專題06五類導(dǎo)數(shù)題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【題型1利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問題（含參討論問題）】【題型2利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立能成立問題】【題型3利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題】【題型4利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線問題】【題型5利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題】題型1利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問題（含參討論問題）含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）借助導(dǎo)函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①令，確定其零點(diǎn)，并在軸上標(biāo)出②觀察的單調(diào)性，③根據(jù)①②畫出草圖導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型借助導(dǎo)函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①對因式分解，令，確定其零點(diǎn)，并在軸上標(biāo)出這兩個(gè)零點(diǎn)②觀察的開口方向，③根據(jù)①②畫出草圖導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型①對，求②分類討論③對于，利用求根公式求的兩根，④判斷兩根，是否在定義域內(nèi)：對稱軸+端點(diǎn)正負(fù)⑤畫出草圖已知函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：第一步：函數(shù)定義域是，，草稿紙：，，試卷上：①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，②當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)增區(qū)間，無減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；已知(為常數(shù))，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：第一步：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，＋＝，草稿紙：，試卷上：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①當(dāng)，即時(shí)，g(x)≤0，則，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；②當(dāng)－＜a＜0時(shí)，＞0，設(shè)x1，x2(x1＜x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則x1＝，x2＝，由x1＝＝＞0，x2＝＞0，且，所以當(dāng)時(shí)，g(x)＜0，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，g(x)＞0，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，g(x)＜0，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)－＜a＜0時(shí)，f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.已知函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：求導(dǎo),當(dāng)時(shí)，令，，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，令，解得：或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；無遞減區(qū)間當(dāng)時(shí)，令，解得：或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)減區(qū)間為.綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；1．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1），當(dāng)在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得；令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．令，則．令，則．因?yàn)椋裕栽谏蠁握{(diào)遞增．又，所以，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋裕裕串?dāng)時(shí)，．2．已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)1(2)答案見解析【詳解】（1）依題意，，則，因?yàn)樵谔幍那芯€與軸垂直，所以，解得；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，分以下三種情況：若，則在定義域內(nèi)恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若，令得或，令得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.3．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若存在，且，使得，求證：.【答案】(1)(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；（2）因?yàn)椋遥睿驗(yàn)椋春瘮?shù)在上單調(diào)遞增，由，得，所以函數(shù)在上小于零，在上大于零，因?yàn)椋姆柡秃瘮?shù)的符號一致，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）因?yàn)椋詴r(shí)，，且，則，即，若，且，，所以，取自然對數(shù)得：，即，由得：，即，所以，令，設(shè)，所以，所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；下面證明：，又，即證，即證，即證，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，從而得證；故，即，所以，所以，得證.4．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，由得，即當(dāng)時(shí)函數(shù)在是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，的最小值為，，設(shè)，則，∴函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，即的最小值為，即，∴，即的最小值，∴．5．已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減(2)2【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.（2）且的零點(diǎn)等價(jià)于且的零點(diǎn).,令，易知，因?yàn)椋源嬖冢沟茫栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上不存在零點(diǎn).取，則，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為.又，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕栽谏洗嬖谝粋€(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.6．已知函數(shù)．(1)若，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求該切線的方程；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得又因?yàn)椋郧芯€方程為：，即（2）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，得恒成立，在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，（i）當(dāng)即時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增（ii）當(dāng)即時(shí)，由得，或，由得，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減7．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明．【答案】(1)答案見解析(2)(3)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，證明見解析【詳解】（1）因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去負(fù)根），令，得；令，得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由恒成立，得在上恒成立，所以在上恒成立．令，則．令，易知在上單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，即，所以，即的取值范圍為．（3）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．又，所以在上存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)在上的零點(diǎn)為，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，解法一：，因?yàn)椋裕剩郑裕郑栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)．又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以在上沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，而，所以，故在上沒有零點(diǎn)．綜上所述，在定義域上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．解法二：因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)．又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，易證，所以，從而在上恒成立，故在上沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減．又，則在上恒成立，所以在上恒成立，故在上沒有零點(diǎn)．綜上所述，在定義域上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．8．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性.(2)證明:當(dāng)時(shí),(3)證明:【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，易知，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，得，即在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）令，，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，又，有，，即單調(diào)遞減，，，即單調(diào)遞增，所以，而此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，可得，，所以又，所以存在，使得，即，，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由可得，，下面證明，，令，，所以在上單調(diào)遞增，，即得證，即成立，綜上，當(dāng)時(shí)，成立.（3）由（2），當(dāng)時(shí)，有，即，令，，得，，，即.題型2利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立能成立問題①在證明或處理含對數(shù)函數(shù)的不等式時(shí)，通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨(dú)立分離”出來，這樣再對新函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，就不含對數(shù)了，只需一次就可以求出它的極值點(diǎn)，從而避免了多次求導(dǎo).這種相當(dāng)于讓對數(shù)函數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，我們形象的稱之為“對數(shù)單身狗”.由（這里設(shè)），則不含超越函數(shù)，求解過程簡單.②在證明或處理含指數(shù)函數(shù)的不等式時(shí)，通常要將指數(shù)型的函數(shù)“結(jié)合”起來，即讓指數(shù)型的函數(shù)乘以或除以一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，這樣再對新函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，只需一次就可以求出它的極值點(diǎn)，從而避免了多次求導(dǎo).這種相當(dāng)于讓指數(shù)函數(shù)尋找“合作伙伴”的變形過程，我們形象的稱之為“指數(shù)找朋友”.由，則是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，變形后可大大簡化運(yùn)算.③設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，則有,若為非常數(shù)函數(shù)，求導(dǎo)式子中還是含有,針對此類型，可以采用作商的方法，構(gòu)造從而達(dá)到簡化證明和求極值、最值的目的，膩在一起，常常會(huì)分手.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是.解：第一步：變形等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，第二步：求導(dǎo)則第三步：討論（穿針引線）（i）若，即，則當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.（ii）若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即.所以當(dāng)時(shí)，.（iii）若，即，則.由于，故由（ii）可得.故當(dāng)時(shí)，.綜上，的取值范圍是.解決形如常見結(jié)論（有時(shí)甚至），從形的角度看，它揭示了曲線與其切線的位置關(guān)系，從數(shù)的角度看，它提供了一種將指數(shù)型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式型結(jié)構(gòu)的方法，從而順利突破難點(diǎn)．若不等式對所有都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解：第一步：變形原問題等價(jià)于對所有都成立，第二步：求導(dǎo)令，則．第三步：分類討論（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，因而恒成立；（2）當(dāng)時(shí)，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．上述解法優(yōu)勢在于，將的系數(shù)化“1”后，就可以有效避免求導(dǎo)后再出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)，避免了隱性零點(diǎn)的出現(xiàn),這是解決對數(shù)型函數(shù)的精華所在．已知函數(shù)(1)若，判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，并說明理由:解：第一步：變形(1)令，則由于當(dāng)且僅當(dāng).第二步：求導(dǎo)求斜率因?yàn)椋谌剑悍诸愑懻撍援?dāng)時(shí)，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時(shí)，．因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．取，則，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在，上各有一個(gè)零點(diǎn)．因此，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．1．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）因?yàn)椋遥援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；不妨令，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，此時(shí)符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，顯然在處取得極小值，此時(shí)極小值為，而，所以，要使，則必有，解得，故，綜上:的取值范圍是.2．設(shè)函數(shù)(1)討論的單調(diào)性;(2)若為正數(shù)，且存在，使得求的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.(2)【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí)，，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)椋缮蠁栔淖钚≈禐橛深}意得即令則所以在上單調(diào)遞增，又所以時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，，于是故的取值范圍為.3．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由題意得，對任意的，存在，使得，即，由（1）知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；故在處取得極小值，也是最小值，故，即證，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，且，綜上，都在上取得最值，從而，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．已知，函數(shù)，.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：存在唯一的極值點(diǎn)；(3)若存在，使得對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由題意知，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：由，，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以，故在上單調(diào)遞減，又，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一，使得，即.所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜述：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，存在唯一，使得.故存在唯一的極值點(diǎn).（3）由（2）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，因?yàn)椋裕深}意知，，即，化簡得，，設(shè)，，由題存在，使得，所以，.又設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故的取值范圍為.5．已知函數(shù)．(1)若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，求的取值范圍；(2)若，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，作出與的大致圖象如圖所示，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏呢?fù)整數(shù)，使得，則，故，即，解得，故的取值范圍為．（2）根據(jù)題意，對恒成立，等價(jià)于對恒成立，令，則有，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又時(shí)，時(shí)，，從而存在唯一的，使得，即，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，故原不等式恒成立只需，即．構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)椋瑥亩傻迷跁r(shí)恒成立，又，所以的解集為，又因?yàn)椋睿椎迷诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，故的取值范圍為．6．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為1，無極大值；(2).【詳解】（1），得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值；（2）對任意即，設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；②當(dāng)時(shí)，令單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，不成立.綜上，.7．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，存在，使得，求M的最大值；(2)已知m，n是的兩個(gè)零點(diǎn)，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則的定義域?yàn)椋遥?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為，最小值為，由題意知，故M的最大值為.（2）證明：由題意知，，所以，所以.因?yàn)椋裕砸C，只要證，因?yàn)椋灾灰C，令，則，即證，令，則，因?yàn)椋裕栽谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以.8．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）由題意知的定義域?yàn)椋?/p>

，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，，故方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別為，，且，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由可得，即，設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)椋瑒t在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以，即的取值范圍為.題型3利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題Ⅰ：找點(diǎn)能夠解決以下幾類問題：問題1：結(jié)合零點(diǎn)存在定理討論或證明函數(shù)在目標(biāo)區(qū)間的零點(diǎn)情況（常考題型）問題2：以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為限制條件求解參數(shù)范圍問題到底如何找點(diǎn)呢？方法1：分類討論、放縮取點(diǎn)（放縮前面已講述，這里簡單闡述一下）技巧如下：第一步：猜猜根及猜零點(diǎn)所在區(qū)間第二步：能猜出根則需驗(yàn)證，猜不出則放縮取點(diǎn)注意：①常見猜根為②猜零點(diǎn)所在區(qū)間往往利用單調(diào)性求最值③若最值不易表示出，則對函數(shù)進(jìn)行放縮，使得函數(shù)形式簡單步驟如下：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用方法二：參變分離，由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是_____；解：因?yàn)樗裕╥）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．（ii）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)．（iii）設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上可得的取值范圍為．故答案為：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.解：由題知，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，由得；由得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如下所示：所以；故答案為：已知函數(shù)．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：因?yàn)椋缘亩x域?yàn)椋?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．1．已知函數(shù)，．(1)若存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若，為的零點(diǎn)，且，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋睿矗葍r(jià)于，設(shè)，則（），令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則的最小值為，，要使得存在零點(diǎn)，則，即，得．（2）由為的零點(diǎn)，得，即，即兩式相減得，即.要證當(dāng)時(shí)，，只需證，只需證，，，．令，，只需證，，則在上單調(diào)遞增，∴，即可得證.2．已知a為常數(shù)，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在處切線方程；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求證.【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，而，故，故的圖象在處切線方程為即.（2）的定義域?yàn)椋牧泓c(diǎn)等價(jià)于的解即的解，令，，故，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，若即，此時(shí)，故無零點(diǎn)，故無零點(diǎn).若即，此時(shí)，故有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故有且只有一個(gè)零點(diǎn).若即，此時(shí).而，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)；又，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故，因?yàn)椋剩试谟星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)；故此時(shí)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（3）的定義域?yàn)椋深}設(shè)可得有兩個(gè)變號零點(diǎn)，設(shè)，故在上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，而，若，則在上為增函數(shù)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，所以即，而，且，故.又，而，故，因?yàn)椋剩剩C：，即證，即證：在上恒成立.設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，.3．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，常數(shù)，函數(shù).(1)求、的單調(diào)區(qū)間；(2)討論直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)記函數(shù)、，若，且，則，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)無公共點(diǎn)(3)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；函數(shù)的定義域?yàn)椋?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）設(shè)，它的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，的最小值為，不成立，即方程無實(shí)數(shù)解，故方程無實(shí)數(shù)解，直線與曲線無公共點(diǎn)；（3）根據(jù)已知，的定義域?yàn)椋O(shè)，由（2）得，且，由，記，則，由得，由（1）知在上單調(diào)遞減，故，，記，則，由，得，，若，且，則，，，設(shè)，則，解得，由得，由得，，設(shè)，則，，由是自然對數(shù)的底數(shù)，得，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由得，又，存在唯一，使，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故.綜上所述，當(dāng)時(shí)，，.實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)2(2)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【詳解】（1）解法一：由題，，所以．記，則，①當(dāng)時(shí)，，可得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．由①②知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故．解法二：由題，，所以．令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，所以，故在定義域上單調(diào)遞增．易知，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故．（2）由題意知，定義域?yàn)椋裕O(shè)，所以，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ坏模沟茫矗?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且極大值為．設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，所以在內(nèi)無零點(diǎn)．因?yàn)椋栽趦?nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，有且只有一個(gè)零點(diǎn)．5．設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋睿瑒t，解得，令，則，解得.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，則.令，其中，則.令，解得，令，解得.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.又，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是.6．已知函數(shù).(1)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析(2)【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2），.設(shè).①當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，不合題意.②當(dāng)時(shí)，由①在上單調(diào)遞增.又在上恒成立.設(shè).在上恒成立，在上單調(diào)遞減.又在上恒成立.，滿足題意.綜上，的取值范圍為.7．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)證明函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)單調(diào)遞增；(2)證明見解析.【詳解】（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上的單調(diào)遞增.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，即單調(diào)遞增，又，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，而，，因此函數(shù)上有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).8．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；(2)若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)兩個(gè)零點(diǎn)，理由見解析(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．由，，使得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）存在，使得當(dāng)時(shí)，，即存在，使得當(dāng)時(shí)，．設(shè)．（i）當(dāng)時(shí)，設(shè)．．在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞增．又，在上恒成立．．當(dāng)時(shí)，．取，當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)滿足題意．（ii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋O(shè)，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減．又在上恒成立．故恒成立，不合題意．綜上，的取值范圍為．題型4利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線問題與切線有關(guān)的題目是導(dǎo)數(shù)部分的重要題型，本題型規(guī)律性較強(qiáng)，一般都要用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不知切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)要設(shè)出坐標(biāo)，切點(diǎn)既在切線上也在曲線上。現(xiàn)結(jié)合實(shí)例歸納總結(jié)如下：在點(diǎn)處的切線方程計(jì)算策略第一步：明確點(diǎn)和斜率第二步：利用點(diǎn)斜式寫出方程過點(diǎn)的切線方程計(jì)算策略第一步：設(shè)切點(diǎn)為，第二步：明確點(diǎn)和斜率第三步：利用點(diǎn)斜式寫出方程注意：有幾個(gè)值，就有幾條切線③記一些常考的切線斜率1、過原點(diǎn)的切線斜率為2、過原點(diǎn)的切線斜率為3、過原點(diǎn)的切線斜率為4、過原點(diǎn)的切線斜率為5、過的切線斜率為6、過的切線斜率為7、過的切線斜率為8、過的切線斜率為若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（）解：第一步：分析因?yàn)辄c(diǎn)是曲線任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)處的切線和直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的的距離最小，第二步：求切點(diǎn)因?yàn)橹本€的斜率等于，曲線的導(dǎo)數(shù)，令，可得或（舍去），所以在曲線與直線平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)為，第三步：利用平行線間距離公式所以點(diǎn)到直線的最小距離為已知曲線的切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則此切線的斜率為（）解：第一步：設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)為，第二步：求導(dǎo)求斜率由，得，第三步：利用點(diǎn)斜式求切線方程∴，則曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，第四步：將已知點(diǎn)代入切線方程把坐標(biāo)原點(diǎn)代入，可得，解得，∴所求切線的斜率為.設(shè)曲線的一條切線過點(diǎn)，則此切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）解：第一步：設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)為，第二步：求導(dǎo)求斜率，第三步：利用點(diǎn)斜式求切線方程切線方程為，第四步：將已知點(diǎn)代入切線方程切線過點(diǎn)，∴，∴，，∴切線方程為，故可得切線在軸上的截距為故三角形面積為1．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線與的公切線的方程；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)和，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋裕O(shè)曲線上的切點(diǎn)為，則切線方程為，設(shè)曲線上的切點(diǎn)為，則切線方程為，由兩條切線重合得，解得，所以曲線與的公切線的方程為，（2）由題意可知，，所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)和，所以有兩個(gè)零點(diǎn)和，所以，即，令，則，解得，設(shè)則，又令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以所以在上單調(diào)遞減，所以，易知所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．已知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值點(diǎn)；(3)函數(shù)的圖象上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有成立？證明你的結(jié)論．【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)不存在，理由見解析.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，切線方程為，所以所求切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，令，即，即，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)嚴(yán)格增,無極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在和嚴(yán)格增，在嚴(yán)格減，此時(shí)極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在嚴(yán)格減，在嚴(yán)格增的，此時(shí)函數(shù)無極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值點(diǎn)為，無極大值點(diǎn).（3）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足條件，由得：，又點(diǎn)在曲線上，則，于是，而，于是，因此，變形得，令，則，令函數(shù)，求導(dǎo)得，則在單調(diào)遞增，又，于是只有唯一解，即，又，則，故不存在定點(diǎn)滿足條件.3．已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為4．已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)【詳解】（1）因?yàn)椋裕郑瑒t，又函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋郑睿瑒t，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)恒成立，即恒成立，所以在，上單調(diào)遞增.即的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上恒成立，因?yàn)椋瑒t，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，又，所以，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即區(qū)間上恒成立，所以時(shí)在區(qū)間上恒成立，即對任意關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立.5．已知函數(shù)，且．(1)證明：曲線在點(diǎn)處的切線方程過坐標(biāo)原點(diǎn)．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】（1）因?yàn)椋裕瑒t，，所以在處的切線方程為:，當(dāng)時(shí)，，故，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程過坐標(biāo)原點(diǎn).（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，則，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.6．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對于任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由于，故，切點(diǎn)為，，所以切線的斜率為0，在點(diǎn)處的切線方程為．（2）令，則，所以為R上單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋詴r(shí)，時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．若對于任意，都有恒成立，即只需．因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最大值為和中最大的一個(gè)，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，則成立．當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，得，即，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，即，也不符合題意．綜上，的取值范圍為.7．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)討論的極值.【答案】(1)；(2)極大值為，無極小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以的方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值.8．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑒t，則，由于函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即則令，設(shè)，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：.題型5利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn).如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏；若，則稱為極值點(diǎn)右偏.如函數(shù)的極值點(diǎn)剛好在方程的兩根中點(diǎn)的左邊，我們稱之為極值點(diǎn)左偏.極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.函數(shù)有兩極值點(diǎn)，且.證明：.解：令，則是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)令，得令，則，求導(dǎo)可得可得在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，故令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，有所以，所以，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，所以，即.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求證：對于任意，都有成立；(2)若函數(shù)恰好在和兩處取得極值，求證：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，∴，∴單調(diào)遞增，∴，∴單調(diào)遞增，∴，故對于任意，都有成立；（2）∵函數(shù)恰好在和兩處取得極值∴是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，∵，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴單調(diào)遞增，至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不符合題意，當(dāng)時(shí)，的解集為，的解集為，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，由題意，應(yīng)有，解得，此時(shí)，∴存在使得，易知當(dāng)時(shí)，.∴存在使得，∴滿足題意，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，設(shè)，∴，由（1）可知，恒成立，∴單調(diào)遞減，∴，即，∴∴．過點(diǎn)作曲線的切線．（1）求切線的方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，求證：．解：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，設(shè)切點(diǎn)為，則解的，故再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程．（2）本題為極值點(diǎn)平移問題，先根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)：，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：在單調(diào)遞增，及最小值大于零，即得不等式，根據(jù)等量轉(zhuǎn)換及單調(diào)性具體操作：設(shè)則，分區(qū)間所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因?yàn)椋环猎O(shè)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋裕瑥亩驗(yàn)椋琭(x)在單調(diào)遞減，所以，即．1．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(2)見解析【詳解】（1）由題意可得，所以，的定義域?yàn)椋郑桑茫?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，（2）由，得，設(shè)，，由，得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，又，，且當(dāng)趨近于正無窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，證明：不妨設(shè)，則，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，又，所以，又，，在上單調(diào)遞減，所以，故.2．已知函數(shù).(1)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)取第（1）問中的最小值時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，請比較，，2這三個(gè)數(shù)的大小，并說明理由.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式，令，依題意，恒成立，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以.（2）由（1）知，，此時(shí)函數(shù)，令，，則，由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，要比較，，2這三個(gè)數(shù)的大小，只需比較，2，這三個(gè)數(shù)的大小，即比較這三個(gè)數(shù)的大小，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，，而，由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，則，令函數(shù)，顯然，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，而，在上單調(diào)遞減，因此，即有，則，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，而，在上單調(diào)遞減，因此，即有，則，有，于是，從而，所以.3．設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.【答案】(1)無最小值，最大值為(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無最小值，最大值為.（2），則，又有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，欲證，即證，原式等價(jià)于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價(jià)于求證，即證.令，則，上式等價(jià)于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，