備戰2018中考系列：熬考2耳中老1耳模也

第四篇圖形的性質

專題25尺規作圖

b斛維得點

矢口識點名師點晴

尺規作

尺規作圖概念了解什么是尺規作圖

圖

1.畫一條線段等于已知線段

五種基

2.畫一個角等于已知角

本作圖會用尺規作圖法完成五種基本作圖，了解五種基本作圖的理

3.畫線段的垂直平分線由，會使用精練、準確的作圖語言敘述畫圖過程.

4.過已知點畫已知直線的垂線

5.畫角平分線

會利用1.畫三角形

會利用基本作圖畫三角形較簡單的圖形.

基本作

圖畫較

簡單的

2.畫圓會利用基本作圖畫圓.

圖形.

b2年中老

[2017年題組】

一、選擇題

1.（2017廣東省深圳市）如圖，已知線段A8,分別以A、8為圓心，大于L&8為半徑作弧，連接弧的交

2

點得到直線/,在直線/上取一點C,使得/CAB=25°,延長AC至求NBCM的度數為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B.

【解析】

試題分析：二,由作法可知直線/是線段.43的垂直平分線，.：40=3（7,.,./C45=/CA4=25°,二々。%

ZC4B+ZCBA=25°+25°=50°.故選B.

考點：1.作圖一基本作圖；2.線段垂直平分線的性質.

2.（2017衢州）下列四種基本尺規作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一

條線段的垂直平分線；④過直線外一點尸作已知直線的垂線，則對應選項中作法錯誤的是（）

【答案】C.

【解析】

試題分析：①作一個角等于已知角的方法正確；

②作一個角的平分線的作法正確；

③作一條線段的垂直平分線缺少另一個交點，作法錯誤;

④過直線外一點P作已知直線的垂線的作法正確.

故選C.學科~網

考點：作圖一基本作圖.

3.（2017湖北省宜昌市）如圖，在中，尺規作圖如下：分別以點E,點尸為圓心，大于上所的長為

2

半徑作弧，兩弧相交于G,〃兩點，作直線GH,交EF于點、O,連接AO,則下列結論正確的是（）

A.AO平分NEAPB.AO垂直平分EEC.GW垂直平分EFD.G8平分AF

【答案】C.

【解析】

試題分析：由題意可得，GH垂直平分線段EE故選C.

考點：1.作圖一基本作圖；2.線段垂直平分線的性質.

4.（2017湖北省襄陽市）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=4,以點C為圓心，C8長為半

徑作弧，交AB于點D；再分別以點8和點。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點E,作射

2

線CE交AB于點F,則AF的長為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B.

【解析】

試題分析：連接C。，?.?在△ABC中，ZACB=9Q°,ZA=30°,BC=4,：.AB=2BC=S.

:作法可知2C=CD=4,CE是線段8。的垂直平分線，，（刀是斜邊AB的中線，.?.2。=4￡）=4,.,.3/=。/=2,

AF=AD+DF=4+2=6.故選B.

考點：1.作圖一基本作圖；2.含30度角的直角三角形.

5.（2017山東省東營市）如圖，在％8C。中，用直尺和圓規作NBA。的平分線AG交BC于點E.若848,

AB=5,則的長為（）

D.12

【答案】B.

【解析】

試題分析：連結E尸,.二與B尸交于點。，...四邊形.二8是平行四邊形，/5=.45，二四邊形43即是菱形,

：..4E1BF,OB=-BF=4,OA=-.4E.\\4B=5,在放A』OB中，J0=725-16=3,：..4E=24O=6.故選B.

二、填空題

6.（2017北京市）圖1是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規作圖過程

已知：RtAABC,ZC=90°,求作K/ZVIBC的外接圓.

作法：如圖2.

（1）分別以點A和點B為圓心，大于工的長為半徑作弧，兩弧相交于P,Q兩點;

2

（2）作直線尸。交A8于點。；

（3）以。為圓心，。4為半徑作。O.。。即為所求作的圓.

請回答：該尺規作圖的依據是___________________________________________________________

【答案】到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；90°的圓周角所的弦是直徑.

【解析】

試題分析：該尺規作圖的依據是到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兜°的圓周角

所的弦是直徑.

故答案為：到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；90。的圓周角所的弦是直徑.

考點：1.作圖一復雜作圖；2.三角形的外接圓與外心；3.作圖題.

7.（2017四川省自貢市）如圖，13個邊長為」的小正方形，排列形式如圖，把它們分割，使分割后能拼成

一個大正方形.請在如圖所示的網格中（網格的邊長為1）中，用直尺作出這個大正方形.

【答案】答案見解析.

【解析】

試題分析：解：如圖所示：所畫正方形即為所求.

考點：作圖一應用與設計作圖.

8.（2017天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,B,C均在格點上.

（1）AB的長等于—；

（2）在△ABC的內部有一點P,滿足SAPSAPS"CA=1：2：3,請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺，畫

出點P,并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）

【答案】（1）V17；（2）答案見解析.

【解析】

試題分析：（1）—+.故答案為：后.

<2）如圖如與網格相交，得到點。、E,取格點尸，連接用并且延長，與網格相交，得到跖N,G.連

接DV,EM,DG,QV與EM相交于點P,點P即為所求.

理由：平行四邊形的面積：平行四邊形CDNB的面積：平行四邊形。EMG的面積=1：2：3,/\PAB

的面積=4平行四邊形A2ME的面積，4PBC的面積=」平行四邊形CDNB的面積，4c的面積=Z\PNG

22

的面積=Lz\￡）GN的面積平行四邊形￡>EMG的面積，...S"SAPSAPCA=1：2：3.

22

考點：1.作圖一應用與設計作圖；2.勾股定理；3.綜合題.

9.（2017湖北省荊州市）如圖，在5義5的正方形網格中有一條線段A8,點A與點8均在格點上.請在這

個網格中作線段A3的垂直平分線.要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作圖

痕跡.

【答案】作圖見解析.

【解析】

試題分析：如圖所示，直線。。’即為所求.

考點：1.作圖一應用與設計作圖；2.線段垂直平分線的性質.

10.（2017湖南省邵陽市）如圖所示，已知NAO8=40°,現按照以下步驟作圖：

①在。4,OB上分別截取線段。。，OE,使OD=OE；

②分別以E為圓心，以大于的長為半徑畫弧，在NAOB內兩弧交于點C；

2

③作射線OC.

則ZAOC的大小為.

【答案】20。.

【解析】

試題分析：：由作法可知，0c是/AOB的平分線，.?./AOC=LNAO8=20°.故答案為：20°.

2

考點：作圖一基本作圖.學科#網

11.（2017遼寧省鞍山市）如圖，在243C。中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，

2

兩弧相交于N兩點，作直線MN,分別交A。，BC于點E,F,連接AFZB=50°,ND4c=30°,則

ZBAF等于.

【解析】

試題分析：；四邊形.4BCD是平行四邊形，,且.,.NA4D=180°-NB=130°,乙4g/C4D=30°,

由作圖痕跡可知W是/C的垂直平分線，，但CF,「./C但4630°,「.N5.眸NE4D-NC4D-

NG370°.故答案為：70。.

考點：1.作圖一基本作圖；2.線段垂直平分線的性質.

三、解答題

12.（2017山東省青島市）已知：四邊形A8C￡>.

求作：點、P,使且點P到邊和CD的距離相等.

【答案】作圖見解析.

【解析】

試題分析：根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知：到邊和CD的距離相等的點在NAOC的平

分線上，所以第一步作NADC的平分線。E,要想滿足NPa=N8,則作C尸〃AB,得到點P.

試題解析：作法：①作NAOC的平分線。E,②過C作“〃A8,交。E于點P,則點P就是所求作的點；

FD

A

考點：1.作圖一基本作圖；2.角平分線的性質.

13.（2017廣東省）如圖，在△ABC中，ZA>ZB.

（1）作邊AB的垂直平分線DE,與AB,BC分別相交于點。，E（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫

作法）；

（2）在（1）的條件下，連接AE,若N8=50°,求NAEC的度數.

【答案】（1）作圖見見解析；（2）100°.

【解析】

試題分析：（D根據題意作出圖形即可；

（2）由于DE是一鋁的垂直平分線，得到根據等腰三角形的性質得到/即=4=50。，由三角形

的外角的性質即可得到結論.

試題解析：（1）如圖所示；

(2)是A3的垂直平分線，：.AE=BE,：.ZEAB=ZB=50°,AZAEC^ZEAB+ZB=100°.

考點：1.作圖一基本作圖；2.線段垂直平分線的性質.

14.（2017廣東省廣州市）如圖，在Rf/XABC中，ZB=90°,ZA=30°,AO26.

（1）利用尺規作線段AC的垂直平分線。E,垂足為E,交AB于點。，（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若△AOE的周長為“，先化簡T=（a+1）2—a（a—1）,再求T的值.

【答案】（1）作圖見解析；（2）10+373.

【解析】

試題分析：（D根據作已知線段的垂直平分線的方法，即可得到線段.4C的垂直平分線DE;

（2）根據放AIDE中，4=30°,AE=^3,即可求得a的值，最后化簡T=（a+1/一a（a-l）,再求T

的值.

試題解析：（1）如圖所示，OE即為所求；

(2)由題可得，AE=-AC=j3,ZA=30°,中，DE=-AD,設則A￡)=2x,.,.RtAADE

22

中，x2+(A/3)2=(2x)2,解得尤=1,.?.△ADE的周長a=l+2+J^=3+逝，=7=(。+1)——a(a—1)=3a+l,

.,.當a=3+V§'時，T=3(3+逝)+1=10+3^3.

考點：1.作圖一基本作圖；2.含30°度角的直角三角形.

15.（2017廣西貴港市）尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）:

已知線段。和點/在08上（如圖所示）.

（1）在。4邊上作點P,使OP=2a；

（2）作/AO8的平分線；

（3）過點M作OB的垂線.

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）作圖見解析.

【解析】

試題分析：（1）在。/上截取O4即可求出點P的位置；

（2）根據角平分線的作法即可作出乙405的平分線；

（3）以M為圓心，作一圓與身旅戔CB交于兩點，再以這兩點分別為圓心，作兩個相等半徑的圓交于。點,

連接即為的垂線；

試題解析：（1）點尸為所求作；

（2）0c為所求作；

（3）為所求作；

考點：作圖一復雜作圖.

16.（2017南京）“直角”在初中幾何學習中無處不在.

如圖，已知乙4。2,請仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷是否為直角（僅限用直尺和圓規）.

小麗的方法

如圖，在0aOB上分別取

點C,D,以C為國心，CD長為

半徑畫弧，交0B的方向延長

線于點E,若0E=0D則

zAOB=90°.

DB

【答案】答案見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理的逆定理，可得答案；

（2）根據圓周角定理，可得答案.

試題解析：（D如圖1,在。4,。3上分別，截取。CM,0D=3,若CD的長為5,則乙4陰90°；

B.

CA

圖1

（2）如圖2,在。4,。2上分別取點C,D,以CD為直徑畫圓，若點。在圓上，則NAO2=90°.

B\

圖2

考點：1.作圖一復雜作圖；2.勾股定理的逆定理；3.圓周角定理.學科%網

17.（2017江蘇省無錫市）如圖，已知等邊△ABC,請用直尺（不帶刻度）和圓規，按下列要求作圖（不要

求寫作法，但要保留作圖痕跡）：

（1）作△ABC的外心0；

（2）設。是邊上一點，在圖中作出一個正六邊形。EFGH/,使點尸，點”分別在邊BC和AC上.

A

D.

BC

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.

【解析】

試題分析：（D根據垂直平分線的作法作出凡5,.4C的垂直平分線交于點。即為所求；

（2）過。點作5c交HC于/,分別以/為圓心，龍長為半徑作圓弧交.45于E,交AC于H,過E

點作EFIIAC交BC于F,過H點作HGII.45交5c于G,六邊形的唱印即為所求正六邊形.

試題解析：3）如圖所示：點。即為所求.

BC

（2）如圖所示：六邊形。瓦即為所求正六邊形.

考點：1.作圖一復雜作圖；2.等邊三角形的性質；3.三角形的外接圓與外心.

18.（2017江蘇省鹽城市）如圖，△ABC是一塊直角三角板，且/C=90°,ZA=30°,現將圓心為點。的

圓形紙片放置在三角板內部.

（1）如圖①，當圓形紙片與兩直角邊AC、8C都相切時，試用直尺與圓規作出射線CO；（不寫作法與證明，

保留作圖痕跡）

（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9,圓形紙片的

半徑為2,求圓心。運動的路徑長.

A

圖①圖②

【答案】（1）作圖見解析；（2）15+73.

【解析】

試題分析：3）作4C5的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心。，作射線C。即可；

<2）添加如圖所示輔助線，圓心。的運動路徑長為QQQ,先求出入45c的三邊長度，得出其周長，證

四邊形。即5、四邊形015HG、四邊形。5Z尸均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出/。。。=60。=

Z.4BC./。心6=90。，從而知A。。15s△CB.4,利用相似三角形的性質即可得出答案.

試題解析：（D如圖①所示，射線。。即為所求；

（2）如圖2,圓心。的運動路徑長為CAOOQ,，過點。1作OiDLBC、OiF±AC.OiG±AB,垂足分別為點

。、F、G,過點。作OELBC,垂足為點E,連接。28,過點。2作QHLAB，O2/±AC,垂足分別為點〃、

I,在中，ZACB=90°、ZA=30°,AC=-BC—=-^=9A/3,AB=2BC=i8,ZABC=60°,

tan30V3

T

CAABC=9+90+18=27+96，：0Q_L8C、OiG±AB,：.D,G為切點，:.BD=BG,在4△。/。和及△

。山G中，?:BD=BG,OiB=OiB,；.AOiBD學4O1BG(HL),：.ZOiBG=ZOiBD=30°,在4△QB。中,

ZOiDB=90°,ZOiBD=30°,:.BD=-=^-=2A/3,：.OOI=9-2-26=7-，：OQ=OE=2,

tan30V3

T

OjD±BC,OE±BC,：.OiD//OE,且OQ=OE,.,.四邊形。￡￡>Oi為平行四邊形，,.?/。區>=90°,四邊

形OMQ為矩形，同理四邊形OIO2〃G、四邊形。。2用、四邊形OECP為矩形，又OE=OF,...四邊形OECF

為正方形，"：ZOIGH=ZCDO!=90O,ZABC=6Q°,：.ZGOiD=120°,又：//0。=/02。々=90°,

Z(90102=360°-90°-90°=60°=ZABC，同理，/OIOO2=90°,/.△OO1O2s△CBA,：.

C

AOO,O2即Goqo7_23二0=15+6，即圓心。運動的路徑長為15+百.

C^cBC27+969A°01°2

考點：1.軌跡；2.切線的性質；3.作圖一復雜作圖；4.綜合題.學科…網

19.（2017江西省）如圖，已知正七邊形ABCDEFG,請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖.

（1）在圖1中，畫出一個以A8為邊的平行四邊形;

（2）在圖2中，畫出一個以AF為邊的菱形.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【解析】

試題分析：(1)連接ARBE、CG,CG交AF于M,交BE于N.四邊形ABNM是平行四邊形.

(2)連接AF、DF,/延長0c交的延長線于M,四邊形AFDM是菱形.

試題解析：(1)連接ARBE、CG,CG交AF于交BE于N.四邊形ABNM是平行四邊形.

(2)連接A3DF,N延長。C交的延長線于四邊形是菱形.

考點：1.作圖一復雜作圖；2.平行四邊形的性質；3.菱形的性質.

20.(2017浙江省溫州市)在直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都為整數的點稱為整點，記頂點都是整點的

三角形為整點三角形.如圖，已知整點A(2,3),B(4,4),請在所給網格區域(含邊界)上按要求畫整

點三角形.

(1)在圖1中畫一個△外2,使點尸的橫、縱坐標之和等于點A的橫坐標；

(2)在圖2中畫一個△B4B,使點P,B橫坐標的平方和等于它們縱坐標和的4倍.

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.

【解析】

試題分析：3）設P（x,v）,由題意.內=2,求出整數解即可解決問題；

<2）設P（x,y）,由題意x2+42=4（4+y）,求出整數解即可解決問題；

試題解析：（D設p（X,v）,由題意r?尸2,「.P（2,0）或3,1）或（0,2）不合題意舍棄，△段如

圖所示.

考點：作圖一應用與設計作圖.

21.（2017貴州省六盤水市）如圖，MN是。。的直徑，MN=4,點A在。。上，/AMN=30°,8為⑷V的

中點，P是直徑上一動點.

（1）利用尺規作圖，確定當B4+PB最小時P點的位置（不寫作法，但要保留作圖痕跡）.

（2）求出+PB的最小值.

【答案】（1）作圖見解析；（2）272.

【解析】

試題分析：（1）作點A關于MN的對稱點A',連接A'B,與MN的交點即為點P；

（2）由（1）可知，B4+PB的最小值即為A'8的長，連接。V、OB、OA,先求乙4'OB=ZA'ON+N

BON=600+30°=90°,再根據勾股定理即可得出答案.

試題解析：（1）如圖1所示，點尸即為所求；

（2）由（1）可知，E4+P2的最小值即為A'8的長，連接。V、OB、OA,VA7點為點A關直線MN的

對稱點，/AMN=30°,：.ZAON=ZA'ON=2ZAMN=2X30°=60°,又為4V的中點，:.AB=BN,

：.ZBON=ZAOB=-ZAON^-X60°=30°,AZA'OB=/A'ON+ZBON=60°+30°=90°,又,：MN=4,

22

：.OA'=OB=-MN=-X4=2,Rt/\A'。2中，A'B=y/22+22=20,即%+尸2的最小值為2忘.

考點：1.作圖一復雜作圖；2.圓周角定理；3.軸對稱-最短路線問題；4.最值問題；5.動點型.

22.（2017黑龍江省哈爾濱市）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段A2的兩個端點均在小正

方形的頂點上.

（1）在圖中畫出以為底、面積為12的等腰△ABC,且點C在小正方形的頂點上；

3

（2）在圖中畫出平行四邊形A8DE,且點。和點E均在小正方形的頂點上，加,連接CD,請

2

直接寫出線段C。的長.

【答案】（1）作圖見解析；（2）y/26.

【解析】

試題分析：（D因為.45為底、面積為12的等艘ZU5C,所以高為4,點C在線段.45的垂直平分線上，由

此即可畫出圖形；

3

（2）扇形根據以M/EA3=:的值確定點￡的位置，由此即可解決問題，利用勾股定理計算8的長；

2

試題解析：（1）入鋁。如圖所示；

（2）平行四邊形ABOE如圖所示，CD=A/12+52=A/26.

考點：1.作圖一應用與設計作圖；2.勾股定理；3.平行四邊形的判定；4.解直角三角形.

[2016年題組】

一、選擇題

1.（2016云南省曲靖市）如圖，C,E是直線/兩側的點，以C為圓心，CE長為半徑畫弧交/于A,B兩點,

又分別以A,8為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點。，連接CA,CB,CD,下列結論不一定

2

正確的是（）

A.CDLlB.點A,8關于直線對稱

C.點C,。關于直線/對稱D.C。平分NACB

【答案】C.

【分析】利用基本作圖可對A進行判斷；利用CO垂直平分A8可對8、。進行判斷；利用AC與不一

定相等可對C進行判斷.

【解析】由作法得垂直平分.45,所以.4、B選項正確；

因為8垂直平分.45,所以G4=CB,所以CD平分N4CB,所以D選項正確；

因為.4D不一定等于AD,所以C選項錯誤.

故選C.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；

作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）.

考點：1.作圖一基本作圖；2.線段垂直平分線的性質；3.軸對稱的性質；4.作圖題.

2.（2016河北省）如圖，已知鈍角△A8C,依下列步驟尺規作圖，并保留作圖痕跡.

步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫弧①；

步驟2：以8為圓心，8A為半徑畫弧②，交弧①于點D；

步驟3：連接AD,交延長線于點X.

A.即/垂直平分線段A。B.AC平分NR4O

C.SAABLBC。AHD.AB—AD

【答案】A.

【分析】根據已知條件可知直線8c是線段的垂直平分線，由此一一判定即可.

【解析】.4.正確.如圖連接CD、BD,-：C4=CDf5.4=3。，.?.點C、點3在線段.4。的垂直平分線上，二

直線5c是線段⑷?的垂直平分線，故/正確.

B.錯誤.CA不一定平分N5D.4.

C.錯誤.應該是SUB*；5cTH.

D.錯誤.根據條件."不一定等于，X

故選A.

【點評】本題考查作圖-基本作圖、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是掌握證明線段垂直平

分線的證明方法，屬于基礎題，中考常考題型.

考點：1.作圖一基本作圖；2.線段垂直平分線的性質.

3.（2016浙江省麗水市）用直尺和圓規作放△48C斜邊4B上的高線C。，以下四個作圖中，作法錯誤的是

（）

【答案】D.

【分析】根據過直線外一點作已知直線的垂線作圖即可求解.

【解析】從根據垂徑定理作圖的方法可知，8是五公45c斜邊.45上的高線，不符合題意；

B.根據直徑所對的圓周角是直角的方法可知，8是以Z33C斜邊.43上的高線，不符合題意；

C.根據相交兩圓的公共弦的性質可知，CD是版斜邊."上的高線，不符合題意；

D.無法證明8是放A45C斜邊AB上的高線，符合題意.

故選D.

【點評】考查了作圖-復雜作圖，關鍵是熟練掌握作過直線外一點作已知直線的垂線的方法.

考點：作圖一復雜作圖.

4.（2016湖北省宜昌市）任意一條線段￡/，其垂直平分線的尺規作圖痕跡如圖所示.若連接E//、HF、

FG,GE,則下列結論中，不一定正確的是（）

A.△EGH為等腰三角形B.AEGF為等邊三角形

C.四邊形為菱形D.為等腰三角形

【答案】B.

【分析】根據等腰三角形的定義、菱形的定義、等邊三角形的定義一一判斷即可.

【解析】.4.正確.，方華即，.?.△EGE是等邊三角形.

B.錯誤...?EC*GF,尸G是等腰三角形，若AEAG是等邊三角形，則*EG,顯然不可能.

C.正確....EGME跖印三尸G,...四邊形EH尸G是菱形.

D.正確.二方除尸H,尸H是等邊三角形.

故選B.

、?:：、G

、*

?Y、u

【點評】本題考查線段的垂直平分線的性質、作圖-基本作圖、等腰三角形的定義等知識，解題的關鍵是

靈活一一這些知識解決問題，屬于中考常考題型.

考點：L作圖一基本作圖；2.線段垂直平分線的性質.

5.（2016福建省莆田市）如圖，在平面直角坐標系中，點A（0,2）,在x軸上任取一點M,完成以下作

圖步驟：

①連接AM.作線段AM的垂直平分線/i,過點M作x軸的垂線已，記A，/2的交點為尸；

②在龍軸上多次改變點"的位置，用①的方法得到相應的點P,把這些點用平滑的曲線順次連接起來，得

到的曲線是（）

2V4(O,2)

x

A.直線B.拋物線C.雙曲線D.雙曲線的一支

【答案】B.

【分析】按照給定的作圖步驟作圖，根據圖形中曲線的特征即可得出該曲線為拋物線.

【解析】根據作圖步驟作圖，如圖所示.

由此即可得出該曲線為拋物線.

故選B.

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、線段的垂直平分線的性質以及基本作圖，解題的關鍵

是按照給定的作圖步驟完成作圖.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，熟悉各曲線的圖形是

關鍵.學.科.網

考點：1.二次函數圖象上點的坐標特征；2.線段垂直平分線的性質；3.作圖一基本作圖.

6.（2016福建省漳州市）下列尺規作圖，能判斷是△ABC邊上的高是（）

【答案】B.

【分析】過點A作的垂線，垂足為。，則即為所求.

【解析】過點A作的垂線，垂足為故選B.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何

圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質

把復雜作圖拆解成基本作圖

考點：作圖一基本作圖.

二、填空題

7.（2016北京市）下面是“經過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規作圖過程：

已知:直線/和/外一點P.（如圖1）

求作：直線/的垂線，使它經過點尸.

作法：如圖2

（1）在直線/上任取兩點A,B；

（2）分別以點A,B為圓心，AP,BP長為半徑作弧，兩弧相交于點。；

（3）作直線PQ.

所以直線P。就是所求的垂線.

請回答：該作圖的依據是.

【答案】到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上（4B都在線段的垂直平分線上）.

【分析】只要證明直線A8是線段尸。的垂直平分線即可.

【解析】到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上（/、5都在線段的垂直平分線上），理

由：如圖，；以=PQ,PB=PB,...點.4、點5在線段P。的垂直平分線上，...直線45垂直平分線段尸。，

.?.PQ1.45.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，解題的關鍵是理解到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分

線上，屬于中考常考題型.

考點：作圖一基本作圖.

8.（2016吉林省）如圖，已知線段AB,分別以點A和點8為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交

2

于C、。兩點，作直線C。交AB于點E,在直線上任取一點R連接物，FB.若吊=5,則必=.

【答案】5.

【分析】根據線段垂直平分線的作法可知直線CD是線段AB的垂直平分線，利用線段垂直平分線性質即可

解決問題.

【解析】由題意直線8是線段乂5的垂直平分線，...點尸在直線CD上，二月4=尸5,\^4=5,：.FB=5.

D

【點評】本題考查基本作圖、線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的作法，利用線

段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等解決問題，屬于中考常考題型.

考點：1.作圖一基本作圖；2.線段垂直平分線的性質.

9.（2016廣東省深圳市）如圖，在以BCD中，AB=3,BC=5,以點8的圓心，以任意長為半徑作弧，分別

交BA、8C于點尸、。，再分別以P、。為圓心，以大于;PQ的長為半徑作弧，兩弧在/A8C內交于點

連接BM并延長交AD于點E,則DE的長為.

【答案】2.

【分析】根據作圖過程可得得AE平分NABC；再根據角平分線的性質和平行四邊.形的性質可證明

ZAEB=ZCBE,證出AE=AB=3,即可得出。E的長.

【解析】根據作圖的方法得：AE平分—/aBE=NCBE

.四邊形.458是平行四邊形，月C,；.zUE3=NCBE,.,.乙，4￡=.45=3,

:.DE=AD-AE=5-3=2；故答案為：2.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定.熟練掌握平行四邊形的性質，證出是

解決問題的關鍵.

考點：1.平行四邊形的性質；2.等腰三角形的判定；3.作圖一復雜作圖；4.操作型.

10..（2016浙江省湖州市）如圖，在中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,分別以點A,8為圓心，

大于線段42長度一半的長為半徑作弧，相交于點E,F,過點E,尸作直線ER交AB于點、D,連結CZ）,

則CD的長是.

【答案】5.

【分析】首先說明利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可解決問題.

【解析】由題意所是線段的垂直平分線，Rt/\ABC中，VZACB=90°,BC=6,AC=S,

：.AB=VAC2+BC2=A/62+82=10,'：AD=DB,ZACB=90°,：.CD=^AB^5.故答案為：5.

【點評】本題考查勾股定理.直角三角形斜邊中線性質、基本作圖等知識，解題的關鍵是知道線段的垂直

平分線的作法，出現中點想到直角三角形斜邊中線性質，屬于中考常考題型.

考點：1.作圖一基本作圖；2.直角三角形斜邊上的中線；3.勾股定理.

三、解答題

11.（2016四川省達州市）如圖，在yBCD中,AD>AB.

（1）實踐與操作：作NBA。的平分線交BC于點E,在AO上截取A尸48,連接EF；（要求：尺規作圖,

保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明.

【答案】（1）作圖見解析；（2）四邊形A2E尸是菱形.

【分析】（1）由角平分線的作法容易得出結果，在上截取A廣48,連接EF；畫出圖形即可；

（2）由平行四邊形的性質和角平分線得出證出由（1）得：AF=AB,得出

即可得出結論.

【解析】（1）如圖所示：

（2）四邊形ABEF是菱形；理由如下：

,四邊形ABCD是平行四邊形，二兒?二4￡平分NE4D,：.ZBAE=ZD.4E,

；2BAE=ZAEB,：.BE=AB,由（1）得：AF=AB,:.BE=AF,又?..5￡〃43.?.四邊形.45印是平行四邊

形，.，出/瓦...四邊形.45即是菱形.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、作圖-基本作圖、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟練掌握平

行四邊形的性質和角平分線作圖，證明是解決問題（2）的關鍵.

考點：1.平行四邊形的性質；2.作圖一基本作圖.

12.（2016山東省棗莊市）P“表示”邊形的對角線的交點個數（指落在其內部的交點），如果這些交點都

不重合，那么P"與“的關系式是：尸〃（2—1）.（九2_加+初（其中°,%是常數，〃24）

24

（1）通過畫圖，可得：四邊形時，?4=；五邊形時，25=；

（2）請根據四邊形和五邊形對角線交點的個數，結合關系式，求a,6的值.

【答案】（1）1；5；（2）a=5,b=6.

【分析】（1）依題意畫出圖形，數出圖形中對角線交點的個數即可得出結論；

（2）將（1）中的數值代入公式可得出關于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結論.

【解析】（1）畫出圖形如下.

由畫形，可得：

當《=4時，?4=1）當時，Pi=5.

故答案為：1;5.

「4x（4—1）Q.+b）

（2）將（1）中的數值代入公式，得：I24,解得：所5,b=6.

u5x（5-l）.,U,、

5=------------（52-5a+6）

[24

【點評】本題考查了多邊形的對角線、作圖以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）畫出圖形,

數出對角線交點的個數；（2）代入數據得出關于a、b的二元一次方程組.本題屬于基礎題，難度不大,

解決該題型題目時，依據題意畫出圖形，利用數形結合解決問題是關鍵.

考點：1.作圖一應用與設計作圖；2.二元一次方程的應用；3.多邊形的對角線.

13.（2016山東省青島市）已知：線段a及/ACB.

求作：。0,使。。在的內部，CO=a,且。。與NAC2的兩邊分別相切.

【答案】作圖見解析.

【分析】首先作出/ACB的平分線CD,再截取CO=a得出圓心。，作OELC4,由角平分線的性質和切線

的判定作出圓即可.

【解析】①作4C3的平分線CD,②在CD上截取CO=a,③作OE1C4于E,以。我圓心，長為半

徑作圓；

如圖所示：。。即為所求.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖、角平分線的性質、切線的判定；熟練掌握角平分線的作圖，找出圓

心。是解決問題的關鍵.

考點：作圖一復雜作圖.

14.（2016廣東省）如圖，已知△ABC中，。為AB的中點.

（1）請用尺規作圖法作邊AC的中點E,并連結。E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）在（1）的條件下，若。E=4,求8c的長.

【答案】（1）作圖見解析；（2）8.

【分析】（1）作線段AC的垂直平分線即可.

（2）根據三角形中位線定理即可解決.

【解析】（1）作線段AC的垂直平分線交AC于E,點E就是所求的點.

(2)'：A.D=DB,AE=EC,J.DE//BC,DE=-BC,:DE=4,：.BC=8.

2

【點評】本題考查基本作圖、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的作法，記住

三角形的中位線定理，屬于中考常考題型.

考點：1.三角形中位線定理；2.作圖一基本作圖.

15.（2016廣東省廣州市）如圖，利用尺規，在△ABC的邊AC上方作/CAE=/ACB,在射線AE上截取

AD=BC,連接CD,并證明：CD//AB（尺規作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】答案見解析.

【分析】利用尺規作/E4C=/ACB即可，先證明四邊形A8CD是平行四邊形，再證明即可.

【解析】圖象如圖所示，...NE4O4CB,//D”CB,.?.四邊形ABCD是平行四邊形，.331CD.

【點評】本題考查尺規作圖、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用尺規作一個角等于

已知角，屬于基礎題，中考常考題型.

考點：作圖一尺規作圖的定義.

16.（2016廣東省梅州市）如圖，在平行四邊形A8CD中，以點A為圓心，長為半徑畫弧交A。于點F,

再分別以點8、斤為圓心，大于'3廠長為半徑畫弧，兩弧交于一點P,連接AP并延長交2C于點E,連接

2

EF.

（1）四邊形A8EF是；（選填矩形、菱形、正方形、無法確定）（直接填寫結果）

（2）AE,BF相交于點。，若四邊形ABEF的周長為40,BF=10,則AE的長為,

ZABC=°.（直接填寫結果）

【答案】（1）菱形；（2）10^,120.

【分析】（1）先證明注△AER推出NEAB=NEAF由AD//BC,ftZEAF=ZAEB=ZEAB,得到

BE=AB=AF,由此即可證明.

（2）根據菱形的性質首先證明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解決問題.

【解析】(D在入4￡3和ZUEF中，ZEAB=/EAF,AE=AE,：.&4EB也AAEF,：./EAB=ZEAF,

?.?兒D/5C,二/￡4尸=44￡3=/￡鋁，.?.5E=.43=.4尸....四邊形兒BEF是平行四邊形.".?.4B=.4F,

.?.四邊形ABEF是菱形；

(2)：四邊形A8EF是菱形，BO=OF=5,NABO=/EBO,VAB=10,：.AB=2BO,VZAOB=90°

ZBA0=30°,ZABO=60°,：.AO=y/3BO=5y/3,ZABC=2ZABO=nO0.故答案為：1073,120.

【點評】本題考查菱形的判定和性質、平行四邊形的性質、作圖-基本作圖等知識，解題的關鍵是全等三

角形的證明，想到利用特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型.學科*網

考點：1.菱形的判定與性質；2.平行四邊形的性質；3.作圖一基本作圖.

17.（2016廣西河池市）如圖，AE//BF,AC平分NBAE,交BF于C.

（1）尺規作圖：過點8作AC的垂線，交AC于。，交AE于。，（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的圖形中，找出兩條相等的線段，并予以證明.

BCF

【答案】（1）作圖見解解析；（2）AB=AD=BC.

【分析】（1）利用基本作圖作8OLAC即