天至少要完成的土方數x應滿足的不等式為3x≥300﹣60．解：由題意，列出不等關系x（6﹣1﹣2）+60≥300，化簡得3x≥300﹣60．19．（2分）（2016春?岱岳區期中）今年三月份甲、乙兩個工程隊承包了面積1800m2的區域綠化，已知甲隊每天能完成100m2，需綠化費用為0.4萬元；乙隊每天能完成50m2，需綠化費用為0.25萬元，要使這次的綠化總費用不超過8萬元，至少應安排甲隊工作10天．解：設應安排甲隊工作y天，根據題意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10．即：至少應安排甲隊工作10天；故答案為：10．20．（2分）（2019春?南岸區校級期末）自2019年起，全國全面啟動生活垃圾分類工作．到6月底，某市部分小區先投入“垃圾分類”工作中：這部分小區平均每個小區有72戶業主參加，其中參加戶數低于60戶的小區平均每個小區有56戶業主參加，參加戶數不低于60戶的小區平均每個小區有84戶業主參加．根據調查發現，若每個小區同時新增10戶業主參加，則此時參加戶數低于60戶的小區平均每個小區有58戶，參加戶數不低于60戶的小區平均每個小區有90戶業主參加，且該市這部分小區個數不低于50，且不高于70，則這部分小區有56個．解：設低于60戶的有x個小區，不低于60戶的有y個小區每個小區增加10戶，則設低于60戶的會在x戶的基礎上減少e戶，不低于60戶的會在y戶的基礎上增加e戶即：低于60戶有（x﹣e）個小區，不低于60戶的有（y+e）個小區由題意得：72（x+y）＝56x+84y化簡得：4x＝3y①同時有：58（x﹣e）+90（y+e）＝82（x+y）化簡得：3x﹣y＝4e②由①②解得：x＝2.4e，y＝3.2e∵x，y，e都是正整數，且50≤x+y≤70∴50≤5.6e≤70∴e＝10，x＝24，y＝32∴x+y＝56故答案為：56．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2023?衡水三模）（1）已知a＝﹣1，求代數式的值；（2）解不等式組，并把其解集表示在數軸上．解：（1）＝?＝，當a＝﹣1時，原式＝＝2；（2）解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜4，∴不等式組的解集是﹣1≤x＜4，在數軸上表示不等式組的解集為：．22．（8分）（2023春?青羊區校級期中）如圖，在直角坐標系中，直線與x軸交于A，與直線交于，直線l2分別與x軸、y軸交于C、D，連接AD．（1）直接根據圖象寫出關于x的不等式的解集；（2）求出m、n的值；（3）求出△ABD的面積．解：（1）∵﹣x+m＞x+1，∴x＜﹣；（2）∵直線y＝x+1經過B（，n），∴n＝×+1＝．∵直線y＝﹣x+m經過B（，），∴＝﹣×+m，∴m＝3；（3）由（2）得直線l2的解析式為y＝﹣x+3，令x＝0，則y＝x+1＝1，∴H（﹣2，0），令x＝0，則0＝﹣x+3，∴y＝3，∴D（0，3），∴△ABD的面積＝△AHD的面積+△HBD的面積＝×（3﹣1）×2+×（3﹣1）×＝．23．（8分）（2023春?即墨區期中）某文具店在一次促銷活動中規定：消費者消費滿100元就可享受打折優惠．期中考試后，小韋同學在該店為班級買獎品，準備買3支鋼筆和若干本筆記本．已知每支鋼筆10元，每本筆記本4元，那么她至少買多少本筆記本才能享受打折優惠？解：設小韋買x本筆記本才能享受打折優惠，依題意得：10×3+4x≥100，解得：．∵x為整數，∴x的最小值為18．答：小韋至少買18本筆記本才能享受打折優惠．24．（8分）（2023春?朝陽區校級期中）根據學習一次函數的經驗，對函數y＝|x﹣3|的圖象和性質進行研究，探究過程如下，請補充完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實數，如表是y與x的幾組對應值：x…﹣10123456…y…43210m23…其中，m＝1；（2）在所給的平面直角坐標系xOy中，已經根據表格信息畫出了部分圖象，請你描出以上表中以其他各對對應值為坐標的點，補全函數圖象；?（3）觀察以上函數圖象發現，當x＜3時，y隨x的增大而減小；當x≥3時，y隨x的增大而增大；（4）結合圖象進一步探究，①不等式|x﹣3|≥2的解集是x≤1或x≥5；②若關于x的方程|x﹣3|＝2x+b的解是負數，則b的取值范圍為b＞3．解：（1）m＝|4﹣3|＝1，故答案為：1；（2）如圖：（3）當x≥3時，y隨x的增大而增大，故答案為：增大；（4）①由圖象得：不等式|x﹣3|≥2的解集是：x≤1或x≥5，故答案為：x≤1或x≥5；②由題意得：x＜0，∴原方程可化為：3﹣x＝2x+b，解得：x＝1﹣b，由題意得：1﹣b＜0，解得：b＞3，故答案為：b＞3．25．（8分）（2023春?小店區校級月考）某服裝廠生產一批服裝和領帶，服裝每套定價300元，領帶每條的定價為50元，廠方在開展促銷活動期間，向客戶提供了如下兩種優惠方案：方案一：購買一套服裝贈送一條領帶；方案二：服裝和領帶均按定價的九折出售．某商店老板現要到服裝廠采購服裝30套，領帶x（x≥30）條，請根據x的不同情況，幫助商店老板選擇最省錢的方案．解：按優惠方案（1）購買，應付款：300×30+（x﹣30）×50＝50x+7500（元），按優惠方案（2）購買，應付款：（300×30+50x）×90%＝45x+8100（元），設y＝（50x+7500）﹣（45x+8100）＝5x﹣600（元），當y＜0時，即（30≤x＜120且為整數）時．選方案（1）比方案（2）更省錢，當y＝0時，即x＝120時．選兩個方案一樣省錢，當y＞0時，即（x＞120且為整數）時．選方案（2）比方案（1）更省錢，如果同時選擇方案（1）和方案（2），那么為了獲得廠方贈送領帶的數量最多．同時享有9折優惠，可考慮設計別的方案（3），就是：先按（1）方案購買30套西服并獲贈30條領帶，然后余下的（x﹣30）條領帶按優惠方案（2）購買，應