八年級數(shù)學(xué)下冊第十九章矩形、菱形與正方形必考點解析

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶.數(shù)學(xué)家歐幾里得

利用如圖驗證了勾股定理：以直角三角形4%的三條邊為邊長向外作正方形正方形ABED,正

方形BCGF,連接6/,CD,過點C作"L應(yīng)于點/交于點4.設(shè)正方形力。〃的面積為S,正方

形6屐亦的面積為S,長方形/物的面積為￡,長方形防的面積為S,下列結(jié)論：①）BI=CD；

②2SAACD=S「,③$+$=￡，+，；④6+底=M+S」.其中正確的結(jié)論有（）

C.3個D.4個

2、如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,BC=6,面積為21,AB的垂直平分線分別交

4及4（?于點知”，若點尸和點。分別是線段和BC邊上的動點，則PB+PQ的最小值為

)

C.7D.8

3、下列命題是真命題的是（

A.五邊形的內(nèi)角和是720°B.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

C.內(nèi)錯角相等D.對角線互相垂直的四邊形是菱形

4、若菱形的兩條對角線長分別為10和24,則菱形的面積為（）

A.13B.26C.120D.240

5、已知菱形兩條對角線的長分別為8和10,則這個菱形的面積是（）

A.20B.40C.60D.80

6、如圖，平行四邊形46切的邊比1上有一動點￡,連接施，以應(yīng)■為邊作矩形/且邊R7過點

A.在點6從點6移動到點。的過程中，矩形小■期的面積（）

A.先變大后變小B.先變小后變大C.一直變大D.保持不變

7、下列命題正確的是（）

A.若a=〃，貝!]/=必B.四條邊相等的四邊形是正四邊形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形D.如果貝=b

8、如圖，正方形力靦的兩條對角線4C,劭相交于點。，點6在6〃上，且除松，則/力位的度數(shù)

為（）

A.22.5°B.27.5°C.30°D.35°

9、如圖，四邊形/M?是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.當(dāng)口力6切是矩形時，NABC=90°B.當(dāng)。43（力是菱形時，ACVBD

C.當(dāng)儲8（力是正方形時，AC=BDD.當(dāng)（力是菱形時，AB=AC

10、如圖，已知菱形48（力的邊長為2,/%8=60°,則對角線劭的長是（）

I)C

A.1B.4C.2D.6

第n卷（非選擇題7。分）

二、填空題（10小題，每小題4分，共計40分）

1、有一個角是直角的平行四邊形叫做.

矩形是圖形，它有_____條對稱軸.對稱軸分別是經(jīng)過兩組對邊______的兩條直線.

2、將矩形紙片/閱9（48V6。沿過點8的直線折疊，使點月落在a'邊上的點尸處，折痕為8￡（如

圖1）;再沿過點￡的直線折疊，使點。落在座1上的點〃處，折痕為比（如圖2）：再展開紙片（如

圖3）,則圖3中/句笫的大小是

3、如圖，長萬形紙片ABCO,點？，產(chǎn)分別在A8,BC邊上，將紙片沿E尸折疊，使點6落在邊上

的點夕處，然后再次折疊紙片使點尸與點Q重合，點C落在點C，，折痕為G”，若

NC'B'D-ZAB'E=18°,則NEFC=度.

4、如圖，矩形力發(fā)力繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形4須G,連接1交助于點R〃是（T的中點，連

接4%交跖于點。，則下列結(jié)論：①4匕5②ACD2AAEQ；③連接做則國=友的；④若然=

2,,監(jiān)=石，點尸是中點，則如=1.其中，正確結(jié)論有（填序號）.

5、如圖，〃'為正方形徵的對角線，6為〃'上一點，連接用ED,當(dāng)NB￡?=126。時，NED4的度

數(shù)為.

6、長方形紙片A8C。按圖中方式折疊，其中EF,EC為折痕，如果折疊后4,以E在一條直線上，那么

NCEF的大小是度.

7、如圖，在數(shù)軸上，以單位長度為邊長畫一個正方形，點力對應(yīng)的數(shù)是1,以點力為圓心，正方形

對角線46為半徑畫圓，圓與數(shù)軸的交點對應(yīng)的數(shù)是.

B

AI[a)7A、

-3-2-Io123

8、如圖，點4、B、C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點.點〃為平面內(nèi)一個動點.線段48,BC,CD,

力的中點分別為必、N、只Q.在點。的運動過程中，有下列結(jié)論：

①存在無數(shù)個中點四邊形MNPQ是平行四邊形；

②存在無數(shù)個中點四邊形物W0是菱形

③存在無數(shù)個中點四邊形也快。是矩形

④存在無數(shù)個中點四邊形業(yè)W0是正方形

所有正確結(jié)論的序號是

?B

*C

9、(1)定義法：有一組鄰邊并且有一個角是的平行四邊形是正方形.

(2)矩形法：一組鄰邊相等的_______是正方形

(3)菱形法：一個角為直角的是正方形

10、如圖，已知矩形加力中，AD=Z,AB=5,￡是邊％上一點，將“回繞點4順時針旋轉(zhuǎn)得到

使得點〃的對應(yīng)點W落在上，如果。￡的延長線恰好經(jīng)過點6,那么龐的長度等于

三、解答題(5小題，每小題6分，共計30分)

1、將矩形ABCD繞著點、C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG,其中點i?與點6,點。與點，分別是對應(yīng)

點，連接6a

⑴如圖，若點4E,〃第一次在同一直線上，比與應(yīng)交于點"連接BE.

①求證：應(yīng)'平分

②取回的中點P,連接PH,求證：PH//CG.

③若況=2/6=2,求6G的長.

⑵若點4E,〃第二次在同一直線上，BC=2AB=4,直接寫出點〃到眼的距離.

2、如圖，將矩形ABC。沿E/折疊，使⑸點落在AQ邊上的8點處；再將矩形4BCQ沿8G折

疊，使R點落在D點處且80過F點、.

(1)求證：四邊形或'FG是平行四邊形；

(2)當(dāng)NB/E是多少度時，四邊形BEFG為菱形?試說明理由.

3、如圖，四邊形4靦是平行四邊形，延長的，BC,梗得AE=CF,連接班；DF.

(1)求證：匡△如1；

(2)連接BD,若/1=32°,AADB=22°,請直接寫出當(dāng)N4應(yīng)'=°時，四邊形阮宏是菱

形.

4、下面是小石設(shè)計的“作矩形A8CD”的尺規(guī)作圖過程：已知：在RfAABC中，ZABC=90°.

求作：矩形A3CD.

作法：如圖，1.以點B為圓心，AC長為半徑作弧；

2.以點A為圓心，8c長為半徑作弧;

3.兩弧交于點￡）,C、。在AB同側(cè);

4.連接A￡）、CD.

所以四邊形A8CD是矩形.

根據(jù)小石設(shè)計的尺規(guī)作圖過程:

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

⑵完成下面的證明.

證明：連接5。，

BC=（）

在A48C和M4p中，（AC=（）,

AB=BA

:.^ABC^MiAD.

:.ZABC^ZBAD^90°.

:.BCHAD.

四邊形ABC。是平行四邊形（一）（填理論依據(jù)）.

AC=BD,

.??四邊形A8CO是矩形.（—）（填理論依據(jù)）.

5、如圖，在中，戶是a'邊的中點，ZBAPa（a為銳角）.把點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到

點。，旋轉(zhuǎn)角為2a.

(1)在圖中求作以4B,P,〃為頂點的四邊形，使得點。是該四邊形/〃邊的中點；(要求：尺規(guī)作

圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若40=BC,探究直線倒與直線"的位置關(guān)系.

-參考答案-

一、單選題

1、C

【解析】

【分析】

根據(jù)SIS證△46/名即可得證①正確，過點6作BMLIA,交IA的延長線于點M,根據(jù)邊的關(guān)系

得出SAABI=^S”即可得出②正確，過點，作CNLDA交DA的延長線于點N,證S,=￡即可得證③正

確，利用勾股定理可得出S,+￡=￡+$,即能判斷④不正確.

【詳解】

解：①???四邊形/如和四邊形46切都是正方形，

：.AI=AC,AB=AD,NIAC=NBAD=9Q°,

J.ZIAC+ZCAB=ZBAD^rZCAB,

即N"5=N0I〃，

在/XA?/和中,

AI=AC

NIAB=ZCAD,

AB=AD

：.(SAS),

:.BI=CD,

故①正確；

②過點占作BMLIA,交IA的延長線于點M,

二/5必=90°,

?.?四邊形〃是正方形，

：.AI=AC,N0C=90°,S尸AC,

：.￡CAM=^°,

又?：NACB=90°,

：.ZACB=ZCAM=NBMA=90°,

???四邊形4姐。是矩形，

：.BM=AC,

,：SAABI=BM=\AI'AC=IAC=ys,

由①知

：.SAACD=SAABI=^S?

即2s4〃》=S,

故②正確；

③過點C作CNIDA交DA的延長線于點M

.,.zm=90",

???四邊形4("是矩形，

：.ZKAD=ZAKJ=^°,S3=AI>AK,

.../胡｛=/4然=90°,

,NCNA=NNAK=ZAKC=90",

二四邊形力必V是矩形，

：.CN=AK,

二SAACD=\AI>CN=\AD>AK=gS3,

即2S"〃=S,

由②知2sd3S,

?**Si—S3,

在RtZU"中，AF=BC+AC,

??S?+S/=S/+S2,

又：s=s,

S,+S)—￡+S3,

即③正確；

④在中，Bd+A/=Ag,

:.S#S產(chǎn)St+S?,

.e?\]Sl+S2-^Si+S4,

故④錯誤；

綜上，共有3個正確的結(jié)論，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，矩形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股

定理和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2、C

【解析】

【分析】

連接過點D作。根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到R4=P8,nWPB+PQ=AP+PQ>AQ

計算即可；

【詳解】

連接四，過點D作。

VBC=6,ABZ)C面積為21,

：.-.BC-DH=2],

2

DH=1,

?，即垂直平分AB,

,PA=PB,

：.PB+PQ=AP+PQ>AQ,

...當(dāng)40的值最小時，尸8+尸。的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)4。_18(7時?，40的值最小，

,?AD//BC,

：.AQ=DH=J,

.?.PB+PQ的值最小值為7；

故選C.

【點睛】

本題主要考查了四邊形綜合，垂直平分線的性質(zhì)，準確分析計算是解題的關(guān)鍵.

3、B

【解析】

【分析】

利用多邊形的內(nèi)角和公式、三角形的三邊關(guān)系、平行線的性質(zhì)及菱形的判定分別判斷后即可確定正確

的選項.

【詳解】

解：A、五邊形的內(nèi)角和為540°,故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

B、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，正確，是真命題，符合題意；

C、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，

故選：B.

【點睛】

本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解多邊形的內(nèi)角和公式、三角形的三邊關(guān)系、平行線

的性質(zhì)及菱形的判定等知識，難度不大.

4、C

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：?菱形的兩條對角線長分別為10和24,

二菱形的面積為:x10x24=120,

故選：C.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的面積公式.

5、B

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的面積公式求解即可.

【詳解】

解：這個菱形的面積=gxi0X8=40.

故選：B.

【點睛】

本題考查了菱形的面積問題，掌握菱形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

6、I)

【解析】

【分析】

連接力區(qū)根據(jù)=/S矩物JECFRAOE,推出S矩形Z5EGF=$。,即0,由此得到答案.

【詳解】

解：連接

?q—9

??。矩形OEGF一0oABCD，

故選：D.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確連接輔助線451是解題的關(guān)鍵.

7、A

【解析】

【分析】

利用等式的性質(zhì)以及矩形、正方形、菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】

解：4、若4=。，則。3=匕3,故此命題正確；

反四條邊相等的四邊形是菱形，故原命題不正確；

a有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故原命題不正確；

D、如果/=必，aWO時，則a=b,若a=O時，此命題不正確，

故選：A.

【點睛】

本題考查了命題與定理以及等式的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是了解矩形及菱形的判定方法.

8、A

【解析】

【分析】

利用正方形的性質(zhì)證明/覦M5°和BE=BC,進而證明/6叱67.5°.

【詳解】

解：?四邊形/風(fēng)力是正方形，

J.BOAD,/極M5°,

"：BE=AD,

：.BE=BC,

：.ABEOABCE^(180°-45°)4-2=67.5°,

,：ACVBD,

.,.Z<7(95=90°,

.?.N4誨90°-ZBE(=90°-67.5°=22.5°,

故選：A.

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)并加以利用是解決本題的關(guān)鍵.

9、D

【解析】

【分析】

由矩形的四個角是直角可判斷A,由菱形的對角線互相垂直可判斷B,由正方形的對角線相等可判斷

C,由菱形的四條邊相等可判斷D,從而可得答案.

【詳解】

解：當(dāng)口4及力是矩形時，NABC=90：正確，故A不符合題意；

當(dāng)。46(力是菱形時，AC1BD,正確，故B不符合題意；

當(dāng)口4閱9是正方形時，AC=BD,正確，故C不符合題意；

當(dāng)徵是菱形時，AB=BC,故D符合題意；

故選D

【點睛】

本題考查的是矩形，菱形，正方形的性質(zhì)，熟練的記憶矩形，菱形，正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

10、C

【解析】

略

二、填空題

1、矩形軸對稱兩中點

【解析】

略

2、22.5°

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，NA=NEFB=90°,AB=BF,以及紙片16徵為矩形可得，N4EF為直角,進而可

以判斷四邊形力加正為正方形，進而通過//項，/闞的角度計算出/9的大小.

【詳解】

解：由折疊可知△川型△儂，

:.N擊NEFB=90°,AB=BF,

?.?紙片46m為矩形，

：.AE//BF,

...N曲口80°—NBF層90°,

'：AB=BF,NA=NAEF=NE陟90°,

四邊形/孫X"為正方形，

AZAEB=45a,

.'.Z5E9=180°-45°=135°,

龐信135°4-2=67.5°,

:"FEG=67.5°-45°=22.5°.

【點睛】

本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，以及平行的相關(guān)性質(zhì)，能夠?qū)⒄叫闻c矩

形的性質(zhì)相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

3、144

【解析】

【分析】

根據(jù)將紙片沿￡尸折疊，使點8落在邊A￡>上的點8'處，得出N廢'尸/廬90°,NBF&NB'FE,可

得NAB'E+NW月90。根據(jù)四邊形4仇力為矩形，得出/〃〃8a可得NDB2/B'FB=2NEFB,可求

ZABfE=90°-NDB，片90。-2NEFB,根據(jù)做為對稱軸，可得N=，F(xiàn)=ACFB,=180°-

N夕尸廬180°-2NEFB,可得B'2乙C'B'ANFB'/>180°-2/EFB-2/EFB,根據(jù)

ZC'B'D-ZAB'E=180,列方程180°-2ZEFB-2ZEFB-(90°-2ZEFB}=18°,解方程即可.

【詳解】

解：?.?將紙片沿EF折疊，使點占落在邊AD上的點"處，

:.NEB'六NB=90°,NBF斤/B'FE,

:.NAB，E+NDB'490°

:.NAB'E=90°-4DB'F

???四邊形4靦為矩形，

：.AD//BC,

：./DB'廣NB'FB=2ZEFB,

:.NAB'￡=90°-/分戶90°-2NEFB,

?；67/為對稱軸，

：.ACB'六4CFB'=180°-4B'陷180°-24EFB,

，：NC'B'D=NC'B'F4FB'廬180°-2NEFB-24EFB,

'：ZCB'D-ZAB'E=iS0,

.?.180°-2ZEFB-2ZEFB-(900-2/EFB)=18°,

解得N￡7布=36°,

：.ZEFOl800-ZEFB=18QQ-36°=144°.

故答案為144.

【點睛】

本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，補角性質(zhì)，列一元一次方程，掌握折疊性質(zhì)，矩形性

質(zhì)，平行線性質(zhì)，補角性質(zhì)，列一元一次方程是解題關(guān)鍵.

4、①②③④

【解析】

【分析】

A氏AB=CD=FG,AD-EF,A丹AC,ZFA(=90°,即可得到①正確；證明△/碼可以判斷②；由

全等三角形的性質(zhì)可得到無由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到險夜,呢，即③正確；由尸為

的中點，得到MP=MQ=CP=y/5,則叨=PC1-CD1=1，即④正確.

【詳解】

解：如圖，連接AC,PQ,延長此1交a'于從取7W中點〃，連接物/,

?.?矩形ABCD繞點、A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AEFG,

:.A扶AFCAFG,AD-EF,A省AC,/科年90°,ND=/AEgO°,

:M是CF的中點，

：.AM=MOMF,AMVCF,即①正確；

?：4DPO4APM,NDP8NDCS,//月附/切上90°,

NDC六NMAP,

,:AE=CD,ND=NAEgO°,

在△◎)產(chǎn)和△力制中，

'ZDCP=ZEAQ

?CD=AE,

ZD=ZAEQ

：./\CDP^/\AEQ(ASA),即②正確；

C4AQ,

：.MC-CF^AM-AQ,

"：PQ2=MQ2+MP2,

:.P8匣MQ,即③正確；

YP為C"的中點，

/.MP=MQ=CPf,

?：AE=CD=2,

?*-PD-4PC2-CD-=1>即④正確?

故答案為：①②③④.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，矩形

的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

5、18°##18度

【解析】

【分析】

由“S4S”可證△比蹈△比笈可得NCED=NCE六三NBEF63：由三角形的外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】

證明：?.?四邊形業(yè)￡9是正方形，

：.AD=CD=BC=AB,ZDAB=ZBAE=ZDCA^Z^C4=45°,

在△〃龍和△旌'中，

CD=BC

■NBCE=NDCE,

CE=CE

：./\DCE^/\BCE(SAS),

:./CED=/CE吟4BED=63。,

?：NCED=NCA>4ADE,

...N/腔63°-45°=18°,

故答案為：18。.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明4加在△旌'是本題的關(guān)鍵.

6、90

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)，N1=N2,Z3=Z4,利用平角，計算N2+N3的度數(shù)即可.

【詳解】

如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)，N1=N2,N3=N4,

VZ1+Z2+Z3+Z4=18O°,

.?.2/2+2/3=180°,

.'.Z2+Z3=90°,

/.ZCEF=90°,

故答案為：90.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)，兩個角的和，熟練掌握折疊的性質(zhì)，靈活運用兩個角的和是解題的關(guān)鍵.

7、1+夜或1一庭.

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的面積公式得出面積為1,根據(jù)正方形面積公式為對角線46乘積的一半求出正方形的對

角線長，利用點4的位置，得出圓與數(shù)軸的交點對應(yīng)的數(shù)2?「即可.

【詳解】

解：；以單位長度為邊長畫一個正方形，

...正方形面積為1,

：.-AB2=1,

2

...止=&,

???點）在1的位置,

...圓與數(shù)軸的交點對應(yīng)的數(shù)為1+點或1-0.

故答案為1+應(yīng)或i-VL

【點睛】

本題考查數(shù)軸上點表示數(shù)，正方形性質(zhì)，算術(shù)平方根，圖形旋轉(zhuǎn)，掌握數(shù)軸上點表示數(shù)，正方形性

質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)特征是解題關(guān)鍵

8、①②③

【解析】

【分析】

根據(jù)中點四邊形的性質(zhì)：一般中點四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形，

對角線垂線的中點四邊形是矩形，對角線相等且垂直的四邊形的中點四邊形是正方形，由此即可判

斷.

【詳解】

解：???一般中點四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形，對角線垂線的中點

四邊形是矩形，對角線相等且垂直的四邊形的中點四邊形是正方形，

，存在無數(shù)個中點四邊形1用％是平行四邊形，存在無數(shù)個中點四邊形網(wǎng)倒是菱形，存在無數(shù)個中點

四邊形腑閭是矩形.

故答案為：①②③

【點睛】

本題考查中點四邊形，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知識，解題的

關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

9、相等直角矩形菱形

【解析】

略

【解析】

【分析】

如圖，連接砥、BE',根據(jù)矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得：AD'=4>=3,ZAD1E=ND=

90°,利用勾股定理可得劭'=4,再運用等面積法可得：AB-AD=AE'BD',求出4?=:，再運用

勾股定理即可求得答案.

【詳解】

解：如圖，連接四、BE',

,矩形力靦中，49=3,48=5,

：.ZD=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，△/〃'E'4XADE,

：.AD'=4=3,AAD'E=ND=90°,

E'的延長線恰好經(jīng)過點8,

6=90°,

在Rt叢ABD'中，BD'=〃△一心=后"=4,

SAABE^^AB*AD=1AE*BD',

.ABAD5x315

..AE=---；—=----=—,

BD44

在戊中，DE=JAE?—A￡>2=J(5_32=1,

9

故答案為：-

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積，熟練掌握矩形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，會利用

等面積法求解是解答的關(guān)鍵.

三、解答題

1、⑴①見解析；②見解析；③#i

5不2折

⑵

~7

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB=CE,求得/=/,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

/=/，于是得到結(jié)論；

②如圖1,過點B作CE的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到=，求得=，根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得到=,根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；

③如圖2,過點G作BC的垂線，解直角三角形即可得到結(jié)論.

(2)如圖3,連接,過G作1交8C的延長線于P,1交OC的延長線

于N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到==4,==2,解直角三角形得到=1,

=U3,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

⑴

解：①證明：???矩形A8CD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形

???N=N

又?：AD//BC,

:?N=/，

:?N=N，

???平分/;

②證明：如圖1,過點8作CE的垂線

圖1

???平分”11

:.=,

=，

?:N=N=90°,==,N=/

???AA()，

,

即點”是8G中點，

又???點P是8c中點,

//

③解：如圖2,過點G作BC的垂線

ED

圖2

v=2=2,

:.—1,

???/=30°,

???N=90°,

???/=60°,

,?*—==1,

V5_1

二萬’=?

、

...=J?+-=J?2+02-序；

(2)

解：如圖3,連接r>3,，過G作1交BC的延長線于P,1交DC的延長線于

N,

NG

圖3

-2-4,

=2,

?.?將矩形ABC。繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形,

:.==4,==2,

???點A,E,。第二次在同一直線上，

???/=90°,

_1

???N=30°,

:./=60°,

:?N=30°,=2,

=1,=V5,

?**A=△+△+A=5+2\T^,=d=2\l~7^

25/7,2421

.?.=-----A------=—+—■

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，

解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線.

2、（1）見解析；（2）當(dāng)/6/斤60°時，四邊形甌力為菱形，理由見解析

【解析】

【分析】

（1）由題意，N1=/,結(jié)合/I=/，得=,同理可得

=，即=，結(jié)合〃，依據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形應(yīng)R7是

平行四邊形；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得=，結(jié)合（1）中結(jié)論得出△為等邊三角形，依據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)及（1）中結(jié)論即可求出角的大小.

【詳解】

證明：(1)1////'

：.NI=/.

又,：N1=N，

，/=/.

同理可得：=

??-9

又：//，

，四邊形6甌;是平行四邊形；

(2)當(dāng)/；=60。時，四邊形笛窈為菱形.

理由如下：

???四邊形%R7是菱形，

=，

由(1)得：=,

為等邊三角形，

=/=60°,

：.Z1=60°.

【點睛】

題目主要考查平行四邊形和菱形的判定定理和性質(zhì)，矩形的折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握

特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3、(1)見解析；(2)12

【解析】

【分析】

(1)由“+S”可證△力嶼△如'；

(2)通過證明小應(yīng)1,可得結(jié)論.

【詳解】

證明：(1):四邊形4及力是平行四邊形，

：.AB=CD,NBAD=NBCD,

：.Al=ADCF,

在△?!應(yīng)1和△心!圻中，

:?△ABE^^CDFQSASX

(2)