《高等數(shù)學》專業(yè)年級學號姓名一、推斷題.將√或×填入相應的括號內.（每題2分，共20分）（）1.收斂的數(shù)列必有界.（）2.無窮大量與有界量之積是無窮大量.（）3.閉區(qū)間上的間斷函數(shù)必無界.（）4.單調函數(shù)的導函數(shù)也是單調函數(shù).（）5.若在點可導，則也在點可導.（）6.若連續(xù)函數(shù)在點不行導，則曲線在點沒有切線.（）7.若在[]上可積，則在[]上連續(xù).（）8.若在（）處的兩個一階偏導數(shù)存在，則函數(shù)在（）處可微.（）9.微分方程的含有隨意常數(shù)的解是該微分方程的通解.（）10.設偶函數(shù)在區(qū)間內具有二階導數(shù)，且,則為的一個微小值.二、填空題.（每題2分，共20分）1.設，則.2.若，則.3.設單調可微函數(shù)的反函數(shù)為,則.4.設,則.5.曲線在點切線的斜率為.6.設為可導函數(shù),,則.7.若則.8.在[0,4]上的最大值為.9.廣義積分.10.設D為圓形區(qū)域.三、計算題（每題5分，共40分）1.計算.2.求在（0，+）內的導數(shù).3.求不定積分.4.計算定積分.5.求函數(shù)的極值.6.設平面區(qū)域D是由圍成，計算.7.計算由曲線圍成的平面圖形在第一象限的面積.8.求微分方程的通解.四、證明題（每題10分，共20分）1.證明：.2.設在閉區(qū)間[上連續(xù)，且證明：方程在區(qū)間內有且僅有一個實根.《高等數(shù)學》參考答案一、推斷題.將√或×填入相應的括號內（每題2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空題.（每題2分，共20分）1.；2.1；3.1/2；4.；5.2/3；6.1；7.；8.8；9.1/2；10.0.三、計算題（每題5分，共40分）1.解：因為且，=0由迫斂性定理知：=02.解：先求對數(shù)3.解：原式==24.解：原式==4/55.解：故或當時，，且 （0，0）為極大值點且當時，，無法推斷6.解：7.解：令，；則，8.解：令，知由微分公式知：四.證明題（每題10分，共20分）1.解：設=0令即：原式成立。2.解：上連續(xù)且<0,>0故方程在上至少有一個實根.又即在區(qū)間上單調遞增在區(qū)間上有且僅有一個實根.《高等數(shù)學》專業(yè)學號姓名一、推斷題（對的打√，錯的打×；每題分，共分）1.在點處有定義是在點處連續(xù)的必要條件.2.若在點不行導，則曲線在處肯定沒有切線.3.若在上可積，在上不行積，則在上必不行積.4.方程和在空間直角坐標系中分別表示三個坐標軸和一個點.5.設是一階線性非齊次微分方程的一個特解，是其所對應的齊次方程的通解，則為一階線性微分方程的通解.二、填空題（每題分，共分）1.設則.2.設，當時，在點連續(xù).3.設，則.4.已知在處可導，且，則.5.若，并且，則.6.若在點左連續(xù)，且，則與大小比較為7.若，則；.8.設，則.9.設，則.10.累次積分化為極坐標下的累次積分為.三、計算題（前題每題分，后兩題每題分，共分）1.;2.設，求;3.;4.;5.設,求.6.求由方程所確定的函數(shù)的微分.7.設平面區(qū)域是由圍成，計算.8.求方程在初始條件下的特解.四、（分）已知在處有極值，試確定系數(shù)、，并求出全部的極大值與微小值.五、應用題（每題分，共分）1.一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比.已知當速度為時，燃料費為每小時元，而其它與速度無關的費用為每小時元.問輪船的速度為多少時,每航行所消耗的費用最小？2.過點向曲線作切線，求：（1）切線與曲線所圍成圖形的面積；（2）圖形繞軸旋轉所得旋轉體的體積.六、證明題（分）設函數(shù)在上的二階導數(shù)存在，且,.證明在上單調增加.高等數(shù)學參考答案一、推斷題1.√；2.×；3.√；4.×；5.√.二、填空題1.36；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10..三、計算題1.原式2.3．原式=4．設則原式=5．6．兩邊同時微分得：即故（本題求出導數(shù)后，用解出結果也可）7．8．原方程可化為通解為代入通解得故所求特解為：四、解：因為在處有極值，所以必為駐點故又解得：于是由得，從而，在處有微小值，在處有極大值五、1.解：設船速為，依題意每航行的耗費為又時，故得，所以有令，得駐點由極值第一充分條件檢驗得是微小值點.由于在上該函數(shù)到處可導，且只有唯一的極值點，當它為微小值點時必為最小值點，所以求得船速為時，每航行的耗費最少，其值為（元）2.解：（1）設切線與拋物線交點為，則切線的斜率為，又因為上的切線斜率滿意，在上即有所以，即又因為滿意，解方程組得所以切線方程為則所圍成圖形的面積為：（2）圖形繞軸旋轉所得旋轉體的體積為：六、證：在上，對應用拉格朗日中值定理，則存在一點，使得代入上式得由假設知為增函數(shù)，又，則,于是,從而，故在內單調增加.《高等數(shù)學》試卷專業(yè)學號姓名一、填空題（每小題1分，共10分）1．函數(shù)的定義域為。2．函數(shù)上點（０，１）處的切線方程是。3．設在可導且，則＝。4．設曲線過，且其上隨意點的切線斜率為，則該曲線的方程是。5．＝。６．＝。7．設，則＝。8．累次積分化為極坐標下的累次積分為。9．微分方程的階數(shù)為。10．設級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)。二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的（）內，（1～10每小題1分，11～17每小題2分，共24分）1．設函數(shù)，則＝（）①②③④ｘ2．時，是（）①無窮大量②無窮小量③有界變量④無界變量3．下列說法正確的是（）①若在連續(xù)，則在可導②若在不行導，則在不連續(xù)③若在不行微，則在極限不存在④若在不連續(xù)，則在不行導4．若在內恒有，則在內曲線弧為（）.①上升的凸?、谙陆档耐够、凵仙陌蓟、芟陆档陌蓟?．設，則（）①為常數(shù)②為常數(shù)③④ｘ6．＝（）①０②１③２④３7．方程在空間表示的圖形是（）①平行于面的平面②平行于軸的平面③過軸的平面④直線8．設，則（）①②③④9．設，且＝ｐ，則級數(shù)（）①在時收斂，時發(fā)散②在時收斂，時發(fā)散③在時收斂，時發(fā)散④在時收斂，時發(fā)散10．方程是（）①一階線性非齊次微分方程②齊次微分方程③可分別變量的微分方程④二階微分方程11．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）12．設在可導，，則至少有一點使（）13．設在的左右導數(shù)存在且相等是在可導的（）①充分必要的條件②必要非充分的條件③必要且充分的條件④既非必要又非充分的條件14．設，則，則（）15．過點（１，２）且切線斜率為的曲線方程為ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④16．設冪級數(shù)在（）收斂，則在（）①肯定收斂②條件收斂③發(fā)散④收斂性與有關17．設Ｄ域由所圍成，則（）三、計算題（1～3每小題5分，4～9每小題6分，共51分）１．設求.２．求.３．計算.４．設，求.５．求過點Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直線方程.６．設，求ｄｕ.７．計算.８．求微分方程的通解.９．將展成的冪級數(shù).四、應用和證明題（共15分）１．（８分）設一質量為ｍ的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（比例常數(shù)為）求速度與時間的關系。２．（７分）借助于函數(shù)的單調性證明：當時，。高等數(shù)學參考答案一、填空題（每小題1分，共10分）１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１５．６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）８．９．三階１０．發(fā)散二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的（）內，1～10每小題1分，11～17每小題2分，共24分）1．③2．③3．④4．④5．②6．②7．②8．⑤9．④10．③11．④12．④13．⑤14．③15．③16．①17．②三、計算題（1～3每小題5分，4～9每小題6分，共51分）解：２．解：原式＝＝＝８３．解：原式＝４．解：因為５．解：所求直線的方向數(shù)為｛１，０，－３｝所求直線方程為６．解：７．解：原積分＝８．解：兩邊同除以得兩邊積分得亦即所求通解為９．解：分解，得＝＝（且）四、應用和證明題（共１５分）１．解：設速度為ｕ，則ｕ滿意解方程得由ｕ│0＝０定出ｃ，得２．證：令則在區(qū)間［１，＋∞］連續(xù)而且當時，因此在［１，＋∞］單調增加從而當時，＝０即當時，《高等數(shù)學》專業(yè)學號姓名一、推斷正誤（每題2分，共20分）1.兩個無窮大量之和必定是無窮大量.2.初等函數(shù)在其定義域內必定為連續(xù)函數(shù).3.在點連續(xù)，則在點必定可導.4.若點為的極值點，則必有.5.初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內必定存在原函數(shù).6.方程表示一個圓.7.若在點可微，則在點連續(xù).8.是二階微分方程.9..10.若為連續(xù)函數(shù)，則必定可導.二、填空題（每題4分，共20分）.設，且，則..，則.三、計算題與證明題（共計60分）.，（5分）；，（5分）。.求函數(shù)的導數(shù)。（10分）.若在上.證明：在區(qū)間和上單調增加.（10分）.對物體長度進行了次測量，得到個數(shù)。現(xiàn)在要確定一個量，使之與測得的數(shù)值之差的平方和最小.應當是多少？（10分） .計算.（5分）6.由曲線與兩直線所圍成的平面圖形的面積是多少.（5分）.求微分方程滿意條件的特解。（5分）.計算二重積分是由圓與圍成的區(qū)域.（5分）高等數(shù)學參考答案一、推斷正誤（每題2分，共20分）1-5．╳，╳，╳，╳，√.6-10.╳，√，╳，╳，√.二、填空題（每題4分，共20分）三、計算題與證明題。（共計60分）2.令則同理3.令則則當時當時故命題成立。4.令則令5.6.7.方程變形為而=初始條件：8、《高等數(shù)學》專業(yè)學號姓名一、推斷（每小題2分，共20分）1.f(x)在點x處有定義是f(x)在點x處連續(xù)的必要條件.()2.無窮小量與有界變量之積為無窮小量.()3.(x)在x處可導,則(x)|在x處也可導.()4.初等函數(shù)在其定義域內必連續(xù).()5.可導函數(shù)f(x)的極值點肯定是f(x)的駐點.()6.對隨意常數(shù)k,有.()7.若f(x)在[]上可積,則f(x)在[]上有界.()8.若f()在區(qū)域D上連續(xù)且區(qū)域D關于y軸對稱,則當f()為關于x的奇函數(shù)時0.()9.2的通解中含有兩個獨立隨意常數(shù).()10.若()在P的兩個偏導數(shù)都存在,則()在P連續(xù).()二、填空（每空2分，共20分）1.[()]=.2.函數(shù)f(x)在[0,3]上滿意羅爾定理的條件,定理中的數(shù)值=.3.設f(x)=當時(x)在0處連續(xù).4.設,則(0,0)=.5.函數(shù)f(x)1在內單調增加;在內單調削