6.2.2排列數一、知識回顧1.一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.兩個排列相同的充要條件是:兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同.

前面給出了排列的定義，下面探究計算排列個數的公式.二、排列數

符號

中的A是英文arrangement(排列)的第一個字母.

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號

表示.

例如:

問題1是求從3個不同元素中取出2個元素的排列數，表示為

.已經算得

=3×2=6.

問題2是求從4個不同元素中取出3個元素的排列數，表示為

.已經算得

=4×3×2=24.

從n個不同元素中取出m個元素的排列數

(m≤n)是多少?

可以先從特殊情況開始探究，例如求排列數.根據前面的求解經驗，可以這樣考慮:

現在來計算有多少種填法.完成“填空”這件事可以分為兩個步驟完成:

第1步，填第1個位置的元素，可以從這n個不同元素中任選1個，有n種選法；

第2步，填第2個位置的元素，可以從剩下的(n-1)個元素中任選1個，有(n-1)種選法.

假定有排好順序的兩個空位，如左下圖所示，從n個不同元素中取出2個元素去填空，一個空位填上一個元素，每一種填法就得到一個排列；反之，任何一種排列總可以由這種填法得到.

因此，所有不同填法的種數就是排列數

.第1位第2位n種(n-1)種

根據分步乘法計數原理，2個空位的填法種數為n(n-1)三、探究新知三、探究新知

同理，求排列數

可以按依次填3個空位來考慮，則=？n(n-1)(n-2)

一般地,求排列數

可以按依次填m個空位來考慮:

假定有排好順序的m個空位，如下圖所示，從n個不同元素中取出m個元素去填空，一個空位填上一個元素，每一種填法就對應一個排列.因此，所有不同填法的種數就是排列數

.

填空可以分下面m個步驟完成:第1位第2位第3位第m位…三、探究新知n種(n-1)種第1位第2位第3位第m位…(n-2)種(n-m+1)種

第1步，從n個不同元素中任選1個填在第1個位，有n種選法；

第2步，從剩下的(n-1)個元素中任選1個填在第2位，有(n-1)種選法；

第3步，從剩下的(n-2)個元素中任選1個填在第3位，有(n-2)種選法；……

第m步，從剩下的[n-(m-1)]個元素中任選1個填在第m位，有(n-m+1)種選法.

根據分步乘法計數原理，m個空位的填法種數為:n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

這樣，我們就得到:四、排列數公式

排列數公式:(m、n∈N*，并且m≤n)

你能說出排列數公式的特點嗎?

特別地，把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列.這時，排列數公式中m=n，即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

也就是說，將n個不同的元素全部取出的排列數，等于正整數1到n的連乘積.正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．于是，n個元素的全排列數公式可以寫成

規定：0!=1

根據排列數公式，我們就能方便地計算出從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數.例如：5×4=20，8×7×6=336.五、精典例題例1計算：

由例3可以看到，

觀察這兩個結果，從中你發現它們的共性了嗎?=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

事實上，因此，排列數公式還可以寫成例2用0～9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數?五、精典例題解法1：例2用0～9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數?五、精典例題解法2：例2用0～9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數?五、精典例題解法3：

對于例4這類計數問題，從不同的角度就有不同的解題方法.

解法1根據百位數字不能是0的要求，按分步乘法計數原理完成從10個數中取出3個數組成沒有重復數字的三位數這件事；

解法2是以0是否出現以及出現的位置為標準，按分類加法計數原理完成這件事；

解法3是一種間接法，先求出從10個數中取出3個數的排列數，然后減去其中百位是0的排列數（不是三位數的個數)，就得到沒有重復數字的三位數的個數.

從上述問題的解答過程可以看到，引入排列的概念，歸納出排列數公式，我們就能便捷地求解“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數”這類特殊的計數問題.六、課堂小結1.排列數2.排列數公式

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個

數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號

表示.(m、n∈N*，m≤n)

規定：0!=1=n!=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

特別地，

全排列3.對于有限制條件的排列問題，必須遵循“特殊元素優先考慮，