數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.作答前，請考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.

3.考試結(jié)束后，答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題、每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

（1-2i）z=|2五+i|-i-

1.已知復(fù)數(shù)z滿足,7?I，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】先運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法規(guī)則求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解.

|2V2+i|-i^_j(3-i)(l+2i)1

【詳解】即+'=42何+儼=33]

l-2i~-l-2i-(l-2i)(l+2i)-+

』=l—i,實(shí)部為1,虛部為-1,所以］在第四象限;

故選：D.

2.已知在ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,則“向24=5皿25”是“。="’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)sin2A=sin2B結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得A=B或A+B=—,進(jìn)而可求解.

2

【詳解】若sin2A=sin28,則2A=28+2E,ZeZ或2A+28=7i+2Z7i,ReZ,

兀

由于在三角形中，所以2A=23或24+26=兀，故A=B或4+8=一，

2

TT

當(dāng)A=_B時(shí)，則。=>，但A+3=一時(shí)-，a,b關(guān)系不確定;

2

反過來，若則必有A=3，sin2A=sin2B.故“sin2A=sin25”是的必要不充分條件,

故選：B

2

3.已知拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線過雙曲線方一丁=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則。=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】

2

【分析】求出拋物線：/=2px的準(zhǔn)線方程和雙曲線,一)，2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由條件列方程求".

【詳解】拋物線V=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=g,

雙曲線土一丁=1的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0),右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),

因?yàn)閽佄锞€y2=2Px的準(zhǔn)線過雙曲線會(huì)一V=1的一個(gè)焦點(diǎn)，

所以3=2,

2

所以p=4,

故選：C.

4.林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級，樹齡300~500年之間的古樹為二級，樹齡100~299年的

古樹為三級，樹齡低于100年不稱為古樹.林業(yè)工作者為研究樹木年齡，多用年輪推測法，先用樹木測量

生長錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計(jì)算年輪個(gè)數(shù)，由經(jīng)驗(yàn)知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差

數(shù)列.現(xiàn)為了評估某棵大樹的級別，特測量數(shù)據(jù)如下：樹干周長為3.14米，靠近樹芯的第5個(gè)年輪寬度為

0.4cm,靠近樹皮的第5個(gè)年輪寬度為0.2cm,則估計(jì)該大樹屬于()

A.一級B.二級C.三級D.不是古樹

【答案】C

【解析】

【分析】由條件抽象出等差數(shù)列的基本量，再結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，求〃.

【詳解】設(shè)樹干的截面圓的半徑為，樹干周長2用=3.14,

r=0.5m=50cm,從內(nèi)向外數(shù)：=0.4,a?_4=0.2,S,=r=50=(%+=0.3〃,/.

“n2

〃=史￡儀]67年，所以為三級.

3

故選:C

5.已知函數(shù)y=/(x)(xeR)如滿足：/(x+3)=-f(x),/(-x)+/(x)=0,且xe[-3,0)時(shí)，

/(x)=log8(x+4),則/(2024)=()

A.—3B.—C.0D.—

33

【答案】B

【解析】

【分析】先判斷出函數(shù)“X)是周期為6的周期函數(shù)，再利用周期性直接求解即可.

【詳解】由f(x+3)=-/0),則/(x+6)=-/(x+3)=/(x),

所以函數(shù)/*)是周期為6的周期函數(shù)，

又F(-x)+/(x)=0,即/(X)=-/(-%),

所以/(2024)=/(2)=-/(-2)=-log82=-1.

故選：B.

6.在正三棱柱ABC-A4G中，43=2，=3,以G為球心，—為半徑的球面與側(cè)面ABB,4

3

的交線長為()

,2年R4后「26乳8后

A.-----------D.-----V—.----n

9939

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)2為的中點(diǎn)，證明GA，平面根據(jù)球的截面性質(zhì)確定交線的形狀，結(jié)合弧長

公式求交線長.

【詳解】設(shè)R為Ag的中點(diǎn)，連接CA，

因?yàn)锳g=A8=2,△A4G為等邊三角形，

所以CR=6

因?yàn)镚2J,A|81,C}D]±A4j,481cA41=4，4耳,A4,u平面ABgA,

所以CQi_L平面43gA，

所以以G為球心，叵為半徑的球面與平面ABgA的交線為以。為圓心的圓,

3

可得交線即以，為圓心，逆為半徑的圓弧，

3

設(shè)該圓弧與分別相交于點(diǎn)M,N,

因?yàn)镸D}=，AA=1，

所以cosNM0A=，因?yàn)镹MRA

71

所以NM24=_

6

所以NMD|N=F，

故交線長/=1乂2兀乂空=公包.

339

故選：B.

7.函數(shù)/(x)=Asin(Q)x+°),(A>0,a)>(),。</<兀)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與

/(X)的圖象交于M,N兩點(diǎn)，且M在〉軸上，則下說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期是日兀

上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/(x)的圖象向左平移專個(gè)單位后關(guān)于直線x對稱

D.若圓C的半徑為點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的解析式為〃力=與sin(2x+m)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，求得/(力的最小正周期，可判定A錯(cuò)誤；利用五點(diǎn)作圖法，求得。=],結(jié)

合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定B錯(cuò)誤；利用三角函數(shù)的圖形變換得到平移后的函數(shù)解析式為g(x)=Acos2x,

進(jìn)而判定C錯(cuò)誤；利用=|OM「+|OC『，求得A的值，可判定D正確.

【詳解】解：由函數(shù)/(x)圖象，可得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為己，

所以函數(shù)/(力的最小正周期為7=2日—(一當(dāng)]=兀，所以A不正確：

36

//j|jITILJI

又由G=-=2,且/(——)=0,即sin[2x(——)+(p]=sin(——+夕)=0,

T663

7T7T

根據(jù)五點(diǎn)作圖法且0<9<兀，可得—5+9=(),解得0=§,

.__.../7兀兀、_r/口/,>兀/57r兀、

因?yàn)楣ぁ?一二,一二),可得2%+彳￡(---,

123363

結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)/(X)在(-工,-三)是先減后增的函數(shù)，所以B錯(cuò)誤;

將函數(shù)/(x)的圖象向左平移專個(gè)單位后，得到g(x)=Asin(2x+/=Acos2x,

可得對稱軸的方程為2x=kit,keZ,即1=一、keZ,

2

所以X=:不是函數(shù)g(x)的對稱軸，所以C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=()時(shí)，可得/(0)=Asing=*A,即0M=^A,

若圓的半徑為1|,則滿足|。1/『=依加「+|012,即(居)2=(#A>+q)2

解得4=牛，所以的解析式為〃力=坐sin(2x+工],所以D正確.

故選：D.

8.己知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足，/(石+工2)=/(百)+/(±)，且當(dāng)犬>0時(shí)，〃X)>0,/⑴=1,

則關(guān)于x的不等式2"，⑴+2"""+2/卜2)47的解集為()

A.[1,+8)B.[-1,1]C.[—2,2]D.[2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意得/(可為R上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，又由題得2/(*)+2一小)+/小2)?(,令

g(x)=2〃*)+2-仆)+/(/),得g(x)為R上的偶函數(shù)，且在[0,+?)上單調(diào)遞增，得g(x)Wg⑴即可

解決.

【詳解】由題知，定義在R上的函數(shù)/(x)滿足，/(石+9)=/(%)+/(￡)，

且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,41)=1,

所以〃0+0)=〃0)+/(0),即/(0)=0,

又/(x)+〃f)=/(x—力=/(0)=0，

所以“X)為R上的奇函數(shù)，

設(shè)玉<X2，/(xj-/(w)=/(xj-/(x+9一%)=一/(馬一七)<0,

所以“X)為R上的增函數(shù)，

因?yàn)?,+/W+2-(司+2/(寸)<7o2/(x)+2力、)+/(x2)<1,

令g(x)=2/(A)+2-/W+/(x2),

因?yàn)間(x)=2爾)+2一小)+/卜2)為R上的偶函數(shù)，且在[(),+a)上單調(diào)遞增，g(l)=g,

所以g(x)4g⑴，

所以TWxWl,

故選：B.

二、選擇題：本大題共4小題、每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符

合題目要求的.全部選對的得5分、有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.

9.已知平面向量。=(一2,1),6=(4,2),c=(2,f),則下列說法正確的是()

A.若b，則f=4

B.若&〃e,則，=—i

3

C.若，=1,則向量a在d上的投影向量為-gc

D.若r>T,則向量b與c的夾角為銳角

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算即數(shù)量積公式可判斷AB選項(xiàng)，根據(jù)投影向量定義可得判斷C選項(xiàng)，由

可得從c>0,但此時(shí)向量在與C的夾角可以為零角并非銳角，可得D錯(cuò)誤.

【詳解】解：已知平面向量a=(-2,1),方=(4,2),c=(2,f),

對于A,若b上c，可得5年=0,即4x2+27=0,解得］=T,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

-22

對于B,若a〃c,根據(jù)平面向量共線性質(zhì)，可得——=一，即》=-1,所以B選項(xiàng)正確:

1t

對于C,若/=1,貝ijc=(2,l),

a-c_-4+1_3

由投影向量定義可知向量a在c上的投影向量為=5彳J，=一二°,

所以C選項(xiàng)正確；

對于D,若貝iJb-c=4x2+2r=8+2，〉0，所以池,工)二向白>0；

但當(dāng)"1時(shí)'CM‘3麗=”+22X「+12=W^7

此時(shí)向量。與C的夾角為0°,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：BC.

10.已知IA:x2+y2-10x-i0y=0,B.x2+y2-6x+2y-40=0,則下列說法正確的是()

A.兩圓位置關(guān)系是相交

B.兩圓的公共弦所在直線方程是x+3y+10=0

C.A上到直線x+3y-10=0的距離為加的點(diǎn)有四個(gè)

D.若尸(x,y)8上任意一點(diǎn)，則［(x-5>+(y-5)2］山=90+406

【答案】ACD

【解析】

【分析】先將‘A,右的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用圓心距與兩半徑之差和半徑之和比較即可判

斷A；聯(lián)立兩圓的方程，化簡即可得到公共弦所在直線方程，進(jìn)而即可判斷B：先求得4(5,5)到直線

x+3y-10=0的距離/，再比較2d與&的大小即可判斷C；依題意得［(x-5)2+(y—5)2］",的幾何意

義為4(5,5)到8上點(diǎn)的距離的平方的最大值，再結(jié)合選項(xiàng)A求解即可判斷D.

【詳解】對于A,由/4:x2+r-10x-10y=0,即(x—5))+(y—5了=50,其圓心為A(5,5),半徑為

RA=5叵,

B:x2+y2-6x+2y-40=0,即(x—3『+(y+1)?=50,其圓心為B(3,-l),半徑為6,=50,

則兩圓的圓心距為|/3|=，4+36=2而,則此一&<|A@</?A+&,即兩圓相交，故A正確;

x2+r-10x-10y=0

對于B,聯(lián)立兩圓的方程<化簡得x+3y-10=0,故B錯(cuò)誤;

x?+y?-6x+2y-40=0

"端嘰廂’"=2加<5四，所以

對于C,由A(5,5)到直線x+3y-10=0的距離為d

A上到直線x+3y-10=0的距離為癡的點(diǎn)有四個(gè)，故C正確;

對于D,依題意得［(X—5)2+(>-5)2］心的幾何意義為A(5,5)到03上點(diǎn)的距離的平方的最大值，

所以結(jié)合選項(xiàng)A得［(X—5)2+(y—5)2、=(|明+RB『=僅碗+=90+4075,故D正確.

故選：ACD.

11.一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，給出下列4個(gè)結(jié)論，其中正確的有()

3

A.從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是g

4

B.從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為一

3

3

C.現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則第一次取到紅球且第二次也取到紅球的概率為g

D.從中有放回取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為黑

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型概率公式求解即可判斷A；根據(jù)二項(xiàng)分布求概率公式計(jì)算即可求判斷B；根據(jù)獨(dú)立

事件的概率公式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)對立事件的概率求解即可判斷D.

c1C23

【詳解】A：所求的概率為2=—於葉=三，故A正確；

2224

B：取到紅球的次數(shù)X6（6,一）,所以其方差為6x-x（l--）=一,故B正確;

3333

43

C：第一次取到紅球的概率為一，第二次取到紅球的概率為一，

432

所以第一次取到紅球且第二次取到紅球的概率為一x—=-,故C錯(cuò)誤;

655

2

D：每次取到紅球的概率為

所以至少有一次取到紅球的概率為故D正確.

故選：ABD.

12.下列說法中，其中正確的是（）

A.命題："1（：20,_?_》_1*0”的否定是“\^<0,/一%-1<0”

化簡端備的結(jié)果為2

C.C：+2C；,+22C；+23C；,+...+2nC；；=3"

D.在三棱錐P-A3C中，PA=AB=PB=AC=25CP=2jd，點(diǎn)。是側(cè)棱形的中點(diǎn)，且

CD=g則三棱錐P-ABC的外接球。的體積為冬色.

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)存在性量詞命題的否定即可判斷A；根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可判

斷B；根據(jù)二項(xiàng)式定理即可判斷C；利用線面垂直的判定定理可得4。_L平面AW，結(jié)合正弦定理、勾

股定理和球的體積公式計(jì)算即可判斷D.

【詳解】A：命題：“h士0/3-太-1±0”的否定是“\/》20/3一%-1<0"，故A錯(cuò)；

COS250-sin250_coslO_coslO_sin80_

B：sin40°sin50°-sin40°cos40°-I.-1.?"，故B正確;

—sin80—sinc8n0

22

C：C+2C：+22C：+23C：+…+2"C：=(l+2)"=3",故C正確；

D：如圖所示，

c

由PA=AC=26，CP=2屈，則92+4。2=。尸2,得出J_AC,

由。是PB的中點(diǎn)，PA=AB=PB=2瓜易知：為等邊三角形且AD=3,

又CD=gi,所以C42+AZ)2=。。2,得C4IAD,

又A。AP=A,4尸,4。匚平面物8，所以AC_L平面RW.

設(shè)球心為。且在過△PAB中心垂直于面PAB的垂線上，點(diǎn)。到底面PAB的距離為d=、AC=6,

2

PA2G0

y*—________—______—)

由正弦定理得的外接圓半徑2sin60-g，

2x——

2

球C的半徑CA=A=,/+/=J(G『+22=幣,

所以三棱錐P—ABC的外接球0的體積為丫=?2=?(不了=空答.故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.某個(gè)品種的小麥麥穗長度(單位：cm)的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、

9.6、9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

【答案】10.8

【解析】

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.

【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7,共有

12個(gè)，

所以12x80%=9.6,

所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)即：10.8.

故答案為：10.8

14.二項(xiàng)式（x+展開式中常數(shù)項(xiàng)是.（填數(shù)字）

【答案】240

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為乙|=C"6-，2）=2'C/告，

3

令6——r=0,解得r=4,

2

所以常數(shù)項(xiàng)為24G=240,

故答案為：240.

15.已知a,〃為正實(shí)數(shù)，直線y=2x-a與曲線y=In（2x+A）相切，則,+：的最小值為

【答案】9

【解析】

【分析】由直線y=2x-a與曲線y=ln（2x+0）相切可得。+力=1,后由基本不等式可得答案.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（毛,%），［in（2x+沖］'22

-------,則切線斜率可表示為:;-----r，由題有

2x+h2/+b

2

2=＞2x0+b=1.又切線可表示為:

2x0+b

2

y=-------(%—%)+In(2%+Z?)=2x—a=>a=———In(2/+b),代入

-2x0+b

2x0+h=1可得。=2/=>〃+〃=1,又a,b為正實(shí)數(shù)，貝I

41/41、/1、4ba廠八14ba廠八皿口、b4/7a2,1.口

—(〃+/?)=--1---1-5>2,------1-5=9,當(dāng)且僅當(dāng)一=不，M即n。=一,8=一時(shí)取等號.

abb)ab\abab33

故答案為：9.

16.經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C：1（。＞人＞0）相交于A,B兩點(diǎn),過A垂直于AB的直線

與C交于點(diǎn)。，直線。8與y軸相交于點(diǎn)E,若OB-OE=2|o目2,則C的離心率為.

【答案】

22

【解析】

【分析】設(shè)直線BD的方程為卜="+鞏么=0）,與橢圓方程聯(lián)立，由0分。后=2|。目2求得點(diǎn)B的縱坐

,1

標(biāo)，進(jìn)而利用韋達(dá)定理得到其橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)。的坐標(biāo)，然后根據(jù)43_LA。，由陽==一不一化簡

kAB

求解.

【詳解】解：設(shè)直線BO的方程為丁="+加（％。0）,8（王,苗），。（馬,必），

則A（f,-y）,E（O,m）,

y=kx+m

,+2kma2x+a2m2-a2b2=0,

顯然存在人,〃?，使得A〉。，

2kma22k2ma".

故由韋達(dá)定理得用+/=-----，必+%=一—s------+2m，

b2+a2k2'2h2+a2k2

因?yàn)椤??o2=2|。目~，則y機(jī)=2〃/，即y=2m

mm2k2moi

則a=丁,3—,2m,《AB=A=2k,%=

k\kJ%b2+a2k2'

因?yàn)锳BJ_AD,

所以心%=-12kma?c12kmcr、

即_

，222222

x1+x22kb+ak2k\b+ak)

-2k2a2+2b2+2k2a2=4,化簡得"=2/,

所以e=￡=Jl-(2[=加

----，

a\\a)2

故答案為：交.

2

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

3

17.設(shè)_48。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且滿足acos8-0cosA=《c

⑴求小

的值;

tanB

（2）若點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，AB=10,CD=5,求3C的值.

【答案】⑴4；⑵4G

【解析】

33

【分析】（1）由acos3—〃cosA=—c,帶入余弦定理整理可得/一〃=一,？，所以

55

,a2+c2-b2

tanA_sinAcosB

=-S——冬邑一=—~2＞帶入后一k即可得解;

tan3cosAsinBb+c—a]bA-+b；—a~5

----------b

2bc

（2）作AB邊上的高CE，垂足為E,因?yàn)閠anA=CZ,tan8=CE,所咽2=些

AEBEtanBAE

tany4

又——=4,所以8E=4AE，因?yàn)辄c(diǎn)。為邊A5的中點(diǎn)且A3=10,所以

tan8

BD=5,AE=2,DE=3,再根據(jù)勾股定理即可得解.

3

【詳解】（1）因?yàn)镼COS3-hcosA=《c,

dc1+a1-b2,b2+c2-ia23

所以a-----------b-—--二--—---

2ca2bc5

3

BPa2-b2=-c2.

5

za2+c2-b2

又tanA_sinAcosB_a2xtc

tanBcosAsinBb1+c2-a2.

b

2bc

mstanAa2+c2-Z?28c25.

所以-----=———%——=—X—=4

tan8b'+c-a7~52c?

AB

D

(2)如圖，作AB邊上的高CE，垂足為E,

r-i￡.CE_CE,tanABE

因?yàn)閠anA-,tanB=---,所以-----=—

AEBEtanBAE

?tanA,“一

又-----=4,所以8E=4A￡.

tanB

因?yàn)辄c(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，A5=10,所以8D=5,AE=2,OE=3.

在直角三角形CQE中，8=5,所以C￡=店二?"=4.

在直角三角形BCE中，BE=8,所以BC="7F=4石.

18.己知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且2S,,H+S“=2,4=1.

(1)求｛凡｝的通項(xiàng)公式;

(2)記〃=|q4…a,/，c?=log2bn,數(shù)列"的前〃項(xiàng)和為7；,求

【答案】(1)

⑵(=告

n+\

【解析】

【分析】(1)采用作差法，驗(yàn)證/是否符合通式，即可求解｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)求得=2,竽，化簡得結(jié)合裂項(xiàng)求和法可求(?

【小問1詳解】

?'2s“+]+Stl=2,

?2S”+S“_|=2(n>2),

兩式相減得2an+l+a?=0(/i>2).

又4=1,2(6+/)+6=2,解得4=一；，

.(1Y-1

??a=—，

〃\2乙)

則｛《,｝的通項(xiàng)公式為％

【小問2詳解】

19.如圖所示，在三棱柱A3/一DCE中，點(diǎn)G、M分別是線段44、B廠的中點(diǎn).

(2)若三棱柱ABb-OCE的側(cè)面ABCD和AOE尸都是邊長為2的正方形，平面ABC。1平面AOEF,

求二面角E-BG-F的余弦值；

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進(jìn)行證明

即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

取5E中點(diǎn)N,

則平行且等于,FE,AG也平行且等于工8。，而BC平行且等于所，

22

所以MN平行且等于4G,

因此四邊形4MNG為平行四邊形，AM//GN,

又AM0平面BEG,GNu平面BEG,

所以AM//平面BEG；

【小問2詳解】

由已知易證AF_LA。,ATLAB,ABJ_A。建立以A為原點(diǎn)，以AB,AD,AF的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸

正方向的空間直角坐標(biāo)系，

ZA

CC

則40,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),E(0,2,2),F(0,0,2),G(0,l,0),M(1,0,1),

所以BE=(-2,2,2),BG=(-2,1,0),

設(shè)〃=(x,y,z)為面BEG的法向量，則

n-BE=-2x+2y+2z=0/、

{=〃=(—L—2,1),

n?BG=-2x+y=0

同理可求平面BFG的法向量為m=(一1,一2,—1),

Ln?m1+4-12

WH7(-1)2+(-2)2+i2x7(-1)2+(-2)2+(-1)23

所以二面角E-BG-戶的余弦值為;2.

20.為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級，加強(qiáng)自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造、智能制造，把我國制造業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)搞上

去，推動(dòng)我國經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng)，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一些中小型工廠的規(guī)模不大，

在選擇管理軟件時(shí)都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).某一小型工廠自己沒有管理軟件的高級技術(shù)員，欲購買管理軟件服

務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某一管理軟件服務(wù)公司有如下兩種收費(fèi)方案.

方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，對于提供的軟件服務(wù)，每次另外收費(fèi)200元；

方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過15次，不另外收費(fèi)，

若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次另外收費(fèi)500元.

（1）設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費(fèi)為y元，每月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)為x,試寫出兩種方案中y與x的

函數(shù)關(guān)系式；

（2）該工廠對該管理軟件服務(wù)公司為另一個(gè)工廠過去20個(gè)月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到

如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從服務(wù)次數(shù)為13次和14次的月份中任選3個(gè)月求

這3個(gè)月，恰好是1個(gè)13次服務(wù)、2個(gè)14次服務(wù)的概率；

（3）依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種方案更合適，請

說明理由.

7600,%,15,xeN7

【答案】（1）方案一：產(chǎn)200x+4800,xGN,方案二:(2)—；(3)從

500%+100,x>15,xeN15

節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適，理由見解析.

【解析】

7600,x<15,xeN,

【分析】（1）由題意可得方案一：y=200x+4800,x^N,方案二：產(chǎn)＜

500x+100,x>15,xeN.

（2）記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)、2個(gè)14次服務(wù)為事件A,根據(jù)條形圖，利用組合數(shù)可得

C；C：7

「(/1)=言~=—,即求.

Go15

（3）根據(jù)方案分別列出方案一與方案二中月收費(fèi)的分布列，根據(jù)分布列求出數(shù)學(xué)期望，比較均值即可求

解.

【詳解】解：(1)由題意知，方案一：中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)

y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=200x+4800,x?N,

方案二：當(dāng)x>15,xeN時(shí)，

y=7600+(x-15)x500=500x+100,xeN

所以管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系為：

7600,%<15,xeN,

'500x+100,x>15,%eN.

(2)記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)、2個(gè)14次服務(wù)為事件A,

e或；7

則

cioID

(3)對于方案一，設(shè)管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)為4元，

由條形統(tǒng)計(jì)圖得E取值為統(tǒng)00,7600,7800,8000,8200,

P(^=7400)=0.1,

P(c=7600)=0.4,

P(C=7800)=0.1,

P("8000)=0.2,

P(勺8200)=0.2,

???，的分布列為：

74007600780080008200

P0.10.40.10.20.2

E(^)=7400X0.1+7600x0.4+7800x0.1+8000x0.2+8200x0.2=7800.

對于方案二，設(shè)管理軟件服務(wù)公式的月收費(fèi)為井元，

由條形統(tǒng)計(jì)圖得〃的可能取值為7600,8100,8600,

P（片7600）=0.6,

P（/;=8100）=0.2,

P（〃二8600）=0.2,

工〃的分布列為:

760081008600

P0.60.20.2

￡0/)=7600x0.6+8100x0.2+8600x0.2=7900.

，；E?<E⑺,

,從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適.

22

21.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知雙曲線E：0-4=1(〃>0/>0)的右焦點(diǎn)/到雙曲線

a~b

E的一條漸近線y=y/3x的距離為G.

(1)求雙曲線￡的方程；

(2)如圖，過圓0：f+y2=1上一點(diǎn)”作圓。切線/與雙曲線E的左右兩支分別交于P,。兩

點(diǎn)，以PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線E的右頂點(diǎn)A，求直線/的方程.

2

【答案】(1)X2_匕=]

3

0、V32百瓏732也

(2)v-...x4-----或y=-----x------

3333

【解析】

【分析】(1)利用雙曲線的性質(zhì)即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由己知直線/的斜率存在，設(shè)/：y=kx+m,聯(lián)立雙曲線￡與直線/的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得

2mk

123—左2

9，由AP?AQ=0,即可求出血與％的關(guān)系，由/與圓。：l2+,2=1相切，則

m+3

中2二一K

"I10

d=-]=1ITT=1+左~,聯(lián)立求出％值即可.

Jl+%2

【小問1詳解】

c=2

2

由題可得圈=。=1，片的方程：x

事＞b=G9"

2

【小問2詳解】

由已知直線/的斜率存在，設(shè)/：y=kx+m,

/與圓O：d+y2=l相切，則d=一f—=1n=1+女2,

V1+F

3xy30'=（3-A?）%?_2利"-"-3=0,

聯(lián)立雙曲線E與直線/的方程：《

y=kx-￥m'7

設(shè)直線/與雙曲線E的左右兩支交于P（玉,乂）,。（工2，%）兩點(diǎn)，

3-Fwo

所以<△=4/〃，+4"+3）（3一女2）〉o,可得04女2<3,

「「［、［2