年山西省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑1．（3分）﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B．3 C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b63．（3分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，那么在原正方體中，與“點”字所在面相對面上的漢字是（）A．青 B．春 C．夢 D．想4．（3分）下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直線a∥b，頂點C在直線b上，直線a交AB于點D，交AC與點E，若∠1＝145°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°6．（3分）不等式組的解集是（）A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣17．（3分）五臺山景區(qū)空氣清爽，景色宜人．“五一”小長假期間購票進山游客12萬人次，再創(chuàng)歷史新高．五臺山景區(qū)門票價格旺季168元/人．以此計算，“五一”小長假期間五臺山景區(qū)進山門票總收入用科學(xué)記數(shù)法表示（）A．2.016×108元 B．0.2016×107元 C．2.016×107元 D．2016×104元8．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化為（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝59．（3分）北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1），它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉索與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象﹣拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，與拱腳所在的水平面相交于A，B兩點．拱高為78米（即最高點O到AB的距離為78米），跨徑為90米（即AB＝90米），以最高點O為坐標(biāo)原點，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為（）A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝x2 D．y＝﹣x210．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中點O為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點D，則圖中陰影部分的面積為（）A．﹣ B．+ C．2﹣π D．4﹣二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）化簡﹣的結(jié)果是．12．（3分）要表示一個家庭一年用于“教育”，“服裝”，“食品”，“其他”這四項的支出各占家庭本年總支出的百分比，從“扇形統(tǒng)計圖”，“條形統(tǒng)計圖”，“折線統(tǒng)計圖”中選擇一種統(tǒng)計圖，最適合的統(tǒng)計圖是．13．（3分）如圖，在一塊長12m，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積77m2，設(shè)道路的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點O為坐標(biāo)原點，菱形ABCD的頂點B在x軸的正半軸上，點A坐標(biāo)為（﹣4，0），點D的坐標(biāo)為（﹣1，4），反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過點C，則k的值為．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，點D為△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝15°，AD＝6cm，連接BD，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D的對應(yīng)點為點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為cm．三、解答題（本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）計算：+（﹣）﹣2﹣3tan60°+（π﹣）0．（2）解方程組：17．（7分）已知：如圖，點B，D在線段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求證：BC＝DF．18．（9分）中華人民共和國第二屆青年運動會（簡稱二青會）將于2019年8月在山西舉行．太原市作為主賽區(qū)，將承擔(dān)多項賽事，現(xiàn)正從某高校的甲、乙兩班分別招募10人作為頒獎禮儀志愿者，同學(xué)們踴躍報名，甲、乙兩班各報了20人，現(xiàn)已對他們進行了基本素質(zhì)測評，滿分10分．各班按測評成績從高分到低分的順序各錄用10人，對這次基本素質(zhì)測評中甲、乙兩班學(xué)生的成績繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖．請解答下列問題：（1）甲班的小華和乙班的小麗基本素質(zhì)測評成績都為7分，請你分別判斷小華，小麗能否被錄用（只寫判斷結(jié)果，不必寫理由）．（2）請你對甲、乙兩班各被錄用的10名志愿者的成績作出評價（從“眾數(shù)”，“中位數(shù)”，或“平均數(shù)”中的一個方面評價即可）．（3）甲、乙兩班被錄用的每一位志愿者都將通過抽取卡片的方式?jīng)Q定去以下四個場館中的兩個場館進行頒獎禮儀服務(wù)，四個場館分別為：太原學(xué)院足球場，太原市沙灘排球場，山西省射擊射箭訓(xùn)練基地，太原水上運動中心，這四個場館分別用字母A，B，C，D表示．現(xiàn)把分別印有A，B，C，D的四張卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗勻放好．志愿者小玲從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，請你用列表或畫樹狀圖的方法求小玲抽到的兩張卡片恰好是“A”和“B”的概率．19．（8分）某游泳館推出了兩種收費方式．方式一：顧客先購買會員卡，每張會員卡200元，僅限本人一年內(nèi)使用，憑卡游泳，每次游泳再付費30元．方式二：顧客不購買會員卡，每次游泳付費40元．設(shè)小亮在一年內(nèi)來此游泳館的次數(shù)為x次，選擇方式一的總費用為y1（元），選擇方式二的總費用為y2（元）．（1）請分別寫出y1，y2與x之間的函數(shù)表達式．（2）小亮一年內(nèi)在此游泳館游泳的次數(shù)x在什么范圍時，選擇方式一比方式二省錢．20．（9分）某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動．他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量．他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個不同測點，分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點之間的距離．為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點之間的距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表（不完整）．課題測量旗桿的高度成員組長：xxx組員：xxx，xxx，xxx測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量示意圖說明：線段GH表示學(xué)校旗桿，測量角度的儀器的高度AC＝BD＝1.5m，測點A，B與H在同一條水平直線上，A，B之間的距離可以直接測得，且點G，H，A，B，C，D都在同一豎直平面內(nèi)，點C，D，E在同一條直線上，點E在GH上．測量數(shù)據(jù)測量項目第一次第二次平均值∠GCE的度數(shù)25.6°25.8°25.7°∠GDE的度數(shù)31.2°30.8°31°A，B之間的距離5.4m5.6m……任務(wù)一：兩次測量A，B之間的距離的平均值是m．任務(wù)二：根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學(xué)校旗桿GH的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）任務(wù)三：該“綜合與實踐”小組在制定方案時，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案，但未被采納．你認為其原因可能是什么？（寫出一條即可）21．（8分）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其中外心和內(nèi)心，則OI2＝R2﹣2Rr．如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切于點F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．下面是該定理的證明過程（部分）：延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所對的圓周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA?ID＝IM?IN，①如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直徑，所以∠DBE＝90°．∵⊙I與AB相切于點F，所以∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所對的圓周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA?BD＝DE?IF②任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代數(shù)式表示）；（2）請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1），（2）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；（4）應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm．22．（11分）綜合與實踐動手操作：第一步：如圖1，正方形紙片ABCD沿對角線AC所在的直線折疊，展開鋪平．在沿過點C的直線折疊，使點B，點D都落在對角線AC上．此時，點B與點D重合，記為點N，且點E，點N，點F三點在同一條直線上，折痕分別為CE，CF．如圖2．第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖3．第三步：在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點C與點F重合，如圖4，展開鋪平，連接EF，F(xiàn)G，GM，ME．如圖5，圖中的虛線為折痕．問題解決：（1）在圖5中，∠BEC的度數(shù)是，的值是．（2）在圖5中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由；（3）在不增加字母的條件下，請你以圖中5中的字母表示的點為頂點，動手畫出一個菱形（正方形除外），并寫出這個菱形：．23．（13分）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過點A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4）．連接AC，BC，DB，DC．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求m的值；（3）在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2019年山西省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑1．（3分）﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B．3 C． D．【分析】根據(jù)絕對值的定義，﹣3的絕對值是指在數(shù)軸上表示﹣3的點到原點的距離，即可得到正確答案．【解答】解：|﹣3|＝3．故﹣3的絕對值是3．故選：B．2．（3分）下列運算正確的是（）A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6【分析】直接利用合并同類項法則以及完全平方公式、積的乘方運算法則、同底數(shù)冪的乘除運算法則分別化簡得出答案．【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此選項錯誤；B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此選項錯誤；C、a2?a3＝a5，故此選項錯誤；D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正確．故選：D．3．（3分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種展開圖，那么在原正方體中，與“點”字所在面相對面上的漢字是（）A．青 B．春 C．夢 D．想【分析】根據(jù)正方體展開z字型和L型找對面的方法即可求解；【解答】解：展開圖中“點”與“春”是對面，“亮”與“想”是對面，“青”與“夢”是對面；故選：B．4．（3分）下列二次根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【解答】解：解：A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、是最簡二次根式，故D符合題意．故選：D．5．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直線a∥b，頂點C在直線b上，直線a交AB于點D，交AC與點E，若∠1＝145°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性質(zhì)可得∠AED的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得同位角相等，可得結(jié)論．【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，∴∠ACB＝75°，在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，∵a∥b，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝115°﹣75°＝40°，故選：C．6．（3分）不等式組的解集是（）A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1【分析】首先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：，由①得：x＞4，由②得：x＞﹣1，不等式組的解集為：x＞4，故選：A．7．（3分）五臺山景區(qū)空氣清爽，景色宜人．“五一”小長假期間購票進山游客12萬人次，再創(chuàng)歷史新高．五臺山景區(qū)門票價格旺季168元/人．以此計算，“五一”小長假期間五臺山景區(qū)進山門票總收入用科學(xué)記數(shù)法表示（）A．2.016×108元 B．0.2016×107元 C．2.016×107元 D．2016×104元【分析】科學(xué)記數(shù)法就是將一個數(shù)字表示成（a×10的n次冪的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整數(shù)，即從左邊第一位開始，在首位非零的后面加上小數(shù)點，再乘以10的n次冪．【解答】解：120000×168＝20160000＝2.016×107，故選：C．8．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化為（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5【分析】移項，配方，即可得出選項．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故選：D．9．（3分）北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖1），它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉索與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱（近似看成二次函數(shù)的圖象﹣拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，與拱腳所在的水平面相交于A，B兩點．拱高為78米（即最高點O到AB的距離為78米），跨徑為90米（即AB＝90米），以最高點O為坐標(biāo)原點，以平行于AB的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為（）A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝x2 D．y＝﹣x2【分析】直接利用圖象假設(shè)出拋物線解析式，進而得出答案．【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2，將B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452，解得：a＝﹣，故此拋物線鋼拱的函數(shù)表達式為：y＝﹣x2．故選：B．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中點O為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點D，則圖中陰影部分的面積為（）A．﹣ B．+ C．2﹣π D．4﹣【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得DE的長、∠DOB的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△ABC的面積減去△AOD的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tanA＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴陰影部分的面積是：＝，故選：A．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）化簡﹣的結(jié)果是．【分析】先把異分母轉(zhuǎn)化成同分母，再把分子相減即可．【解答】解：原式＝．故答案為：12．（3分）要表示一個家庭一年用于“教育”，“服裝”，“食品”，“其他”這四項的支出各占家庭本年總支出的百分比，從“扇形統(tǒng)計圖”，“條形統(tǒng)計圖”，“折線統(tǒng)計圖”中選擇一種統(tǒng)計圖，最適合的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖．【分析】條形統(tǒng)計圖能很容易看出數(shù)量的多少；折線統(tǒng)計圖不僅容易看出數(shù)量的多少，而且能反映數(shù)量的增減變化情況；扇形統(tǒng)計圖能反映部分與整體的關(guān)系；由此根據(jù)情況選擇即可．【解答】解：要表示一個家庭一年用于“教育”，“服裝”，“食品”，“其他”這四項的支出各占家庭本年總支出的百分比，最適合的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖．故答案為：扇形統(tǒng)計圖13．（3分）如圖，在一塊長12m，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積77m2，設(shè)道路的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為（12﹣x）（8﹣x）＝77．【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程．【解答】解：∵道路的寬應(yīng)為x米，∴由題意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，故答案為：（12﹣x）（8﹣x）＝77．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點O為坐標(biāo)原點，菱形ABCD的頂點B在x軸的正半軸上，點A坐標(biāo)為（﹣4，0），點D的坐標(biāo)為（﹣1，4），反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過點C，則k的值為16．【分析】要求k的值，求出點C坐標(biāo)即可，由菱形的性質(zhì)，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相應(yīng)的線段的長，轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)，進而求出k的值．【解答】解：過點C、D作CE⊥x軸，DF⊥x軸，垂足為E、F，∵ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，易證△ADF≌△BCE，∵點A（﹣4，0），D（﹣1，4），∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，在Rt△ADF中，AD＝，∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4，∴C（4，4）∴k＝4×4＝16故答案為：16．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，點D為△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝15°，AD＝6cm，連接BD，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點D的對應(yīng)點為點E，連接DE，DE交AC于點F，則CF的長為（10﹣2）cm．【分析】過點A作AG⊥DE于點G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用銳角三角函數(shù)分別求出AG，GF，AF的長，即可求出CF＝AC﹣AF＝10﹣2．【解答】解：過點A作AG⊥DE于點G，由旋轉(zhuǎn)知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3，在Rt△AFG中，GF＝＝，AF＝2FG＝2，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2，故答案為：10﹣2．三、解答題（本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）計算：+（﹣）﹣2﹣3tan60°+（π﹣）0．（2）解方程組：【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，0次冪進行計算，再合并同類二次根式；（2）用加減法進行解答便可．【解答】解：（1）原式＝3+4﹣3+1＝5；（2）①+②得，4x＝﹣8，∴x＝﹣2，把x＝﹣2代入①得，﹣6﹣2y＝﹣8，∴y＝1，∴．17．（7分）已知：如圖，點B，D在線段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求證：BC＝DF．【分析】由已知得出AB＝ED，由平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠E，由AAS證明△ABC≌△EDF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AD＝BE，∴AD﹣BD＝BE﹣BD，∴AB＝ED，∵AC∥EF，∴∠A＝∠E，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（AAS），∴BC＝DF．18．（9分）中華人民共和國第二屆青年運動會（簡稱二青會）將于2019年8月在山西舉行．太原市作為主賽區(qū)，將承擔(dān)多項賽事，現(xiàn)正從某高校的甲、乙兩班分別招募10人作為頒獎禮儀志愿者，同學(xué)們踴躍報名，甲、乙兩班各報了20人，現(xiàn)已對他們進行了基本素質(zhì)測評，滿分10分．各班按測評成績從高分到低分的順序各錄用10人，對這次基本素質(zhì)測評中甲、乙兩班學(xué)生的成績繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖．請解答下列問題：（1）甲班的小華和乙班的小麗基本素質(zhì)測評成績都為7分，請你分別判斷小華，小麗能否被錄用（只寫判斷結(jié)果，不必寫理由）．（2）請你對甲、乙兩班各被錄用的10名志愿者的成績作出評價（從“眾數(shù)”，“中位數(shù)”，或“平均數(shù)”中的一個方面評價即可）．（3）甲、乙兩班被錄用的每一位志愿者都將通過抽取卡片的方式?jīng)Q定去以下四個場館中的兩個場館進行頒獎禮儀服務(wù)，四個場館分別為：太原學(xué)院足球場，太原市沙灘排球場，山西省射擊射箭訓(xùn)練基地，太原水上運動中心，這四個場館分別用字母A，B，C，D表示．現(xiàn)把分別印有A，B，C，D的四張卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗勻放好．志愿者小玲從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，請你用列表或畫樹狀圖的方法求小玲抽到的兩張卡片恰好是“A”和“B”的概率．【分析】（1）判斷小華和小麗在各自班級的名次即可得出答案；（2）分別得出甲乙兩班的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，再判斷大小即可得；（3）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算可得．【解答】解：（1）小華在甲班是第11名，不能錄用；小麗在乙班是第10名，可以錄用；（2）從眾數(shù)來看，甲乙兩班各被錄用的10名志愿者的眾數(shù)分別為8分、10分，說明甲班被錄用的10名志愿者中8分最多，乙班被錄用的10名志愿者中10分最多；從中位數(shù)來看，甲乙兩班被錄用的10名志愿者成績的中位數(shù)分別為9分、8.5分，說明甲班被錄用的10名志愿者成績的中位數(shù)大于乙班被錄用的10名志愿者成績的中位數(shù)；從平均數(shù)看，甲乙兩班被錄用的10名志愿者成績的平均數(shù)分別為8.9分、8.7分，說明甲班被錄用的10名志愿者成績的平均數(shù)大于乙班被錄用的10名志愿者成績的平均數(shù)．（3）畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是“A”和“B”的有2種結(jié)果，所以抽到的兩張卡片恰好是“A”和“B”的概率為＝．19．（8分）某游泳館推出了兩種收費方式．方式一：顧客先購買會員卡，每張會員卡200元，僅限本人一年內(nèi)使用，憑卡游泳，每次游泳再付費30元．方式二：顧客不購買會員卡，每次游泳付費40元．設(shè)小亮在一年內(nèi)來此游泳館的次數(shù)為x次，選擇方式一的總費用為y1（元），選擇方式二的總費用為y2（元）．（1）請分別寫出y1，y2與x之間的函數(shù)表達式．（2）小亮一年內(nèi)在此游泳館游泳的次數(shù)x在什么范圍時，選擇方式一比方式二省錢．【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式列不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)游泳次數(shù)為x時，方式一費用為：y1＝30x+200，方式二的費用為：y2＝40x；（2）由y1＜y2得：30x+200＜40x，解得x＞20時，當(dāng)x＞20時，選擇方式一比方式二省錢．20．（9分）某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動．他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量．他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個不同測點，分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點之間的距離．為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點之間的距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表（不完整）．課題測量旗桿的高度成員組長：xxx組員：xxx，xxx，xxx測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量示意圖說明：線段GH表示學(xué)校旗桿，測量角度的儀器的高度AC＝BD＝1.5m，測點A，B與H在同一條水平直線上，A，B之間的距離可以直接測得，且點G，H，A，B，C，D都在同一豎直平面內(nèi)，點C，D，E在同一條直線上，點E在GH上．測量數(shù)據(jù)測量項目第一次第二次平均值∠GCE的度數(shù)25.6°25.8°25.7°∠GDE的度數(shù)31.2°30.8°31°A，B之間的距離5.4m5.6m……任務(wù)一：兩次測量A，B之間的距離的平均值是5.5m．任務(wù)二：根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學(xué)校旗桿GH的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）任務(wù)三：該“綜合與實踐”小組在制定方案時，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案，但未被采納．你認為其原因可能是什么？（寫出一條即可）【分析】任務(wù)一：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5；任務(wù)二：設(shè)EC＝xm，解直角三角形即可得到結(jié)論；任務(wù)三：根據(jù)題意得到?jīng)]有太陽光，或旗桿底部不可能達到等（答案不唯一）．【解答】解：任務(wù)一：由題意可得，四邊形ACDB，四邊形ADEH是矩形，∴EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5，故答案為：5.5；任務(wù)二：設(shè)EC＝xm，在Rt△DEG中，∠DEC＝90°，∠GDE＝31°，∵tan31°＝，∴DE＝，在Rt△CEG中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°，∵tan25.7°＝，CE＝，∵CD＝CE﹣DE，∴﹣＝5.5，∴x＝13.2，∴GH＝CE+EH＝13.2+1.5＝14.7，答：旗桿GH的高度為14.7米；任務(wù)三：沒有太陽光，或旗桿底部不可能達到．21．（8分）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其中外心和內(nèi)心，則OI2＝R2﹣2Rr．如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切于點F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．下面是該定理的證明過程（部分）：延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN．∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所對的圓周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA?ID＝IM?IN，①如圖2，在圖1（隱去MD，AN）的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直徑，所以∠DBE＝90°．∵⊙I與AB相切于點F，所以∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所對的圓周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA?BD＝DE?IF②任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IM＝R+d，IN＝R﹣d（用含R，d的代數(shù)式表示）；（2）請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）請觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1），（2）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；（4）應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm．【分析】（1）直接觀察可得；（2）BD＝ID，只要證明∠BID＝∠DBI，由三角形內(nèi)心性質(zhì)和圓周角性質(zhì)即可得證；（3）應(yīng)用（1）（2）結(jié)論即可；（4）直接代入計算．【解答】解：（1）∵O、I、N三點共線，∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案為：R﹣d；（2）BD＝ID理由如下：如圖3，過點I作⊙O直徑MN，連接AI交⊙O于D，連接MD，BI，BD，∵點I是△ABC的內(nèi)心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID（3）由（2）知：BD＝ID∴IA?ID＝DE?IF∵DE?IF＝IM?IN∴2R?r＝（R+d）（R﹣d）∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr（4）由（3）知：d2＝R2﹣2Rr；將R＝5，r＝2代入得：d2＝52﹣2×5×2＝5，∵d＞0∴d＝故答案為：．22．（11分）綜合與實踐動手操作：第一步：如圖1，正方形紙片ABCD沿對角線AC所在的直線折疊，展開鋪平．在沿過點C的直線折疊，使點B，點D都落在對角線AC上．此時，點B與點D重合，記為點N，且點E，點N，點F三點在同一條直線上，折痕分別為CE，CF．如圖2．第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖3．第三步：在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點C與點F重合，如圖4，展開鋪平，連接EF，F(xiàn)G，GM，ME．如圖5，圖中的虛線為折痕．問題解決：（1）在圖5中，∠BEC的度數(shù)是67.5°，的值是．（2）在圖5中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由；（3）在不增加字母的條件下，請你以圖中5中的字母表示的點為頂點，動手畫出一個菱形（正方形除外），并寫出這個菱形：菱形EMCH或菱形FGCH．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD，由正方形性質(zhì)得∠EAF＝90°，推出∠AEF＝∠AFE＝45°，得出∠BEN＝135°，∠BEC＝67.5°，證得△AEN是等腰直角三角形，得出AE＝EN，即可得出結(jié)果；（2）由正方形性質(zhì)得∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折疊的性質(zhì)得∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD，CM＝CG，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC，得出∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD＝22.5°，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC＝67.5°，由折疊可知MH、GH分別垂直平分EC、FC，得出MC＝ME＝CG＝GF，推出∠MEC＝∠BCE＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝22.5°，∠MEF＝90°，∠GFE＝90°，推出∠CMG＝45°，∠BME＝45°，得出∠EMG＝90°，即可得出結(jié)論；（3）連接EH、FH，由折疊可知MH、GH分別垂直平分EC、FC，同時EC、FC也分別垂直平分MH、GH，則四邊形EMCH與四邊形FGCH是菱形．【解答】解：（1）由折疊的性質(zhì)得：BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠BEN＝135°，∴∠BEC＝67.5°，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵∠AEF＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AE＝EN，∴＝＝；故答案為：