中學數學教學設計獲獎作品《等差數列》一、教學內容分析本節課是《一般中學課程標準試驗教科書·數學5》（人教版）其次章數列其次節等差數列第一課時。數列是中學數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數列作為一種特別的函數與函數思想密不行分；另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好打算。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的學問進一步深化和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列供應了“聯想”、“類比”的思想方法。二、學生學習狀況分析我所教學的學生是我校高二（2）班的學生，經過一年的學習，大部分學生學問閱歷已較為豐富，他們的智力發展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維實力和演繹推理實力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的愛好還不是很濃，所以我在授課時留意從詳細的生活實例動身，留意引導、啟發、探討和探討以符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維實力的進一步發展。三、設計思想1．教法⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對學問進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和主動性，發揮其創建性。⑵分組探討法：有利于學生進行溝通，剛好發覺問題，解決問題，調動學生的主動性。⑶講練結合法：可以剛好鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。2．學法引導學生首先從四個現實問題（數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數組特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式；可以對各種實力的同學引導相識多元的推導思維方法。用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯想、探究，同時激勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和須要解決的問題弄清。四、教學目標通過本節課的學習使學生能理解并駕馭等差數列的概念，能用定義推斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數列的公差及通項公式，能在解題中敏捷應用，初步引入“數學建模”的思想方法并能運用；并在此過程中培育學生視察、分析、歸納、推理的實力，在領悟函數與數列關系的前提下，把探討函數的方法遷移來探討數列，培育學生的學問、方法遷移實力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的實力。在解決問題的過程中培育學生主動探究、勇于發覺的求知精神；使學生相識事物的改變形態，養成細心視察、仔細分析、擅長總結的良好思維習慣。并通過肯定的實例激發同學們的民族驕傲感和愛國熱忱。五、教學重點與難點重點：①等差數列的概念。②等差數列的通項公式的推導過程及應用。難點：①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。②理解等差數列是一種函數模型。關鍵：等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。六、教學過程教學環節情境設計和學習任務學生活動設計意圖創設情景上節課我們學習了數列。在日常生活中，人口增長、教化貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都須要用到有關數列的學問來解決。今日我們就先學習一類特別的數列。傾聽課堂引入探究探討由學生視察分析并得出答案：在現實生活中，我們常常這樣數數，從0起先，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，___,___,___,___,…2000年，在澳大利亞悉尼實行的奧運會上，女子舉重被正式列為競賽項目。該項目共設置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清理水庫的雜魚。假如一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從起先放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。依據單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么依據單利，5年內各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360各年末的本利和（單位：元）組成了數列：10072，10144，10216，10288，10360。視察分析，發表各自的看法引向課題發覺規律思索：同學們視察一下上面的這四個數列：0，5，10，15，20，……①48，53，58，63②18，15.5，13，10.5，8，5.5③10072，10144，10216，10288，10360④看這些數列有什么共同特點呢？視察分析并得出答案:引導學生視察相鄰兩項間的關系，得到：對于數列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列③，從第2項起，每一項與前一項的差都等于-2.5；對于數列④，從第2項起，每一項與前一項的差都等于72；由學生歸納和概括出，以上四個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點）。通過分析，激發學生學習的探究學問的愛好，引導揭示數列的共性特點。總結提高[等差數列的概念]對于以上幾組數列我們稱它們為等差數列。請同學們依據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：等差數列：一般地，假如一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。學生仔細閱讀課本相關概念，找出關鍵字。通過學生自己閱讀課本，找出關鍵字，提高學生的閱讀水平和思維概括實力，學會抓重點。提問：假如在與中間插入一個數A，使，A，成等差數列數列，那么A應滿意什么條件？由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數列，那么由定義可以知道：A-a=b-A所以就有讓學生參加到學問的形成過程中，獲得數學學習的成就感。由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡潔的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項。不難發覺，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。看來，從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q則深化探究，得到更一般化的結論引領學習更深化的探究，提高學生的學習水平。總結提高[等差數列的通項公式]對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。⑴、我們是通過探討數列的第n項與序號n之間的關系去寫出數列的通項公式的。下面由同學們依據通項公式的定義，寫出這四組等差數列的通項公式。由學生經過分析寫出通項公式：①這個數列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到這個數列的通項公式是②這個數列的第一項是48，第2項是53（=48+5），第3項是58（=48+5×2），第4項是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是③這個數列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第3項是13（=18-2.5×2），第4項是10.5（=18-2.5×3），第5項是8（=18-2.5×4），第6項是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個數列的通項公式是④這個數列的第一項是10072，第2項是10144（=10172+72），第3項是10216（=10072+72×2），第4項是10288（=10072+72×3），第5項是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個數列的通項公式是學會發覺規律，并加以總結。⑵、那么，假如隨意給了一個等差數列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？引導學生依據等差數列的定義進行歸納：所以……引導學生進行理性分析與推導，從而得出公式。總結提高思索：那么通項公式究竟如何表達呢？……進一步的分析。得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數列的通項公式為也就是說，只要我們知道了等差數列的首項和公差d，那么這個等差數列的通項就可以表示出來了。思索，并發表各自的看法。讓學生有自主思索的時空。應用鞏固例1、⑴求等差數列8，5，2，…的第20項.⑵-401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項？假如是，是第幾項？讓兩個學生分別對這兩小題加以分析。讓學生參加課堂。分析：⑴要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還須要知道的是該等差數列的公差，由公差的定義可以求出公差；⑵這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要推斷這個數是不是數列中的項，就是要看它是否滿意該數列的通項公式，并且須要留意的是，項數是否有意義。解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數列的通項公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數n,使得-401=-4n-1成立。解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數列的第100項。例題評述：從該例題中可以看出，等差數列的通項公式其實就是一個關于、、d、n（獨立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來推斷所給的數是不是數列中的項，當推斷是第幾項的項數時還應看求出的項數是否為正整數，假如不是正整數，那么它就不是數列中的項。傾聽老師點評通過老師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。隨堂練習：課本45頁“練習”第1題；完成練習講練結合，有利提高學生的學問應用水平例2．某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。假如某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，須要解：依據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客須要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數列來計算車費.令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時須要支付車費答：須要支付車費23.2元。學以致用，將所學學問應用到詳細生活中去，加深對概念的理解。例題評述：這是等差數列用于解決實際問題的一個簡潔應用，要學會從實際問題中抽象出等差數列模型，用等差數列的學問解決實際問題。傾聽老師點評通過老師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。隨堂練習：課本45頁“練習”第2題；完成練習講練結合，有利提高學生的學問應用水平例3已知數列的通項公式為其中p、q為常數，且p≠0，那么這個數列肯定是等差數列嗎？分析思索，然后分組探討，讓兩組學生代表發表自己的見解。培育學生分析問題的實力，在小組探討中提高組長的組織與歸納組內成員想法的實力。分析：判定是不是等差數列，可以利用等差數列的定義，也就是看（n＞1）是不是一個與n無關的常數。解：取數列中的隨意相鄰兩項（n＞1），求差得它是一個與n無關的數.所以是等差數列。課本左邊“旁注”：這個等差數列的首項與公差分別是多少？這個數列的首項公差。由此我們可以知道對于通項公式是形如的數列，肯定是等差數列，一次項系數p就是這個等差數列的公差，首項是p+q.例題評述：通過這個例題我們知道推斷一個數列是否是等差數列的方法：假如一個數列的通項公式是關于正整數n的一次型函數，那么這個數列必定是等差數列。對所得結論進行更深化一步的探究，激發學生的學習愛好。探究探討引導學生動手畫圖探討完成以下探究：⑴在直角坐標系中，畫出通項公式為的數列的圖象。這個圖象有什么特點？⑵在同一個直角坐標系中，畫出函數y=3x-5的圖象，你發覺了什么？據此說一說等差數列與一次函數y=px+q的圖象之間有什么關系。分析：⑴n為正整數，當n取1，2，3，……時，對應的可以利用通項公式求出。經過描點知道該圖象是勻稱分布的一群孤立點；⑵畫出函數y=3x-5的圖象一條直線后發覺數列的圖象（點）在直線上，數列的圖象是改一次函數當x在正整數范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論：等差數列的圖象是一次函數y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數集上對應的點的集合。該處還可以引導學生從等差數列中的p的幾何意義去探究。學生動手畫圖，并進行學習小組探討，發表見解。通過學生動手作圖，并加以對比，讓學生體會數列與函數的內在關系。課堂小結本節主要內容為：①等差數列定義：即(n≥2)②等差數列通項公式：(n≥1)推導出公式：以學習小組為單位，在學習小組中，各自歸納自己對這堂課的收獲，后由小組代表總結歸納。學生自己小結，使學生對自己所學學問有更深刻的相識。評價設計1、已知是等差數列.⑴是否成立？呢？為什么？⑵是否成立？據此你能得出什么結論？是否成立？據此你又能得出什么結論？2、已知等差數列的公差為d.求證：作業是課堂的持續，除了檢驗學生對本節課學問的理解程度，還在于引導學生對本課學問的進一步探究，讓學生在更大的深度與廣度之間進行思索。七、教學反思本節課通過生活中一系列的實例讓學生視察，從而得出等差