湖北省高中名校聯盟2023-2024學年高三下學期3月月考數學試題本試卷共4頁，19題．滿分150分．考試用時120分鐘．考試時間：2024年3月27日下午15：00—17：00注意事項：1．答題前，先將自已的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設復數，則（）A．0 B．2 C． D．2．已知集合，，若定義集合運算：，則集合的所有元素之和為（）A．6 B．3 C．2 D．03．畫條直線，將圓的內部區域最多分割成（）A．部分 B．部分C．部分 D．部分4．某運動愛好者最近一周的運動時長數據如下表：星期一二三四五六日時長（分鐘）6015030601090120則（）A．運動時長的第30百分位數是30 B．運動時長的平均數為60C．運動時長的極差為120 D．運動時長的眾數為605．已知數列中，，，，則下列說法不正確的是（）A． B．C．是等比數列 D．6．若，則（）A．88 B．87 C．86 D．857．已知函數，，若有兩個零點，則（）A． B． C． D．8．以表示數集中的報小值，已知不全為0的實數x，y，二元函數，則的最大值為（）A．0 B． C．1 D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數為函數的一個極值點，則（）A． B．C． D．10．已知拋物線，過的焦點的直線與交于A，B兩點，設的中點為，分別過A，B兩點作拋物線的切線，相交于點，則（）A．點必在拋物線的準線上B．C．面積的最小值為D．過作直線的平行線交軸于點，則11．已知函數，則（）A．當時，方程無解B．當時，存在實數使得函數有兩個零點C．若恒成立，則D．若方程有3個不等的實數解，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知數列中，，，，則的前項和__________．13．已知直線與橢圓交于A，B兩點，與橢圓交于C，D兩點，若，則實數__________．14．所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫作擬柱體．在這兩個平行平面內的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫作擬柱體的高．現有一擬柱體，上下底面均為正六邊形，且下底面邊長為4，上底面各頂點在下底面的射影點為下底面各邊的中點，高為2，則該擬柱體的體積為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解笞應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．（1）判斷的形狀；（2）若在邊上，且，，以和為邊，，向外作兩個正方形，求這兩個正方形面積和的最小值．16．（15分）如圖，已知三棱錐中，平面底面，平面，且，．（1）求三棱錐的體積；（2）已知，求平面與平面所成二面角的正弦值．17．（15分）已知函數．（1）證明：函數有三個不同零點的必要條件是；（2）由代數基本定理，次復系數多項式方程在復數域內有且只有個根（重根按重數計算）．若，證明：方程至多有3個實數根．18．（17分）在平面直角坐標系內，以原點為圓心，a，b（，，a，b為定值）為半徑分別作同心圓，，設為圓上任一點（不在軸上），作直線，過點作圓的切線與軸交于點，過圓與軸的交點作圓的切線與直線交于點，過點，分別作軸，軸的垂線交于點．（1）求動點的軌跡的方程；（2）設，點，，過點的直線與軌跡交于A，B兩點（兩點均在y軸左側）．（i）若，的內切圓的圓心的縱坐標為，求的值；（ii）若點是曲線上（軸左側）的點，過點作直線與曲線在處的切線平行，交于點，證明：的長為定值．19．（17分）設的所有可能取值為，稱（）為二維離散隨機變量的聯合分布列，用表格表示為：YX…………1仿照條件概率的定義，有如下離散隨機變量的條件分布列：定義，對于固定的，若，則稱為給定條件下的條件分布列．離散隨機變量的條件分布的數學期望（若存在）定義如下：．（1）設二維離散隨機變量的聯合分布列為YX123410.10.30.20.620．050.20.150.40.150.50.351求給定條件下的條件分布列；（2）設為二維離散隨機變量，且存在，證明：；（3）某人被困在有三個門的迷宮里，第一個門通向離開